2019-2020学年四川省南充高级中学高二下学期3月线上月考数学(理)试题 Word版

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2019-2020学年四川省南充高级中学高二下学期3月线上月考数学(理)试题 Word版

四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期3月线上月考数学试题(理科)‎ 一、选择题 ‎1.设函数 的定义域,函数y=ln(1-x)的定义域为,则 A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)‎ ‎2. 设为虚数单位,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 命题“,使”的否定为( )‎ A., B.,‎ C., D., ‎ ‎4. 设,则“”是“” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎6.设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为(  )‎ A. B.‎1 ‎C. D.2‎ ‎8.已知点在抛物线:上,为坐标原点,点是抛物线准线上一动点,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知平面,的法向量分别为和(其中),若,则的值为( )‎ A. B.‎-5 ‎C. D.5‎ ‎10.如图所示,在三棱锥P–ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎11. 正方体的棱长为1,点在棱上,且,点在平面上,且动点到直线的距离的平方与点到点的距离的平方的差为,在以、为坐标轴的平面直角坐标系中,动点的轨迹是(  )‎ A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线 ‎12. 己知椭圆的左、右焦点分别为,点,在椭圆上,其中,,若,,则椭圆的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎13 若复数为纯虚数(为虚数单位),其中,则____________.‎ ‎14.圆在点处的切线方程为,类似地,可以求得椭圆在点处的切线方程为________.‎ ‎15.设、为双曲线左、右焦点,过的直线交双曲线左、右两支于点、,连接、,若,且,则双曲线的离心率为______.‎ ‎ 16.已知椭圆方程为:,,是椭圆上的任意三点(异于椭圆顶点),若存在锐角,使,(O为坐标原点)则直线,的斜率乘积为___.‎ 三、解答题 ‎17.已知。‎ ‎(1)证明:‎ ‎(2)分别求;‎ ‎(3)试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.‎ ‎18.在公差为的等差数列中,,,,且.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)若,,成等比数列,求数列的前项和.‎ ‎19. ‎ 在新冠肺炎疫情的影响下,南充高中响应“停课不停教,停课不停学”的号召进行线上教学,高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86.‎ ‎(1)求出x,y的值,且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、,并根据结 果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛?‎ ‎(2)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名.求至少有1名来自甲班的概率.‎ ‎20. 如图:在四棱锥中,平面.,,.点是与的交点,点在线段上且. ‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(3)求二面角的正切值.‎ ‎21. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为x轴,其准线过点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过抛物线焦点F作直线l,使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为,求直线l的方程.‎ ‎22 已知椭圆C:的离心率为,且经过(-1,)。‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过点(,0)做直线l与椭圆C交于不同两点A,B,试问在X轴上是否存在点Q,使得直线QA与直线QB关于X轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。‎ 理科答案 一、选择题(每小题5分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D A A D B B D D D B C ‎12 设,由,知,‎ 因为在椭圆上,,‎ 所以四边形为矩形,;‎ 由,可得,‎ 由椭圆的定义可得①,‎ 平方相减可得②,‎ 由①②得;‎ 令 令 所以 即,‎ 所以 ‎ 所以 所以 解得,‎ 二、填空题(每小题5分)‎ ‎13 3 14 ‎ ‎15 16 ‎ 设双曲线的焦距为,如下图所示:‎ 取的中点,设,由于,,‎ 所以,为等腰直角三角形,且,‎ 为的中点,所以,,‎ 由双曲线的定义得,,‎ 又,,可得,‎ ‎,,,‎ 在中,由勾股定理得,则有,可得,因此,该双曲线的离心率为.‎ ‎16由题意可设椭圆方程为,‎ 又设A(,),B(,),‎ 因为M点在该椭圆上,‎ ‎∴,则 ‎ ‎ 又因为A、B点在也该椭圆上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 即直线OA、OB的斜率乘积为,‎ 三、解答题 ‎17 解:(1) ∵‎ ‎∴‎ ‎ ………………………………………………………………………(2分)‎ ‎(2).………………(4分)‎ ‎.………………(6分)‎ ‎(3)由(1)(2)猜想一般结论是: .………………………………(8分)‎ 证明如下: .‎ ‎.………………………………………………………(10分)‎ ‎18 解:(1)∵,,,且,‎ ‎∴或 ………………………………(3分)‎ 当时,;‎ 当时,. ……………………………………(6分)‎ ‎(2)∵,,成等比数列,∴, ‎ ‎∴, …………………………………………………………………………(8分)‎ 则,‎ 故.……(12分)‎ ‎19(1)甲班的平均分为,易知.(2分)‎ ‎;又乙班的平均分为,∴; ……………(4分)‎ ‎∵,,说明甲班同学成绩更加稳定,故应选甲班参加.…………(6分)‎ ‎(2)分及以上甲班有人,设为;乙班有人,设为, (8分)‎ 从这人中抽取人的选法有:,共 种,其中甲班至少有名学生的选法有种,则甲班至少有名学生被抽到的概率为. (12分)‎ ‎20证明:(1)∵在四棱锥中,平面., ,.点是与的交点, , ∴在正三角形中,, 在中,∵是中点,, ,又, , , ∵点在线段上且,‎ ‎, 平面,平面, ∴平面. ………………………………………………………… (4分) (2), 分别以为轴,轴,轴建立如图的空间直角坐标系,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎, 设平面的法向量,‎ 则,取,得,‎ ‎,‎ 设直线与平面所成角为, 则,‎ 故直线与平面所成角的正弦值为; …………………………(8分)‎ ‎(3)由(2)可知,为平面的法向量,‎ ‎,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,即,‎ 令,解得,‎ 设二面角的平面角为,则,‎ 故二面角的正切值为.…………………………………………(12分)‎ ‎21 (1)由题意得,抛物线的焦点在轴正半轴上,设抛物线C的方程为, ‎ 因为准线过点,所以,即. ‎ 所以抛物线C的方程为.………………………………………………(4分)‎ ‎(2)由题意可知,抛物线C的焦点为.‎ 当直线l的斜率不存在时,C上仅有两个点到l的距离为,不合题意;…………(6分)‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,‎ 要满足题意,需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为,‎ 过点P的直线平行直线且与抛物线C相切. ‎ 设该切线方程为,‎ 代入,可得.‎ 由,得.‎ 由,整理得,………………………………………………(9分)‎ 又,解得,即.‎ 因此,直线l方程为.……………………………………………………(12分)‎ ‎22 ‎
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