高考理数　等差数列

高考理数　等差数列

§6.2 　等差数列 高考理数 (课标专用 ) A组  统一命题·课标卷题组 考点一　等差数列的概念及运算 1. (2018课标Ⅰ,4,5分)记 S n 为等差数列{ a n }的前 n 项和.若3 S 3 = S 2 + S 4 , a 1 =2,则 a 5 =   (　　) A.-12　    B.-10　    C.10　    D.12 五年高考 答案    B 　本题主要考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式. 设等差数列{ a n }的公差为 d ,则3 × (3 a 1 +3 d )=2 a 1 + d +4 a 1 +6 d ,即 d =-   a 1 ,又 a 1 =2,∴ d =-3,∴ a 5 = a 1 +4 d =- 10,故选B. 2 .(2017课标Ⅰ,4,5分)记 S n 为等差数列{ a n }的前 n 项和.若 a 4 + a 5 =24, S 6 =48,则{ a n }的公差为   (    　) A.1　    B.2　    C.4　    D.8 答案    C 　本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式以及等差数列的性质,考查学生对数 列基础知识的掌握程度和应用能力. 解法一:等差数列{ a n }中, S 6 =   =48,则 a 1 + a 6 =16= a 2 + a 5 ,又 a 4 + a 5 =24,所以 a 4 - a 2 =2 d =24-16=8, 得 d =4,故选C. 解法二:由已知条件和等差数列的通项公式与前 n 项和公式可列方程组,得   即   解得   故选C. 方法总结 　求解此类题时,常用 S n =   先求出 a 1 + a n 的值,再结合等差数列{ a n }中“若 m , n , p , q ∈N * , m + n = p + q ,则 a m + a n = a p + a q ”的性质求解数列中的基本量. 3 .(2017课标Ⅲ,9,5分)等差数列{ a n }的首项为1,公差不为0.若 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列,则{ a n }前6项的 和为   (　　) A.-24　    B.-3　    C.3　    D.8 答案    A 　本题主要考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式. 设等差数列{ a n }的公差为 d ,依题意得   = a 2 · a 6 ,即(1+2 d ) 2 =(1+ d )(1+5 d ),解得 d =-2或 d =0(舍去),又 a 1 =1,∴ S 6 =6 × 1+   × (-2)=-24.故选A. 4. (2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{ a n }前9项的和为27, a 10 =8,则 a 100 =   (　　) A.100　    B.99　    C.98　    D.97 答案    C     设{ a n }的公差为 d ,由等差数列前 n 项和公式及通项公式,得   解得   a n = a 1 +( n -1) d = n -2,∴ a 100 =100-2=98.故选C. 思路分析 　用 a 1 , d 表示 S 9 , a 10 ,列方程组求出 a 1 , d ,从而可求得 a 100 . 考点二　等差数列的性质 (2014课标Ⅰ,17,12分,0.455)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =1, a n ≠ 0, a n a n +1 = λS n -1,其中 λ 为常数, (1)证明: a n +2 - a n = λ ; (2)是否存在 λ ,使得{ a n }为等差数列?并说明理由. 解析 　(1)证明:由题设 a n a n +1 = λS n -1,知 a n +1 a n +2 = λS n +1 -1.两式相减得, a n +1 ( a n +2 - a n )= λa n +1 . 由于 a n +1 ≠ 0,所以 a n +2 - a n = λ . (2)存在.由 a 1 =1, a 1 a 2 = λa 1 -1,可得 a 2 = λ -1,由(1)知, a 3 = λ +1.令2 a 2 = a 1 + a 3 ,解得 λ =4. 故 a n +2 - a n =4,由此可得,{ a 2 n -1 }是首项为1,公差为4的等差数列, a 2 n -1 =1+( n -1)·4=4 n -3; { a 2 n }是首项为3,公差为4的等差数列, a 2 n =3+( n -1)·4=4 n -1.所以 a n =2 n -1, a n +1 - a n =2. 因此存在 λ =4,使得{ a n }为等差数列. 思路分析 　(1)已知 a n a n +1 = λS n -1,用 n +1代替 n 得 a n +1 · a n +2 = λS n +1 -1,两式相减得结论. (2)利用 a 1 =1, a 2 = λ -1, a 3 = λ +1及2 a 2 = a 1 + a 3 ,得 λ =4.进而得 a n +2 - a n =4.故数列{ a n }的奇数项和偶数项分 别组成公差为4的等差数列,分别求通项,进而求出{ a n }的通项公式,从而证出等差数列. 方法总结 　对于含 a n 、 S n 的等式的处理,往往可转换为关于 a n 的递推式或关于 S n 的递推式;对于 存在性问题,可先探求参数的值再证明. 考点一　等差数列的概念及运算 1. (2015重庆,2,5分)在等差数列{ a n }中,若 a 2 =4, a 4 =2,则 a 6 =(　　) A.-1　    B.0　    C.1　    D.6 B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案    B 　设数列{ a n }的公差为 d ,由 a 4 = a 2 +2 d , a 2 =4, a 4 =2,得2=4+2 d , d =-1,∴ a 6 = a 4 +2 d =0.故选B. 2. (2014福建,3,5分)等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 1 =2, S 3 =12,则 a 6 等于   (　　) A.8　    B.10　    C.12　    D.14 答案    C 　∵ S 3 =   =3 a 2 =12,∴ a 2 =4. ∵ a 1 =2,∴ d = a 2 - a 1 =4-2=2. ∴ a 6 = a 1 +5 d =12. 3. (2014辽宁,8,5分)设等差数列{ a n }的公差为 d .若数列{   }为递减数列,则   (　　) A. d <0　    B. d >0　    C. a 1 d <0　    D. a 1 d >0 答案    C 　{   }为递减数列,可知{ a 1 a n }也为递减数列,又 a 1 a n =   + a 1 ( n -1) d = a 1 dn +   - a 1 d ,故 a 1 d < 0,故选C. 4. (2018北京,9,5分)设{ a n }是等差数列,且 a 1 =3, a 2 + a 5 =36,则{ a n }的通项公式为 　　　     . 答案      a n =6 n -3 解析 　本题主要考查等差数列的通项公式. 设等差数列{ a n }的公差为 d ,则 a 2 + a 5 = a 1 + d + a 1 +4 d =2 a 1 +5 d =6+5 d =36,∴ d =6,∴ a n = a 1 +( n -1) d =3+6( n - 1)=6 n -3. 5 .(2016天津,18,13分)已知{ a n }是各项均为正数的等差数列,公差为 d .对任意的 n ∈N * , b n 是 a n 和 a n +1 的等比中项. (1)设 c n =   -   , n ∈N * ,求证:数列{ c n }是等差数列; (2)设 a 1 = d , T n =   (-1) k   , n ∈N * ,求证:     <   . 证明 　(1)由题意得   = a n a n +1 ,有 c n =   -   = a n +1 · a n +2 - a n a n +1 =2 da n +1 ,因此 c n +1 - c n =2 d ( a n +2 - a n +1 )=2 d 2 , 所以{ c n }是等差数列. (2) T n =(-   +   )+(-   +   )+ … +(-   +   ) =2 d ( a 2 + a 4 + … + a 2 n ) =2 d ·   =2 d 2 n ( n +1). 所以     =       =       =   ·   <   . 考点二　等差数列的性质 1. (2015北京,6,5分)设{ a n }是等差数列.下列结论中正确的是   (　　) A.若 a 1 + a 2 >0,则 a 2 + a 3 >0 B.若 a 1 + a 3 <0,则 a 1 + a 2 <0 C.若0< a 1 < a 2 ,则 a 2 >   D.若 a 1 <0,则( a 2 - a 1 )( a 2 - a 3 )>0 答案    C 　因为{ a n }为等差数列, 所以2 a 2 = a 1 + a 3 . 当 a 2 > a 1 >0时,得公差 d >0, ∴ a 3 >0, ∴ a 1 + a 3 >2   , ∴2 a 2 >2   , 即 a 2 >   ,故选C. 2. (2015广东,10,5分)在等差数列{ a n }中,若 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 =25,则 a 2 + a 8 = 　　　     . 答案 　10 解析 　利用等差数列的性质可得 a 3 + a 7 = a 4 + a 6 =2 a 5 ,从而 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 =5 a 5 =25,故 a 5 =5,所以 a 2 + a 8 =2 a 5 =10. 3 .(2014北京,12,5分)若等差数列{ a n }满足 a 7 + a 8 + a 9 >0, a 7 + a 10 <0,则当 n = 　　　     时,{ a n }的前 n 项 和最大. 答案 　8 解析 　根据题意知 a 7 + a 8 + a 9 =3 a 8 >0,即 a 8 >0. 又 a 8 + a 9 = a 7 + a 10 <0,∴ a 9 <0, ∴当 n =8时,{ a n }的前 n 项和最大. 考点一　等差数列的概念及运算 1 .(2016浙江,6,5分)如图,点列{ A n },{ B n }分别在某锐角的两边上,且| A n A n +1 |=| A n +1 A n +2 |, A n ≠ A n +2 , n ∈N * , | B n B n +1 |=| B n +1 B n +2 |, B n ≠ B n +2 , n ∈N * . ( P ≠ Q 表示点 P 与 Q 不重合) 若 d n =| A n B n |, S n 为△ A n B n B n +1 的面积,则   (　　) A.{ S n }是等差数列　    B.{   }是等差数列 C组  教师专用题组 C.{ d n }是等差数列　    D.{   }是等差数列 答案    A 　不妨设该锐角的顶点为 C ,∠ A 1 CB 1 = θ ,| A 1 C |= a ,依题意,知 A 1 、 A 2 、 … 、 A n 顺次排列,设 | A n A n +1 |= b ,| B n B n +1 |= c ,则| CA n |= a +( n -1) b ,作 A n D n ⊥ CB n 于 D n ,则| A n D n |=[ a +( n -1) b ]sin θ ,于是 S n =   | B n B n +1 | ·| A n D n |=   · c ·[ a +( n -1) b ]sin θ =   bc sin θ · n +   ( a - b ) c sin θ ,易知 S n 是关于 n 的一次函数,所以{ S n }成等 差数列.故选A. 2. (2015浙江,3,5分)已知{ a n }是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n .若 a 3 , a 4 , a 8 成等比数列,则   (　　) A. a 1 d >0, dS 4 >0　    B. a 1 d <0, dS 4 <0 C. a 1 d >0, dS 4 <0　    D. a 1 d <0, dS 4 >0 答案    B 　由   = a 3 a 8 ,得( a 1 +2 d )( a 1 +7 d )=( a 1 +3 d ) 2 ,整理得 d (5 d +3 a 1 )=0,又 d ≠ 0,∴ a 1 =-   d ,则 a 1 d =-   d 2 <0,又∵ S 4 =4 a 1 +6 d =-   d ,∴ dS 4 =-   d 2 <0,故选B. 3 .(2013课标Ⅰ,7,5分,0.793)设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 S m -1 =-2, S m =0, S m +1 =3,则 m =   (　　) A.3　    B.4　    C.5　    D.6 答案    C 　∵ S m -1 =-2, S m =0, S m +1 =3,∴ a m = S m - S m -1 =2, a m +1 = S m +1 - S m =3,∴公差 d = a m +1 - a m =1,由 S n = na 1 +   d = na 1 +   , 得   由①得 a 1 =   ,代入②可得 m =5. 思路分析 　由 a m = S m - S m -1 , a m +1 = S m +1 - S m 及 d = a m +1 - a m 求得 d ,利用等差数列前 n 项和公式列方程组求解. 一题多解　∵ 数列{ a n }为等差数列,且前 n 项和为 S n , ∴数列   也为等差数列. ∴   +   =   ,即   +   =0,解得 m =5.经检验为原方程的解.故选C. 4. (2016江苏,8,5分)已知{ a n }是等差数列, S n 是其前 n 项和.若 a 1 +   =-3, S 5 =10,则 a 9 的值是 　　          . 答案 　20 解析 　设等差数列{ a n }的公差为 d ,则由题设可得   解得   从而 a 9 = a 1 +8 d = 20. 5 .(2013广东,12,5分)在等差数列{ a n }中,已知 a 3 + a 8 =10,则3 a 5 + a 7 = 　　　     . 答案　 20 解析 　设等差数列的公差为 d ,则 a 3 + a 8 =2 a 1 +9 d =10,3 a 5 + a 7 =4 a 1 +18 d =2(2 a 1 +9 d )=20. 考点二　等差数列的性质 1. (2013辽宁,4,5分)下面是关于公差 d >0的等差数列{ a n }的四个命题: p 1 :数列{ a n }是递增数列; p 2 :数列{ na n }是递增数列; p 3 :数列   是递增数列; p 4 :数列{ a n +3 nd }是递增数列. 其中的真命题为   (　　) A. p 1 , p 2 　    B. p 3 , p 4 　    C. p 2 , p 3 　    D. p 1 , p 4 答案    D　 { a n }是等差数列,则 a n = a 1 +( n -1) d = dn + a 1 - d ,因为 d >0,所以{ a n }是递增数列,故 p 1 正确;对 p 2 ,举反例,令 a 1 =-3, a 2 =-2, d =1,则 a 1 >2 a 2 ,故{ na n }不是递增数列, p 2 不正确;   = d +   ,当 a 1 - d >0时,   递减, p 3 不正确; a n +3 nd =4 nd + a 1 - d ,4 d >0,{ a n +3 nd }是递增数列, p 4 正确.故 p 1 , p 4 是正确的,选D. 2. (2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 　　　     . 答案 　5 解析 　设该等差数列为{ a n },若项数为2 n -1, n ∈N * ,则有 a 2 n -1 =2 015, a n =1 010, 由 a 1 + a 2 n -1 =2 a n ,得 a 1 =5. 若项数为2 n , n ∈N * ,则有 a 2 n =2 015,   =1 010, 由 a 1 + a 2 n = a n + a n +1 ,得 a 1 =5.综上, a 1 =5. 答案　 -49 3. (2013课标Ⅱ,16,5分,0.064)等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 10 =0, S 15 =25,则 nS n 的最小值为      　　     . 解析 　由 S n = na 1 +   d 得   解得 a 1 =-3, d =   , 则 S n =-3 n +   ·   =   ( n 2 -10 n ), 所以 nS n =   ( n 3 -10 n 2 ),令 f ( x )=   ( x 3 -10 x 2 ), 则 f '( x )= x 2 -   x = x   , 当 x ∈   时, f ( x )递减,当 x ∈   时, f ( x )递增,又6<   <7, f (6)=-48, f (7)=-49,所以 nS n 的最小值为-49. 思路分析 　用 a 1 , d 表示 S 10 , S 15 ,求出 a 1 , d ,进而得 S n ,从而得 nS n =   ( n 3 -10 n 2 ),构造函数 f ( x )=   ( x 3 -10 x 2 ), 利用导数研究函数单调性,从而求出 nS n 的最小值. 方法指导 　构造函数 f ( x ),利用函数的单调性来研究数列的单调性. 4. (2014江苏,20,16分)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n .若对任意的正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 S n = a m ,则称{ a n }是“ H 数列”. (1)若数列{ a n }的前 n 项和 S n =2 n ( n ∈N * ),证明:{ a n }是“ H 数列”; (2)设{ a n }是等差数列,其首项 a 1 =1,公差 d <0.若{ a n }是“ H 数列”,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{ a n },总存在两个“ H 数列”{ b n }和{ c n },使得 a n = b n + c n ( n ∈N * )成立. 解析 　(1)证明:由已知得,当 n ≥ 1时, a n +1 = S n +1 - S n =2 n +1 -2 n =2 n .于是对任意的正整数 n ,总存在正整数 m = n +1,使得 S n =2 n = a m .所以{ a n }是“ H 数列”. (2)由已知,得 S 2 =2 a 1 + d =2+ d .因为{ a n }是“ H 数列”,所以存在正整数 m ,使得 S 2 = a m ,即2+ d =1+( m -1) d ,于是( m -2) d =1.因为 d <0,所以 m -2<0,故 m =1.从而 d =-1. 当 d =-1时, a n =2- n , S n =   是小于2的整数, n ∈N * .于是对任意的正整数 n ,总存在正整数 m =2- S n =2-   ,使得 S n =2- m = a m ,所以{ a n }是“ H 数列”. 因此 d 的值为-1. (3)证明:设等差数列{ a n }的公差为 d ,则 a n = a 1 +( n -1) d = na 1 +( n -1)( d - a 1 )( n ∈N * ). 令 b n = na 1 , c n =( n -1)( d - a 1 ),则 a n = b n + c n ( n ∈N * ). 下证{ b n }是“ H 数列”. 设{ b n }的前 n 项和为 T n ,则 T n =   a 1 ( n ∈N * ).于是对任意的正整数 n ,总存在正整数 m =   , 使得 T n = b m .所以{ b n }是“ H 数列”. 同理可证{ c n }也是“ H 数列”. 所以,对任意的等差数列{ a n },总存在两个“ H 数列”{ b n }和{ c n },使得 a n = b n + c n ( n ∈N * ). 考点一　等差数列的概念及运算 1. (2018湖北荆州一模,5)在等差数列{ a n }中, a 1 =1, a 2 + a 6 =10,则 a 7 =   (　　) A.9　    B.10　    C.11　    D.12 A组  2016—2018年高考模拟·基础题组 三年模拟 答案    A 　∵在等差数列{ a n }中, a 1 =1, a 2 + a 6 =10,∴   解得 a 1 =1, d =   ,∴ a 7 = a 1 +6 d =1+8=9.故选A. 2 .(2018河南濮阳二模,7)已知等差数列{ a n }一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项 的值为   (　　) A.   　    B.   　    C.1　    D.   答案    D 　设等差数列{ a n }的公差为 d ,由题意得   解得   ∴中间一项为 a 5 = a 1 +4 d =   +4 ×   =   .故选D. 3 .(2018河南信阳二模,9)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分 五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数 列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得 　　　     钱   (     　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    C 　甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ,设公差为 d , 由题意知 a 1 + a 2 = a 3 + a 4 + a 5 =   ,即   解得   故甲得   钱,故选C. 4 .(2016安徽江南十校3月联考,6)在数列{ a n }中, a n +1 - a n =2, S n 为{ a n }的前 n 项和.若 S 10 =50,则数列{ a n + a n +1 }的前10项和为   (　　) A.100　    B.110　    C.120　    D.130 答案    C 　{ a n + a n +1 }的前10项和为 a 1 + a 2 + a 2 + a 3 + … + a 10 + a 11 =2( a 1 + a 2 + … + a 10 )+ a 11 - a 1 =2 S 10 +10 × 2=12 0,故选C. 5 .(2018福建外国语中学调研,17)已知等差数列{ a n }的公差 d >0,前 n 项和为 S n ,且 a 2 · a 3 =45, S 4 =28. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若 b n =   ( c 为非零常数),且数列{ b n }也是等差数列,求 c 的值. 解析 　(1)∵ S 4 =28,∴   =28, ∴ a 1 + a 4 =14,则 a 2 + a 3 =14, 又 a 2 · a 3 =45,公差 d >0,∴ a 2 < a 3 , a 2 =5, a 3 =9, ∴   解得   ∴ a n =4 n -3. (2)由(1)知 S n =2 n 2 - n ,∴ b n =   =   , ∴ b 1 =   , b 2 =   , b 3 =   . 又{ b n }是等差数列,∴ b 1 + b 3 =2 b 2 , 即2 ×   =   +   ,解得 c =-   ( c =0舍去). 考点二　等差数列的性质 1.(2018湖南衡阳一模,6)在等差数列{ a n }中, a 1 +3 a 8 + a 15 =120,则 a 2 + a 14 的值为   (　　) A.6　    B.12　    C.24　    D.48 答案    D 　∵在等差数列{ a n }中, a 1 +3 a 8 + a 15 =120,∴由等差数列的性质可得 a 1 +3 a 8 + a 15 =5 a 8 =120, ∴ a 8 =24,∴ a 2 + a 14 =2 a 8 =48.故选D. 2 .(2018湖北荆州一模,7)在等差数列{ a n }中,若 a 3 + a 4 + a 5 =3, a 8 =8,则 a 12 的值是   (　　) A.15　    B.30　    C.31　    D.64 答案    A 　设等差数列{ a n }的公差为 d ,∵ a 3 + a 4 + a 5 =3,∴3 a 4 =3,即 a 1 +3 d =1,又由 a 8 =8得 a 1 +7 d =8,联 立解得 a 1 =-   , d =   ,则 a 12 =-   +   × 11=15.故选A. 3. (2018山西太原一模,5)已知等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 2 + a 3 + a 10 =9,则 S 9 =   (　　) A.3　    B.9　    C.18　    D.27 答案    D 　设等差数列{ a n }的公差为 d ,∵ a 2 + a 3 + a 10 =9,∴3 a 1 +12 d =9,即 a 1 +4 d =3,∴ a 5 =3,∴ S 9 =   =9 a 5 =27,故选D. 4. (2018广东汕头模拟,8)已知等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =9,   -   =-4,则 S n 取最大值时的 n 为   (　　) A.4　    B.5　    C.6　    D.4或5 答案    B 　由{ a n }为等差数列,得   -   = a 5 - a 3 =2 d =-4,即 d =-2, 由于 a 1 =9,所以 a n =-2 n +11,令 a n =-2 n +11<0,得 n >   , 所以 S n 取最大值时的 n 为5,故选B. 5 .(2017河南百校联盟模拟,5)等差数列{ a n }中, S n 是其前 n 项和, a 1 =-9,   -   =2,则 S 10 =   (　　) A.0　    B.-9　    C.10　    D.-10 答案    A 　解法一:∵数列{ a n }是等差数列,∴数列   也是等差数列,由题意知数列   的首 项为-9,公差为1,∴   = n -10,∴   =0,∴ S 10 =0.故选A. 解法二:设数列{ a n }的公差为 d ,∵   -   =2,∴   d -   d =2,∴ d =2,∵ a 1 =-9,∴ S 10 =10 × (-9)+   × 2=0,故选A. 6 .(2016福建四地六校联考,13)已知等差数列{ a n }中, a 3 =   ,则cos( a 1 + a 2 + a 6 )= 　　　     . 答案 　-   解析 　∵ a 1 + a 2 + a 6 =3 a 3 =   π,∴cos( a 1 + a 2 + a 6 )=cos   π=-   . 1 .(2018山东青岛模拟,6)公差不为0的等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 6 =3 a 4 ,且 S 9 = λa 4 ,则 λ 的值 为   (　　) A.18　    B.20　    C.21　    D.25 B组  2016—2018年高考模拟·综合题组 (时间:25分钟　　分值:45分) 一、选择题(每题5分,共35分) 答案    A 　设公差为 d ,由 a 6 =3 a 4 ,且 S 9 = λa 4 ,得   解得 λ =18,故选A. 方法指导 　设公差为 d ,再由已知列方程组求解. 2 .(2018山东菏泽一模,8)已知在等差数列{ a n }中, a 1 =1, a 3 =2 a +1, a 5 =3 a +2,若 S n = a 1 + a 2 + … + a n ,且 S k =6 6,则 k 的值为   (　　) A.9　    B.11　    C.10　    D.12 答案    B 　∵在等差数列中,第一项、第三项、第五项分别为1,2 a +1,3 a +2,∴2(2 a +1)=1+3 a +2, 解得 a =1,∴公差 d =   =   =1,∴ S k = k × 1+   × 1=66,解得 k =11或 k =-12(舍).故选B. 思路分析 　在等差数列中,第一项、第三项、第五项分别为1,2 a +1,3 a +2,可得2(2 a +1)=1+3 a +2, 由此解得 a ,可得公差 d ,再利用求和公式列方程即可解出. 3 .(2018湖南永州三模,11)已知数列{ a n }是等差数列,前 n 项和为 S n ,满足 a 1 +5 a 3 = S 8 ,给出下列结论: ① a 10 =0;② S 10 最小;③ S 7 = S 12 ;④ S 20 =0. 其中一定正确的结论是(　　) A.①②　    B.①③④　    C.①③　    D.①②④ 答案    C 　∵ a 1 +5 a 3 = S 8 ,∴ a 1 +5 a 1 +10 d =8 a 1 +28 d ,∴ a 1 =-9 d ,∴ a n = a 1 +( n -1) d =( n -10) d ,∴ a 10 =0,故①一 定正确,∴ S n = na 1 +   =-9 nd +   =   ( n 2 -19 n ),∴ S 7 = S 12 ,故③一定正确,显然② S 10 最小与 ④ S 20 =0不一定正确,故选C. 思路分析 　先由已知条件得出 a 1 与 d 的关系,进而表示出 a n 与 S n ,由此进行判断. 拓展延伸 　等差数列{ a n }中求前 n 项和 S n 的最大、最小值时常用到两种方法:第一种,当 a 1 >0, d < 0时,设   求 n 即可,当 a 1 <0, d >0时,设   求 n 即可;第二种,用前 n 项和公式求得 S n = f ( n ), 借助图象的对称轴求解. 4. (2018安徽淮北一模,9) S n 是等差数列{ a n }的前 n 项和, S 2 018 < S 2 016 , S 2 017 < S 2 018 ,则 S n <0时 n 的最大值 是   (　　) A.2 017　    B.2 018　    C.4 033　    D.4 034 答案    D 　∵ S 2 018 < S 2 016 , S 2 017 < S 2 018 ,∴ a 2 018 + a 2 017 <0, a 2 018 >0.∴ S 4 034 =   =2 017( a 2 018 + a 2 017 ) <0, S 4 035 =   =4 035 a 2 018 >0,可知 S n <0时 n 的最大值是4 034.故选D. 解题关键 　由 S 2 018 < S 2 016 , S 2 017 < S 2 018 得出 a 2 018 + a 2 017 <0, a 2 018 >0是解题的关键. 易错警示 　本题中所求的是前 n 项和 S n <0时的 n 的最大值,注意不要与 S n 最大时的 n 混淆.求 S n <0 时的 n 的最大值,运用前 n 项和公式求解;求 S n 最大时的 n 一般借助通项公式联立 a n ≥ 0与 a n +1 ≤ 0求 解. 5. (2017广东潮州二模,10)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马 与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马 初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢   (　　) A.8日　    B.9日　    C.12日　    D.16日 答案    B 　设 n 日相逢,则依题意得103 n +   × 13+97 n +   ×   =1 125 × 2,整理得 n 2 +31 n -360=0,解得 n =9(负值舍去),故选B. 思路分析　 “良马”每日行的里程构成以103为首项,13为公差的数列,“驽马”每日行的里 程构成以97为首项,-   为公差的等差数列,当二马相逢时,两马共行驶了1 125 × 2里,由此利用等 差数列前 n 项和公式列方程求解. 解题关键 　将“二马相逢”问题转化为等差数列问题是解题的关键. 6. (2017湖南长沙四县3月联考,9)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀 算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得 到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四 节气晷影长的记录,其中115.1   寸表示115寸1   分(1寸=10分). 节气 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 晷影 长(寸) 135 125.   115. 1   105. 2   95. 3   85. 4   75.5 66. 5   55. 6   45. 7   35. 8   25. 9   16.0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的 惊蛰的晷影长应为   (　　) A.72.4寸　    B.81.4寸　    C.82.0寸　    D.91.6寸 答案    C 　设《易经》中记录的冬至、小寒、立春、 …… 、夏至的晷影长依次为 a 1 , a 2 , … , a 13 , 由题意知它们构成等差数列,设公差为 d ,由 a 1 =130.0, a 13 =14.8,得130.0+12 d =14.8,解得 d =-9.6.∴ a 6 =130.0-9.6 × 5=82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸.故选C. 思路分析 　列方程求出等差数列的公差,进而求出指定项. 7 .(2016江西红色七校4月联考,9)等差数列{ a n },{ b n }的前 n 项和分别为 S n , T n ,若   =   ( n ∈N * ),则   =   (　　) A.16　    B.   　    C.   　    D.   答案    A 　令 S n =38 n 2 +14 n , T n =2 n 2 + n ,∴ a 6 = S 6 - S 5 =38 × 6 2 +14 × 6-(38 × 5 2 +14 × 5)=38 × 11+14; b 7 = T 7 - T 6 = 2 × 7 2 +7-(2 × 6 2 +6)=2 × 13+1,∴   =   =   =16.故选A. 思路分析 　令 S n =38 n 2 +14 n , T n =2 n 2 + n ,由 a n = S n - S n -1 ( n ≥ 2), b n = T n - T n -1 ( n ≥ 2)分别求出 a 6 , b 7 ,从而得   的值. 解题关键 　等差数列的前 n 项和可写成 S n = An 2 + Bn 的形式,本题令 S n =38 n 2 +14 n , T n =2 n 2 + n 是解题 关键. 8 .(2018福建漳州二模,17)已知数列{ a n }满足 na n -( n +1) a n -1 =2 n 2 +2 n ( n =2,3,4, … ), a 1 =6. (1)求证:   为等差数列,并求出{ a n }的通项公式; (2)设数列   的前 n 项和为 S n ,求证: S n <   . 二、解答题(共10分) 解析 　(1)由 na n -( n +1) a n -1 =2 n 2 +2 n ( n =2,3,4, … ), a 1 =6, 可得   -   =2,   =3, 则   是首项为3,公差为2的等差数列, 可得   =3+2( n -1)=2 n +1,则 a n =( n +1)(2 n +1)( n ∈N * ). (2)由   <   =     , 可得数列   的前 n 项和 S n =   +   + … +   ≤   +   ×   =   +     <   +   =   ,即 S n <   . 方法总结 　(1)证明等差数列的常用方法:①利用定义法: a n +1 - a n = d ;②利用等差中项法:2 a n = a n -1 + a n +1 ( n ≥ 2). (2)放缩法证明不等式的常见放缩形式:①   <   =   -   ( n ≥ 2, n ∈N * );②   >   =   -   ( n ∈N * );③   <   =     ( n ∈N * ). 思路分析 　(1)将已知等式两边同除以 n ( n +1),再由等差数列的定义和通项公式即可求解. (2)由   <   =     对   的前 n 项和 S n 从第二项开始放缩,结合不等式的 性质即可得证.