【推荐】专题7-3+简单的线性规划-2018年高三数学(理)一轮总复习名师伴学

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文档介绍

【推荐】专题7-3+简单的线性规划-2018年高三数学(理)一轮总复习名师伴学

‎ ‎真题回放 ‎1. 【2017课标II,理5】设,满足约束条件,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎ 2. 【2015高考山东,理6】已知满足约束条件,若的最大值为4,则 ( )‎ ‎(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示,‎ 若的最大值为4,则最优解可能为 或 ,经检验,是最优解,此时 ;不是最优解.故选B. ‎ ‎【考点定位】简单的线性规划问题.‎ ‎【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题,通过确定参数的值,考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性,意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. ‎ ‎3.【2016高考浙江理数】在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l 上的投影.由区域 ‎ 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB,则│AB│=( )‎ A.2 B.4 C.3 D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎ 考点:线性规划.‎ ‎【思路点睛】先根据不等式组画出可行域,再根据题目中的定义确定的值.画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证,防止出现错误. ‎ ‎4.【2015高考浙江,理14】若实数满足,则的最小值是 .‎ ‎【答案】.‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 线性规划 ‎ B ‎ 高考单独考查二元一次不等式(组)表示的平面区域的较少,常与面积、周长等结合考查。另外求线性规划问题的最值,以及与基本不等式、向量等知识结合考查,考查频率非常大。还有就是考查线性规划在生活中的应用,求解最优化问题等。‎ 知识链接 ‎1. 二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.‎ ‎(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即可判断Ax+By+C>0表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.‎ ‎2. 线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x,y组成的一次不等式 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x,y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎3.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:‎ 对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有 ‎(1)当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;‎ ‎(2)当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.‎ ‎4.最优解和可行解的关系:‎ 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个 融会贯通 题型一 二元一次不等式 (组)表示的平面区域 典例1.   (1)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的(  )‎ ‎ ‎ ‎(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】 (1)C (2)C 典例2 (1)(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(  )‎ A.-3 B.1 C. D.3‎ ‎(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是______________________________.‎ ‎【答案】 (1)B (2) 解题技巧与方法总结 ‎(1)求平面区域的面积:‎ ‎①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;‎ ‎②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可.‎ ‎(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.‎ ‎【变式训练】‎ 解下列不等式:‎ ‎(1)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为(  )‎ A. B.1‎ C. D.2‎ ‎(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为(  )‎ A.1 B.-1 C.0 D.-2‎ ‎【答案】 (1)B (2)A 题型二 求目标函数的最值问题 典例3  (2016·全国丙卷)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为________.‎ ‎【答案】  ‎【解析】 满足约束条件的可行域为以A(-2,-1),B(0,1),C为顶点的三角形内部及边界,则y=-x+z过点C时z取得最大值.‎ 典例4 实数x,y满足 ‎(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;‎ ‎(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.‎ 引申探究 ‎1.若z=,求z的取值范围.‎ ‎【解析】 z=可以看作过点P(1,1)及(x,y)两点的直线的斜率.‎ ‎∴z的取值范围是(-∞,0].‎ ‎2.若z=x2+y2-2x-2y+3.求z的最大值、最小值.‎ ‎【解析】 z=x2+y2-2x-2y+3‎ ‎=(x-1)2+(y-1)2+1,‎ 而(x-1)2+(y-1)2表示点P(1,1)与Q(x,y)的距离的平方PQ2,PQ=(0-1)2+(2-1)2=2,‎ PQ=()2=,‎ ‎∴zmax=2+1=3,zmin=+1=.‎ 典例5 (1)已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m=________.‎ ‎(2)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=________.‎ ‎【答案】 (1)5 (2) 解题技巧与方法总结 ‎(1)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.‎ ‎(2)当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题,常见代数式的几何意义:‎ ‎①表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,表示点(x,y)与点(a,b)的距离;‎ ‎② 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.‎ ‎(3)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件.‎ ‎【变式训练】‎ ‎(1)变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于(  )‎ A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ ‎(2)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】 (1)C (2)[1,]‎ ‎【解析】 (1)对于选项A,当m=-2时,可行域如图①,直线y=2x-z的截距可以无限小,z不存在最大值,不符合题意,故A不正确;‎ 对于选项B,当m=-1时,mx-y≤0等同于x+y≥0,可行域如图②,直线y=2x-z的截距可以无限小,z ‎ 题型三 线性规划的实际应用问题 典例6 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.‎ ‎(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元);‎ ‎(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,‎ 所以利润ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.‎ ‎(2)约束条件为 解题技巧与方法总结 解线性规划应用问题的一般步骤 ‎(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.‎ ‎(2)设元:设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数.‎ ‎(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).‎ ‎(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).‎ ‎(5)检验:根据结果,检验反馈.‎ ‎【变式训练】‎ 某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机,每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位,而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位,如果允许使用的原料为100个单位,工时为120个单位,且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台,应当生产每种类型电视机多少台,才能使利润最大?‎ ‎【解析】 ‎ 设生产A型电视机x台,B型电视机y台,‎ 则根据已知条件知线性约束条件为 ‎ ‎ 练习检测 ‎1. (2017年浙江省名校协作体)1.若变量, 满足约束条件,则的最大值是()‎ ‎. . . .‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出可行域如图阴影部分: 由 得 平移直线 ,由图象可知当直线经过点 时, 直线的截距最大,此时 最大,由,解得 ‎ 即 ,此时最大值 ,选A ‎2.(2017山东省淄博市淄川中学). 若变量x,y满足约束条件 ,则z=3x+5y的取值范围是(  )‎ A. [3,+∞) B. [﹣8,3] C. (﹣∞,9] D. [﹣8,9]‎ ‎【答案】D ‎ 3. (2017黑龙江省大庆实验中学)变量, 满足约束条件,则目标函数的最小值__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎ 4. (2017安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会). 设实数满足不等式组,则的最大值为( )‎ A. B. C. 12 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域如图所示:‎ 令易得,当经过点时的最大值为12‎ 故选C.‎ 点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5. (2017安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会). 已知变量, 满足约束条件,则目标函数的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出可行域如图:根据图形,当目标函数过点 时, 有最小值,故选B.‎ ‎6. (2017河北省邯郸市2018届高三上学期摸底考试). 已知函数,点是平面区域内的任意一点,若的最小值为-6,则的值为( )‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A 结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最小值,‎ 即: ,解得: .‎ 本题选择A选项.‎ 点睛:由于约束条件中存在参数,所以可行域无法确定,此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值,来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域,从而确定参数的值 ‎7. (2017河南省师范大学附属中学). 某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表:‎ 货物 体积(升/件)‎ 重量(公斤/件)‎ 利润(元/件)‎ 甲 ‎20‎ ‎10‎ ‎8‎ 乙 ‎10‎ ‎20‎ ‎10‎ 运输限制 ‎110‎ ‎100‎ 在最合理的安排下,获得的最大利润的值为__________.‎ ‎【答案】62‎ ‎ ‎ 点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎8.(2017安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟). 若实数满足,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎9.(2017湖北武汉市蔡甸区汉阳一中2017届高三第三次模拟). 已知,给出下列四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 10.(2017武汉市蔡甸区汉阳一中高三第五次模拟). 已知一元二次方程x‎2‎‎+(1+a)x+a+b+1=0‎的两个实根为x‎1‎‎,‎x‎2‎,且 ‎01‎,则的取值范围是( )‎ A. ‎(-2,-‎1‎‎2‎)‎ B. ‎(-2,-‎1‎‎2‎]‎ C. ‎(-1,-‎1‎‎2‎)‎ D. ‎‎(-1,-‎1‎‎2‎]‎ ‎【答案】A ‎ ‎
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