2019-2020学年福建省莆田市九中高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省莆田市九中高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省莆田市九中高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意先解出集合A,进而得到结果。‎ ‎【详解】‎ 解：由集合A得,‎ 所以 故答案选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查交集的运算，属于基础题。‎ ‎2．函数的定义域是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出的不等式组，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：要使原式有意义只需：‎ ‎，解得且，‎ 故函数的定义域为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．‎ ‎3．以下四个图形中，可以作为函数的图像的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据函数的定义知，对于定义域内的任一变量，都有唯一的函数值和其对应，显然选项A、B、C中均有一个变量对应多个值，即错误，故选D．‎ ‎【考点】函数的定义．‎ ‎4．若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数运算求出的值，然后利用对数的运算律求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，所以，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数运算，同时也考查了对数运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中的函数在区间上的单调性，可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，函数在区间上为增函数；‎ 对于B选项，函数为常值函数，在区间上不是增函数；‎ 对于C选项，函数在区间上为减函数；‎ 对于D选项，当时，，该函数在区间上为减函数.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数单调性的判断，熟悉一些常见基本初等函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎6． 函数 的零点所在的区间为（    ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可以画出y=e﹣x与y=x的图象，他们的交点就是函数f（x）=e﹣x﹣x的零点.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=e﹣x﹣x，画出y=e﹣x与y=x的图象，如下图：‎ ‎∵当x=时，y=＞y=，‎ 当x=1时，y=＜y=1，‎ ‎∴函数f（x）=e﹣x﹣x的零点所在的区间是（，1）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考函数零点与方程根的关系，利用转化思想解决问题．画两个函数的图象数形结合求解，‎ ‎7．方程的解的个数为（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】C ‎【解析】将问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出两函数的图象，观察两函数图象的交点个数即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，方程的解的个数函数与函数图象的交点个数，‎ 如下图所示：‎ 由图象可知，两个函数有个交点，因此，方程的解的个数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数方程解的个数，一般转化为两函数图象的交点个数，考查数形结合思想与化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎8．若函数(,且)在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（ ）‎ A． B． C．或2 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】按照和两种情况分类讨论函数的单调性,可求得最值,根据已知列方程可解得.‎ ‎【详解】‎ 当时, 在上递增,的最大值为，最小值为a,‎ 故有，解得或 (舍去).‎ 当时，在上递减,的最大值为a,最小值为，‎ 故有，解得或(舍去).‎ 综上，或.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的单调性和分类讨论思想.属于基础题.‎ ‎9．已知函数是定义在上的奇函数．且当时，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简，先求出的值，再根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 是定义在上的奇函数，且当时，，‎ ‎∴，‎ 即，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值的计算，考查了对数的运算以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎10．设，，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指、对数的单调性直接将的范围求出来，然后再比较大小.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以；；；‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 指对数比较大小，常用的方法是：中间值分析法（与比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.‎ ‎11．函数的大致图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是奇函数排除，且当时，.‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.‎ ‎12．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，为减函数，则，‎ 当时，一次函数为减函数，则，解得：，‎ 且在处，有：，解得：，‎ 综上可得，实数的取值范围是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．‎ 二、填空题 ‎13．若点在幂函数的图象上，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意及待定系数法求出幂函数的解析式，然后再求出即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意设，‎ ‎∵点在函数的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故答案为：9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义，解题的关键是熟知幂函数的解析式，属于基础题．‎ ‎14．已知（且）恒过定点，则点的坐标为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令指数为零，求出的值，再代入该函数即可得出定点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 令，得，此时，，因此，点的坐标为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型函数图象过定点问题，一般通过指数为零来求得，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15．设函数，若，则________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分和两种情况解方程，可得出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ 综上所述，或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数方程的求解，在计算时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16．关于下列结论:‎ ‎①函数y=ax+ 2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到;‎ ‎②函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称;‎ ‎③方程log5(2x+1)=log5(x 2-2)的解集为{-1,3};‎ ‎④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.‎ 其中正确的是____.(把你认为正确结论的序号填上)‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】根据题意，由平移的性质对①进行判断；根据指数函数和对数函数关于直线对称可以对②进行判断；对于③，方程可以写成： ，求解集即可；通过比较与的关系可以对④进行判断。‎ ‎【详解】‎ 根据题意可知：‎ 对于①，函数 且可以由函数向左平移2个单位得到，故①正确；‎ 对于②，函数与函数的图像关于直线对称，故②错误；‎ 对于③，由可得：‎ ‎，解得，故③错误；‎ 对于④，，定义域为，关于原点对称， ，所以函数为奇函数，‎ 故④正确。‎ 正确答案：①④‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数的关系和性质，熟练掌握平移、奇函数、求方程的解等知识是解题的关键。‎ 三、解答题 ‎17．（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据指数的运算律和根式的性质可计算出所求代数式的值；‎ ‎（2）利用对数的运算性质和对数恒等式可计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式与对数式的计算，熟悉指数与对数的运算性质是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知集合，集合.‎ ‎（1）求当时，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎，‎ ‎（2）由，得：，‎ 则有，解得：，即，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎19．已知二次函数．‎ ‎（1）若只有一个零点，求实数的值；‎ ‎（2）若在区间及内各有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据题意得出，可得出关于实数的值；‎ ‎（2）根据二次函数的两个零点所在的区间得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若函数只有一个零点，则判别式，‎ 即，解得或；‎ ‎（2）若二次函数在区间及内各有一个零点，‎ 则，即，则，解得，‎ 因此，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用二次函数零点个数求参数，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，一般要结合二次函数的图象分析二次函数首项系数的符号、判别式、对称轴以及区间端点函数值的符号，列出不等式组求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎20．已知是定义在上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：解决抽象函数问题的关键是在充分理解函数及其相关性质的概念的基础上，利用相关概念进行求解．（1）关键是对条件等式f（xy）＝f（x）＋f（y）的理解，这是一个恒等式，从函数值的概念的角度讲，任何两个自变量的乘积的函数值等于它们各自函数值的和，所以可以先令求出，然后先令 求出；（2）先将已知不等式等价转化为，然后利用函数是上的增函数求解．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得…10分 ‎（2）原不等式可化为 由函数是上的增函数得，‎ 解得．‎ 故不等式的解集为．‎ ‎21．已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;‎ ‎(3)当a>1时,求使f(x)>0的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）函数为奇函数，证明见解析（3）‎ ‎【解析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于的不等式组，求解即可得出答案。‎ ‎（2）根据题意，结合（1）的结果以及函数解析式即可确定函数的奇偶性。‎ ‎（3） 根据题意结合对数函数的单调性可以得到关于的不等式组，求解即可得出最终结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，，‎ 所以 ，解得：‎ 故函数的定义域为： ‎ ‎（2）函数为奇函数。‎ 证明：由（1）知的定义域为，关于原点对称，‎ 又，故函数为奇函数。‎ ‎（3）根据题意， ， 可得，‎ 则，解得： ‎ 故的解集为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性以及对数函数的相关知识，掌握对数函数真数大于零以及对数函数的单调性，学会解不等式组。‎ ‎22．已知定义域为R的函数是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据解得，根据解得 ‎（Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为，求二次函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）定义域为的函数是奇函数 则 ‎，，‎ 根据，解得 ，经检验，满足函数为奇函数 ‎（Ⅱ） ‎ 易知为增函数，故为减函数 即 即 ‎ 所以 恒成立，即 ‎ 当时，有最小值 ‎ 故的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.‎