2018-2019学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学(文)试题 解析版

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2018-2019学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学(文)试题 解析版

绝密★启用前 辽宁省实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.椭圆的焦距是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆的c,即得椭圆的焦距.‎ ‎【详解】‎ 由题得所以焦距为.故答案为:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的几何性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2.在等差数列中,已知,,公差,则(  )‎ A. 16 B. 17 C. 18 D. 19‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列{an}中,a2=12,an=﹣20,公差d=﹣2,‎ ‎∴an=a2+(n﹣2)d,‎ ‎∴﹣20=12﹣2(n﹣2),‎ 解得n=18,‎ 故答案为:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式的应用,是基础题.‎ ‎3.直线与椭圆的公共点个数是( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,代入椭圆方程化简,再利用判别式判断公共点的个数.‎ ‎【详解】‎ 由题得,代入椭圆方程得,‎ 所以直线和椭圆的交点的个数为1,故答案为:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和直线的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.若,则下列不等式不成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得a<b<0,再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得a<b<0,‎ 对于选项A,=,所以选项A错误.‎ 对于选项B,显然正确.‎ 对于选项C,,所以,所以选项C正确.‎ 对于选项D,,所以选项D正确.‎ 故答案为:A ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是:作差→变形(配方、因式分解、通分等)→与零比→下结论;比商的一般步骤是:作商→变形(配方、因式分解、通分等)→与1比→下结论.如果两个数都是正数,一般用比商,其它一般用比差.‎ ‎5.已知变量满足条件则的最大值是( )‎ A. 2 B. 5 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再将可行域 中各个顶点的值依次代入目标函数x+y,不难求出目标函数x+y的最大值.‎ ‎【详解】‎ 如图得可行域为一个三角形,‎ 其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),‎ 代入验证知在(3,3)时,‎ x+y最大值是3+3=6.‎ 故答案为:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划,意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.‎ ‎6.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则( )‎ A. 6 B. 7 C. 5 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用椭圆的定义,可得三角形ABF2的周长为4a=20,再由周长,即可得到AB的长.‎ ‎【详解】‎ 椭圆=1的a=5,‎ 由题意的定义,可得,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,‎ 则三角形ABF2的周长为4a=20,‎ 若|F2A|+|F2B|=12,‎ 则|AB|=20﹣12=8.‎ 故答案为:D ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程和定义,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎7.已知命题是命题“已知为一个三角形的两内角,若,则”的否命题命题:公比大于1的等比数列是递增数列。则在命题:,:,:和:中,真命题是( )‎ A. , B. , C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题和的真假,再判断每一个选项的真假.‎ ‎【详解】‎ 对于命题,其否命题为“已知为一个三角形的两内角,若,则”,是真命题,对于命题,首项为-1,公比为2的等比数列,就是递减数列,所以该命题是假命题.‎ 所以,是真命题,,是假命题.故答案为:C ‎【点睛】‎ ‎(1)‎ 本题主要考查四种命题及其真假的判断,考查复合命题的真假,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀:真“非”假,假“非”真,一真“或”为真,两真“且”才真.‎ ‎8.设正项等比数列的前项和为,且,则数列的公比为( )‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得等比数列的公比q≠1,直接代等比数列的前n项和公式化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得等比数列的公比q≠1,所以 所以,‎ 因为数列各项是正数,所以q=2.‎ 故答案为:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的前n项和公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎9.如图,分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值为( )‎ A. B. C. 12 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与椭圆两个焦点有关的问题,一般以回归定义求解为上策,抓住△PF1F2为直角三角形建立等式关系.‎ ‎【详解】‎ ‎∵△POF2是面积为的正三角形,‎ ‎∴S=|PF2|2=,|PF2|=2.‎ ‎∴c=2,∵△PF1F2为直角三角形,∴a=,‎ 所以.‎ 故答案为:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的几何性质,关键抓住图形特征建立等式关系.‎ ‎10.已知数列满足,若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算出前几项的值确定周期,进而可得结论.‎ ‎【详解】‎ 依题意,a2=2a1﹣1=2•﹣1=,‎ a3=2a2﹣1=2•﹣1=,‎ a4=2a3=2•=,‎ ‎∴数列{an}是以3为周期的周期数列,‎ 因为2020=3×673+1,‎ ‎∴a2020=a1=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的周期性,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11.设条件:实数满足条件:实数满足,则是的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件又不是必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过举反例可得,当成立时,不能推出q成立,利用不等式的性质可以由q成立推出p成 立,从而得到结论.‎ ‎【详解】‎ 当p成立时,不能推出q成立,‎ 如 m=3且 n=时,尽管满足p,但不满足q.‎ 但由q成立,由不等式的性质能推出p成立,‎ 故p是q的必要不充分条件,‎ 故答案为:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法,不等式的基本性质的应用,‎ 通过举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于基础题。‎ ‎12.若存在,使不等式成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分离参数得到,再求函数 最小值,解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 因为,‎ 所以当时,函数取到最小值 故答案为:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的存在性问题,考查函数的最值的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.《张邱建算经》记载一题:今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月,日织九匹三丈.问日益几何?题的大意是说,有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺,一个月(30天)后共织布390尺,则该女子织布每天增加了______尺.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设每天织布的尺数成等差数列{an},公差为d,利用等差数列的求和公式即可得出.‎ ‎【详解】‎ 设每天织布的尺数成等差数列{an},公差为d,‎ 则5×30+d=390,‎ 解得d=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎14.如果关于的不等式的解集是非空集合,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式>ax+变形得﹣ax﹣>0即﹣a+﹣>0.当﹣a<0即a>0时,y=﹣‎ a+﹣是开口向下的抛物线,因为解集是非空集合{x|4<x<m},得到4和m为y=0‎ 时的解,把4和m代入求得a和m得解.‎ ‎【详解】‎ 由不等式>ax+‎ ‎﹣ax﹣>0即﹣a+﹣>0‎ 设y=﹣a+﹣‎ 当﹣a<0即a>0时,y是开口向下的抛物线.‎ 又因为不等式>ax+的解集是非空集合{x|4<x<m},‎ 所以4和m为y=0时方程的两解,把4代入y得:2﹣4a﹣=0解得a=;把m代入y得:﹣‎ ‎﹣=0解得m=36.‎ 故答案为:36‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的应用,分类讨论思想,是中档题.‎ ‎15.已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差中项的性质可知得2×()=a1+2a2,进而利用通项公式表示出q2=1+2q,求 得q,代入中即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可得2×()=a1+2a2,‎ 即,a3=a1+2a2,整理得q2=1+2q,‎ 求得q=1±,‎ ‎∵各项都是正数 ‎∴q>0,q=1+‎ ‎∴==3+2‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理 解.‎ ‎16.已知椭圆的左右焦点为,过的直线与圆相切于点,并与椭圆交于两点,若,则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出再求出3b=2a,再化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 因为OA⊥PQ,,‎ 所以 所以 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率的计算,考查椭圆的几何性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.用一根长7.2米的木料,做成“日”字形的窗户框,窗户的宽与高各为多少时,窗户的面积最大?并求出这个最大值。(不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积)‎ ‎【答案】窗户宽1.2米,高1.8米时,面积最大,最大值为2.16平方米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设窗户的宽为米,则窗户的高为米,再求出窗户的面积 ,再利用基本不等式求函数的最大值和x的值得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意设窗户的宽为米,则窗户的高为米,‎ 窗户的面积 (或),‎ 当且仅当时,即时,取“=”‎ 答:当窗户宽1.2米,高1.8米时,面积最大,最大值为2.16平方米 ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.已知椭圆,‎ ‎(Ⅰ)求出椭圆上的动点到点的距离的最大值;‎ ‎(Ⅱ)若点是椭圆的左顶点,在椭圆上,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,求斜边的长。‎ ‎【答案】(1); (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意设,再求出,再求函数的最大值. (Ⅱ)由题意设点 ,代入方程得解方程即得m的值和斜边的长.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意设,‎ ‎,‎ ‎ ‎ 当时,取最大值.‎ ‎(Ⅱ)由题意设点 ,代入方程得 ‎,则或,斜边BC长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆中的最值和直线与椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎19.已知数列满足.‎ ‎(Ⅰ)若成等差数列,求的值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在,使数列为等比数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1); (2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意得,,因为成等差数列,则,即,解方程即得的值. (Ⅱ)若数列 为等比数列,则必成等比数列,则,解得,此时 ,公比 ,又,所以不存在,使数列为等比数列。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意 ,‎ ‎,, ‎ 若成等差数列,则,即 解得.‎ ‎(Ⅱ)若数列为等比数列 则必成等比数列,则,即 解得,此时 ,公比 ,‎ 又,‎ 所以不存在,使数列为等比数列。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查递推数列,考查等差数列和等比数列的性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎20.已知关于的不等式,其中.‎ ‎(Ⅰ)当变化时,试求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)对于不等式的解集,若满足(其中为整数集),试探究集合能否为有限集?若能,求出使得集合中元素个数最少的的值,并用列举法表示集合,若不能,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析; (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)对k分类讨论求出不等式的解集 由(1)知:当时,集合中的元素的个数无限;当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集,再求得当时,集合的元素个数最少,求出集合B.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)当时,;‎ 当且时,;‎ 当时,;‎ 当时,. ‎ ‎(Ⅱ)由(1)知:当时,集合中的元素的个数无限;‎ 当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集.‎ 因为,当且仅当时取等号,‎ 所以当时,集合的元素个数最少.‎ 此时,故集合.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解不等式和基本不等式,考查集合,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知数列中,,对于任意的,有.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)数列满足,求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1); (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)取,,所以,即是公差为2,首项为2的等差数列.再求出数列的通项公式.(Ⅱ)利用作差法求出,当时,,所以,满足上式,即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)取,,则.‎ 所以,即是公差为2,首项为2的等差数列.‎ 所以,检验对任意成立。‎ ‎(Ⅱ)因为 ①‎ 所以.②‎ ‎①—②得:,所以.‎ 当时,,所以,满足上式.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的判定和通项的求法,考查根据递推关系求通项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22.已知椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直),若的中点为,为坐标原点,直线交直线于.‎ ‎(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析; (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ) 联立可得.设点的坐标为,点的坐标为,再计算出的斜率为,的斜率为,即得.因此与垂直. (Ⅱ)先求出 ,再求,即得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)联立可得.‎ 设点的坐标为,点的坐标为,则 ‎,.‎ 于是有.‎ 因为的中点为,所以.因此的斜率为.‎ 因为直线交直线于,所以.故的斜率为,‎ 即得.因此与垂直,. ‎ ‎(Ⅱ)设 ‎ ‎.‎ 令,则.‎ 由于,故.‎ 因此(当时取到最大值,也即).‎ 综上所述,的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和直线的位置关系,考查椭圆中的最值问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2问的关键有两点,其一是求出,其二是求函数的最大值.‎
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