2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期末考试数学（理）科试卷 （2018.7）‎ 命题：陈鹏林 审核: 刘奕忠 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟. ‎ ‎2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷 的无效.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若～，则等于（  ）    ‎ A．      B． C． D． ‎ ‎3．已知随机变量服从正态分布且，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系，诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，‎ 倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回 文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，‎ 称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！ 二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个； 三位的回文数有101，111，121，131，，969，979，989，999，共90‎ 个； 四位的回文数有1001，1111，1221，，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：7位的回文数总共有（ ）个 A．90 B．900 C．9000 D．90000‎ ‎5．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，‎ 已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．若(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋…＋a2 014x2 014(x∈R)，则＋＋＋…＋的值为(　 　)‎ A．－2 B．－1 C．0 D．1‎ ‎7．是上奇函数，对任意实数都有，当时，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．下列命题中，正确的是（ ）‎ A．已知服从正态分布，且，则 B．‎ C．已知，为实数，则的充要条件是 D．命题：“”的否定是“”‎ ‎9．下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎（1）函数的最小正周期为的充分不必要条件是“” ．‎ ‎（2）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为．‎ ‎（3）已知函数在定义域上为增函数，则．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎ ‎ ‎10．对于不等式＜n＋1()，某同学用数学归纳法的证明过程如下：‎ ‎（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．‎ ‎（2）假设当n＝k()时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，‎ ‎＝(k＋1)＋1，‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）‎ A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 ‎11．已知函数，若满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎12．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时（是函数的导函数）成立.若, ，，则的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则的实部为_____．‎ ‎14．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为________．‎ ‎15．设，则二项式的展开式中含项的系数为______．‎ ‎16．若均为任意实数，且，则 的最小值为______．‎ ‎ ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）在中，角的对边分别为．‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，且，求的周长．‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，‎ AD∥BC，AD⊥AB，且PB＝AB＝AD＝3，BC＝1．‎ ‎（1）求二面角B—PD—A的大小；‎ ‎（2）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA? ‎ 若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）求名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；‎ ‎（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为，求该校被抽取的名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）；‎ ‎（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职 工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，‎ 规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人 元；“一般生活方式者”奖励金额每人元；“超健康生 活方式者”奖励金额每人元.求工会慰问奖励金额的 分布列和数学期望.‎ 附：若随机变量服从正态分布，‎ 则，.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆过点两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，‎ 求证：四边形的面积为定值．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）当，时，讨论函数在区间上零点的个数；‎ ‎（2）当时，如果函数恰有两个不同的极值点，，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），,1)，直线与曲线相交与，两点．‎ ‎（1）求曲线和直线的平面直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设 ．‎ ‎（1）求 的解集；‎ ‎（2）若不等式，对任意实数恒成立，求实数x的取值范围．‎ 永春一中高二年（下）期末考数学（理）科试卷参考答案 一、选择题： 1—4：CDBC 5—8：DBBA 9—12：CDAA 二、填空题：13． 14． 15．192 16．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．解：（1）,，………………………………1分 ‎ 又，解得．…………………………3分 ‎ ，是锐角．………………………………5分 ‎（2）．又 ． ．‎ ‎ ．……………………………10分 的周长为：……………………………………12分 ‎ ‎18．解：‎ ‎（1）因为梯形中，AD∥BC，, 所以.‎ 因为平面，所以, ‎ 如图，以为原点，‎ 所在直线为轴建立空间直角坐标系, …………….1分 所以.‎ 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,‎ 因为 所以，即， ‎ 取得到, ‎ 同理可得, ………………4分 所以, N 因为二面角为锐角，‎ 所以二面角为. ………………….6分 ‎（2）假设存在点，设， ‎ 所以, ……10分 所以，解得, ‎ 所以存在点，且. ……….12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）.……3分 ‎（2）∵，∴，，‎ ‎∴.‎ 走路步数的总人数为人. …………………………6分 ‎（3）由题意知的可能取值为，，，，， …………………………7分 ‎，，‎ ‎，‎ ‎，.（正确一个给0.5分）‎ 则的分布列为：‎ ‎[]‎ ‎ ………………………………10分 ‎.……12分 ‎20．解：（1）由题意得，，所以椭圆的方程为，‎ 又,所以离心率．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）设，则，‎ 又，所以直线的方程为，‎ 令，得，从而，‎ 直线的方程为．令，得，从而，‎ 所以四边形的面积：‎ ‎ 从而四边形的面积为定值．．．．．．．．．．．．　12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（1）当，时，函数在区间上的零点的个数即方程根的个数．‎ 由， ………………………………1分 令， …………………………2分 则在上单调递减， 在上单调递增．‎ 所以是的极小值即最小值，即 所以函数在区间上零点的个数，讨论如下：当时，有个零点；‎ 当时，有个零点；当时，有个零点． …………5分 （2） 由已知，，‎ ‎，是函数的两个不同极值点（不妨设），‎ ‎（若时，至多只有一个根，即至多只有一个零点，与已知矛盾），‎ 且，．，……………6分 两式相减得：， ‎ 于是要证明，即证明，两边同除以，‎ 即证，即证，即证， ‎ 令，．即证不等式对于时恒成立． ………9分 设，．‎ 设，，当，，‎ 单调递减，所以，即，，‎ 在时是减函数．在处取得最小值．‎ ‎，得证．． ………………………12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 解：(1)曲线的极坐标方程为，即 ‎∴曲线的平面直角坐标方程为 直线的平面直角坐标方程为，即……5分 ‎(2)易知点P在直线上，∴‎ 又直线过F,0)，直线的参数方程可改为（为参数），代入得，，‎ ‎∴‎ ‎∴……………………10分 ‎23．（解）：（1）由有 ………3分 解得， ……5分 ‎（2） ………7分 当且仅当 时取等号.‎ 由不等式 对任意实数恒成立，可得 ‎ 解得 ………10分