2021中考数学复习微专题 一次函数常见问题分析与例题详解

2021中考数学复习微专题 一次函数常见问题分析与例题详解

1 中考数学微专题：一次函数常见问题分析与例题详解 一.忽视一次函数定义中k≠0这一条件 例 1 已知一次函数y = (m-2)x + m2-3m-2的图象与y轴的交点为（0, -4)，求m 的值. 错解：把点（0，-4)代入已知的函数关系式中，得 24 3 2m m    ，解得 1 21, 2m m  . 错解分析：产生错误的原因是忽视了一次函数定义中“k≠0”这一条件.当m = 2 时，m-2 =0，此时函数就不是一次函数，故应舍去.正确答案是m = 1. 正解：把点（0，-4)代入已知的函数关系式中，得 24 3 2m m    .解得 1 21, 2m m  . 因为k≠0，而当m = 2时，m-2 =0，因此m = 1. 二.忽视一次函数中自变量的取值范围 例2 下列函数的图象与y = x的图象完全相同的是（ ） ① 3 3y x ② 2xy x  ③ y x ④ 2( )y x A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.① 错解：选B.由于函数①②④都可化为y =x，③不能直接化为y =x，故选B. 错解分析：若要两个函数图象完全相同，必须同时满足：（1)函数关系式可化 为同一形式，（2) 自变量的取值范围相同.本题忽视了对函数自变量取值范围 的检验.由 3 3y x 知，x的取值范围是一切实数；由 2xy x  知，x≠0;由 2( )y x 知 x≥0.而函数y =x的自变量的取值范围是一切实数，所以②，④两个函数的图象 2 与y = x的图象不同.又由 y x ，知y≥0，它的图象也与y =x的图象不同.只有 3 3y x 与y=x的图象完全相同，故应选D. 正解：选D. 三.忽视题设条件 例 3 若一次函数y=(1+ 2m)x-m- 1 4 的函数值y随x的增大而减小，且此函数图象 不经过第三象限，求m的取值范围. 错解： 根据题意有1+2m<0,所以m< 1 2  ,故m的取值范围是m< 1 2  . 错解分析： 错在忽视了题设条件：函数图象不经过第三象限.因为函数图象不 经过第三象限，所以它与y轴的交点应在y轴的正半轴或原点. 所以 1 4m  ≥0， 即 1 4m   .综合前解，得m的取值范围是m< 1 2  .虽然结果相同，但不考虑题设条件 的解答是不完整的. 正解：由题意知1+2m<0且 1 4m  ≥0，即m< 1 2  且 1 4m   ,所以m< 1 2  . 四.考虑问题不全面 例4 已知直线y=-x+5与x轴交于A点，直线上有一点P,满足△POA的面积为10, 求点P的坐标. 错解：若y = 0，则x=5, 所以A点的坐标为（5，0）.设 P (x，y)，则 S△POA = 1 2 ·OA·y, 所以10= 1 52 y ,解得y= 4.代入y=－x+5，得x=1，故P点坐标为（1，4). 错解分析： 此题错误原因在于漏解，即忽略了 P 点在 x 轴下方的情形（如图). 3 正解：设P(x,y),则 1 1 5 10,2 2    POAS OA y y· ·V 解得 4y  , 所以 1 24, 4.y y   分别代入y=－x+5,得 1 2x 1, 9. x 所以P点的坐标为（1,4)或（9, -4). 五.遗漏附加条件出现错误 例 5 若一次函数 2 8 5 3my x m    的图象经过第一象限，则 m 的值是 . 错解： 由题意，得 2 8 1m   ，解得 3m  或 3m   . 错解分析： 造成错解的原因是遗漏了函数的图象经过第一象限，所以5 3 0m   ， 即 3 5m  .故正确答案是 3m  . 正解：m=3 六.缺少分类讨论出现错误 例 6 当 a = 时，函数 3 1( 1) 7 3( 0)    ay a x x x 是一次函数. 错解： 由题意，得3 1 1a   ，即 0a  . 错解分析： 此解法只考虑了指数是 1 的情形，而忽视了系数 1a  为 0 的情况， 以及指数为 0 （任何不等于 0 的数的零次幂为 1）的情况，正确答案是： 0a  或 1 3a   或 1a  . 七.不熟悉函数的性质出现错误 4 例 7 若一次函数 y kx b  的自变量的取值范围是 2 4x ≤ ≤ ，相应函数值的取值范 围是 x6≤ ≤8 ，则这个函数的关系式是 . 错解： 对于一次函数 y kx b  ，由题意可知：当 2x   时， 6y  ；当 4x  时， 8y  . 故 2 6, 4 8. k b k b       解之，得 1 ,3 20.3 k b     所以这个函数的关系式是 1 20.3 3y x  错解分析： 此解法忽视了另一种情形，即 y 随 x 的增大而减小.对应取值是： 当 2x   时， y =8；当 4x  时， 6y  .类似上述解法可求得 1 ,3 22.3      k b 故所求函数的 关系式是 1 20 3 3y x  或 1 22 3 3y x   .