数学理卷·2017届福建省福建师范大学附属第二中学高三上学期期中考试（2016

数学理卷·2017届福建省福建师范大学附属第二中学高三上学期期中考试（2016

福建师大二附中2016—2017学年第一学期高三年期中考 数 学 试 卷 ‎（满分：150分，完卷时间：120分钟）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列函数中，值域为的函数是 A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，集合，则等于 A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“关于的方程有实数根”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是(　　)‎ A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)‎ C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)‎ ‎5.已知的最小值为（ ）‎ A． B． C．-1 　 D．0 ‎ ‎6．已知满足则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎7．已知数列{xn}满足xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，则数列{xn}的前2 014项的和S2 014为(　　)‎ A．669 B．671‎ C．1 338 D．1 343‎ ‎8．若直线过曲线的对称中心，则的最小值为 A． B． C． D．6 ‎ ‎9．已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎10．若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎11．在数列中，，且，，若数列满足，则数列是 A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 x y o ‎-2‎ ‎12． 已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示. （ ）‎ 则平面区域所围成的面积是 A．2 B．‎4 C．5 D．8 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 ．‎ ‎14．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ ‎15．对于数列，如果存在各项均为正整数的等差数列和各项均为正整数的等比数列，使得，则称数列为“DQ数列”．已知数列是“DQ数列”，其前5项分别是：3,6,11,20,37，则 ．‎ ‎16．设是函数的导函数，且．现给出以下四个命题：‎ ‎①若是奇函数，则必是偶函数； ②若是偶函数，则必是奇函数；‎ ‎③若是周期函数，则必是周期函数；④若是单调函数，则必是单调函数．‎ 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知函数的图象过点（，0）.‎ ‎（I）求实数的值以及函数的单调递增区间；‎ ‎（II）设的图象与轴、轴及直线（）所围成的曲边四边形面积为，求关于的函数的解析式.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知等比数列的前项和为，，。 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ ‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2＋cos‎2C＝1.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若向量m＝(‎3a，b)，向量n＝(a，－)，m⊥n，(m＋n)·(m－n)＝16，求a，b，c的值．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ ‎ 已知数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ ‎ 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（1）求的值及的表达式；‎ ‎（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．‎ ‎22．(本小题满分14分)‎ 已知函数,.‎ ‎ (Ⅰ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若的最小值为0，回答下列问题：‎ ‎（ⅰ）求实数的值；‎ ‎（ⅱ）已知数列满足,，记[]表示不大于的最大整数，求，求.‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎ ‎1．A； 2．B； 3．A； 4．A；5．D；6．A；7．D；8．C；9．A；10．C．11。C 12。B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．‎ ‎ 13．4/3； 14．　－ ； 15． ； 16．①．‎ ‎17．本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．‎ 解法一：（I）‎ ‎． ……………………3分 因为的图象过点（，0），所以，解得. ………5分 所以，由，得，.‎ 故的单调递增区间是，. ……………7分 ‎（Ⅱ）由（I）得，.‎ 所以 ……………9分 ‎． ……………12分 所以（）. ……………13分 解法二：‎ ‎ (Ⅰ)因为函数的图象过点（，0），所以.‎ 又 ‎. ………………3分 所以，解得. ………………5分 以下同解法一.‎ ‎（II）由（I）得.‎ 所以 ……………9分 ‎. ………………12分 所以（）. ………………13分 ‎18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，‎ 由 得 ……………………………………………………2分 解得 …………………………………………………………………………………………………4分 所以．……………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ），…………………………………………8分 所以 ‎ ‎………………………………………………9分 ‎．………………………………………………………………………12分 ‎19.解　(1)∵2sin2＋cos‎2C＝1，‎ ‎∴cos‎2C＝1－2sin2＝cos(A＋B)＝－cosC，‎ ‎∴2cos‎2C＋cosC－1＝0，‎ ‎∴cosC＝或cosC＝－1，‎ ‎∵C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎(2)∵m⊥n，∴‎3a2－＝0，即b2＝‎9a2.①‎ 又(m＋n)·(m－n)＝16，‎ ‎∴‎8a2＋＝16，即a2＋＝2，②‎ 由①②可得a2＝1，b2＝9，∴a＝1，b＝3，‎ 又c2＝a2＋b2－2abcosC＝7，‎ ‎∴c＝，∴a＝1，b＝3，c＝.‎ ‎20.解：（Ⅰ）当时，。‎ 当时，，‎ 所以，即，　………………4分 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故.　………………6分 ‎（Ⅱ）令，‎ ‎，…………①　　………………8分 ‎①×，得，…………②‎ ‎①－②，得，整理，得，　………………10分 又令，则，所以，‎ 故，所以.　………………12分 ‎ 21.‎ ‎【答案】（1）， （2）隔热层修建‎5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元 ‎22．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，且．……………1分 当时，，所以在区间内单调递增；…………………2分 当时，由，解得；由，解得．‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．……………………3分 综上述：时，的单调递增区间是；‎ ‎ 时，的单调递减区间是，单调递增区间是．…………………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当时，无最小值，不合题意；……………………………5分 当时，…………………………………6分 令，则，‎ 由，解得；由，解得．‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 故，即当且仅当x=1时，=0.‎ 因此，．………………………………………8分 ‎（ⅱ）因为，所以.‎ 由得于是．因为，所以.‎ 猜想当，时，．……………………………………10分 下面用数学归纳法进行证明．‎ ①当时，，故成立．………………………………11分 ②假设当n=k(，)时，不等式成立. ‎ 则当n=k+1时，，‎ 由（Ⅰ）知函数在区间单调递增，‎ 所以，又因为，‎ ‎．‎ 故成立，即当n=k+1时，不等式成立．‎ 根据①②可知，当，时，不等式成立．…………………………13分 因此，=…………………………………14分