2017-2018学年河北省定州中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2017-2018学年河北省定州中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省定州中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．若三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为三次函数在上是减函数，所以有，得故选A.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎2．若在是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，只需 在 恒成立即可，即恒成立 ，因为，可得 ， 所以 ，故选A.‎ ‎3．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，方程组，只有一组解的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：方程组只有一组解ó，即除了且或且这两种情况之外都可以，故所求概率．‎ ‎【考点】1.概率；2.解方程组.‎ ‎4．设函数，则（ ）‎ A. 2 B. -2 C. 5 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D ‎5．设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是 （ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项D，两条平行线分别垂直两个平面，则其中一条必和另一个平面垂直，所以必同时垂直一条直线，所以平行，故选D．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线为，则它的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的一条渐近线为，得，‎ 故，故选A.‎ ‎7．将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于时，其图象都依然是一个函数图象，因为是是的减函数，且,当且仅当时等号成立，故在函数的图象的切线中， 处的切线倾斜角最大，其值为，由此可知，故选D.‎ ‎8．的展开式中的系数为（ ）‎ A. -36 B. 36 C. -84 D. 84‎ ‎【答案】C ‎【解析】 的展开式中通项公式为： ，令9-2r=3，得r=3，所以的系数为 ‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：在Tr＋1＝ 中， 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．‎ ‎9．在中， ， ，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 故选：C ‎10．在 中，若，则角的值为（ ）‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】B ‎【解析】 两边同时除以 得故本题正确答案是 ‎ ‎11．是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，所以是成立的必要不充分条件．故选B．‎ ‎【考点】充分必要条件．‎ ‎12．已知向量， ，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵， ， ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选A 点睛：本题考查了平面向量共线的坐标表示的问题，利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的值时，利用如“若， ，则∥的充要条件是”解题比较方便.‎ 二、填空题 ‎13．已知，则的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎14．若直线过点，则的最小值等于__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】解析：由题设可得，则，故，应填答案。‎ ‎15．已知数列的前项和构成数列，若，则数列 的通项公式________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：当 时，，当时，‎ ‎，综上所述，，故答案为.‎ ‎【考点】数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ ‎16．已知集合，若1∈A，则A＝________.‎ ‎【答案】{－3,1}‎ ‎【解析】∵ 集合， ‎ ‎∴，即 ‎∴集合 ‎∴集合 故答案为 三、解答题 ‎17．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， ， ， ， ， 是等边三角形，且侧面底面， 分别是， 的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）连接，交于点，连接， ，得到四边形是平行四边形，∴为的中点.由为的中点，可得，从而证明平面.‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示坐标系，‎ 利用向量法能求出平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值．‎ 试题解析：（Ⅰ）连接，交于点，连接， ，‎ ‎∵且， 为的中点，∴， ，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴为的中点.‎ ‎∵为的中点，∴，‎ ‎∵平面， 平面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）连接，∵为的边的中点，∴，‎ ‎∵平面底面，∴底面，‎ ‎∴， .‎ ‎∵为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 以为坐标原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示坐标系，‎ 设，则， ， ，‎ ‎∴， ， ， ， ，‎ ‎∴， ， ， ，‎ 设平面的法向量为，‎ 则.即，‎ 令，得，‎ 设平面的法向量为，‎ 则.即，‎ 令，得，‎ 设平面与平面所成二面角的平面角为（锐角），‎ 则.‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ 点睛：本题考查线面平行的判定与性质，考查利用二面角的余弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．‎ ‎18．已知全集,函数的定义域为集合,集合 ‎(1)求集合A;        (2)求.‎ ‎【答案】(1) (2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意可得，解不等式组即可得出；（2）根据补集、交集运算先求出，再求出即可.‎ 试题解析： (1)由题意可得: ,则 ,‎ ‎(2) , 则