2019-2020学年云南省昆明市官渡区第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年云南省昆明市官渡区第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年云南省昆明市官渡区第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．计算：的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用指数幂的运算法则与对数的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数式、指数式化简求值，考查运算求解能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎2．设，,下列图形能表示从集合A到集合B的函数图像的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】从集合A到集合B的函数，即定义域是A，值域为B，逐项判断即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为从集合A到集合B的函数，定义域是A，值域为B；所以排除A,C选项，又B中出现一对多的情况，因此B不是函数，排除B.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图像，能从图像分析函数的定义域和值域即可，属于基础题型.‎ ‎3．下列函数中，与函数有相同图象的一个是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给的选项：‎ A. ，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同；‎ B. ，与题中所给函数的解析式和定义域都一致，图象相同；‎ C. 的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；‎ D. 的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题.‎ ‎4．，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由对数函数与指数函数的单调性可得，‎ ‎，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎5．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合函数的解析式分别求得的值，然后求解两者之差即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎6．已知集合，若，则的取值集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合 ‎∴‎ 若，即时，满足条件；‎ 若，则.‎ ‎∵‎ ‎∴或 ‎∴或 综上，或或.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．‎ ‎7．函数满足，则=（ ）‎ A．-2 B．2 C．-1 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出二次函数的对称轴，即可推出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数满足 ‎∴函数的对称轴为 ‎∵函数图象的对称轴为 ‎∴‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．‎ ‎8．在同一平面直角坐标系中，函数，（其中且）的图象只可能是（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的解析式即：，据此可得两函数互为反函数，函数图象关于直线对称.‎ 观察可得，只有B选项符合题意.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9．若对于定义域内的任意实数都有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意首先求得函数的解析式，然后求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，解得：，‎ 故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数解析式的求解，函数值的求解，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．已知函数是定义域为的偶函数，则的值为（ ）‎ A．0 B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数是定义域为的偶函数，故 ‎ 函数是偶函数，故奇次项系数为0.即此时。‎ 故答案为B。‎ ‎11．设函数定义在实数集上，当1时，，且是偶函数，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先确定1时，函数单调递增，再根据是偶函数，即，将转化为区间上的函数值，即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 是偶函数,‎ ‎；‎ 又当1时，，单调递增，‎ ‎，即 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性和奇偶性及其应用，解决本题的关键是对的转化，将各自变量转化到同一单调区间解答.‎ ‎12．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为(　　)‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出函数的图象及直线，它们有四个交点时，交点的横坐标从小到大依次为，由图象可得出的性质．‎ ‎【详解】‎ 函数有四个零点就是的图象与直线的交点的横坐标，作出函数的图象及直线，如图，它们交点的横坐标从小到大依次为，从图象知，，即，，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点与方程根的分布，可以用数形结合思想，把函数零点转化为函数图象与直线的交点问题．从图象上观察出零点的性质．‎ 二、填空题 ‎13．设集合，．若，则实数______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据可得，求出的值后注意检验.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，且，‎ ‎∴，解得或，当时，，，‎ 根据集合中元素互异性知不符合题意，舍去；当时，符合题意．故填．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合元素的确定性、互异性，注意这类问题的解决策略时利用确定性求值，利用互异性检验.‎ ‎14．函数的定义域是_______________ （用区间表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．‎ ‎【详解】‎ 依题意可得，则，解得.‎ ‎∴函数的定义域是.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．‎ ‎15．定义在上的函数满足,且时,,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知条件说明函数具有周期性和奇偶性，而，因此有，接着代入计算可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴是奇函数，且是周期为4的周期函数．‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 故答案为：-2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与周期性，考查对数的运算．计算时注意利用函数性质进行变量的转化，转化到已知函数解析式的区间上即可．‎ ‎16．下列说法中不正确的序号为____________. ‎ ‎①若函数在上单调递减，则实数的取值范围是；‎ ‎②函数是偶函数，但不是奇函数；‎ ‎③已知函数的定义域为，则函数的定义域是； ‎ ‎④若函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对每个命题进行判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，若它在上递减，则，，①正确；‎ 的定义域是，此时有，它既是奇函数也是偶函数，②错；‎ 若函数的定义域为，即，则，∴的定义域是，③错；‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．‎ 不正确的有②③，‎ 故答案为：②③．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断，考查函数的单调性，奇偶性，考查函数的定义域，掌握函数的性质是解题基础．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合.‎ ‎（Ⅰ）求∪；‎ ‎（Ⅱ）求∩；‎ ‎（Ⅲ）若，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据并集定义计算；‎ ‎（Ⅱ）由补集交集定义计算；‎ ‎（Ⅲ）根据子集的定义求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）或，∴或；‎ ‎（Ⅲ）∵，∴，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交、并、补运算，考查子集的概念，属于基础题．‎ ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）画出函数图像；‎ ‎（Ⅱ）求的值；‎ ‎（Ⅲ）当时，求取值的集合.‎ ‎【答案】（1）图象见解析；（2），；（3）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）分段画图；‎ ‎（Ⅱ）先计算，再计算，，计算选用；‎ ‎（Ⅲ）对分段，按，和分别求值域，然后再求并集．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）由题意，，‎ ‎；‎ ‎（Ⅲ）时，，时，，时，，‎ ‎∴的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数，解题时分段函数问题要分段求解，求函数值时要确定自变量的取值范围，不同的范围选用不同的表达式计算，求分段函数值域，必须按函数定义分段求值域，然后求并集．‎ ‎19．已知函数（，且）在上的最大值为2.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求使得成立的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，结合对数的运算性质，即可求解；‎ ‎（2）由不等式，根据对数函数的性质，得到，根据对数的运算性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，函数在上单调递增，‎ 因此，解得；‎ 当时，函数在上单调递减，‎ 因此，解得.‎ 综上可知：或.‎ ‎（2）由不等式，即，‎ 又，根据对数函数的性质，可得，‎ 即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在 上是减函数，在上是增函数．‎ ‎（1）用定义法证明时该函数为减函数；‎ ‎（2）已知，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）先设，然后利用作差法比较即可判断；‎ ‎（2）由，然后结合对勾函数的单调性即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设，则 ‎∵，∴，，∴，‎ 故函数在单调递减，‎ ‎（2），‎ 设，则，则，由已知性质得，‎ 当，即时，单调递减：所以减区间为；‎ 当，即时，单调递增：所以增区间为；‎ ‎，，，得的值域为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数单调性的判断及利用对勾函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题．‎ ‎21．已知二次函数满足且.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求在上最小值的表达式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，可设函数式为，代入求得，得函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）由对称轴是，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，按，，分类，分别求得最小值，得分段函数．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为，所以令二次函数为： ‎ 又因为，‎ ‎，‎ ‎∴，，∴．‎ ‎（Ⅱ）因为对称轴为：，所以函数在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增， ‎ 若在 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 综上可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求二次函数解析式，方法是待定系数法，考查求二次函数在给定区间上的最值，必须按对称轴与区间的关系分类求解．‎ ‎22．设函数，是定义域为的奇函数．‎ ‎（1）确定的值；‎ ‎（2）若，函数，，求的最小值；‎ ‎（3）若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） ；（2）；（3）存在，．‎ ‎【解析】（1）由题可知，，代入函数解析式即可求出的值；‎ ‎（2）根据已知条件得，运用换元法令，得函数,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值；‎ ‎（3）由题意，将问题转化为在恒成立，‎ ‎【详解】‎ 解：（1）是定义域为R上的奇函数，‎ ‎ ，得，，经验证符合题意，‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）可知，，又 ‎，即 或（舍去），, ‎ ‎，‎ 令，在是增函数，得 ，‎ 则,函数对称轴 可知时，有最小值.‎ ‎（3）存在 理由如下：，， ，‎ 则对恒成立， ‎ 所以，‎ 设 易证在上是减函数，当 时最小值，‎ 即时，的最小值为，‎ 所以，，‎ ‎∵是正整数，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的性质，考查运用构造函数法和换元法求解函数的最值和不等式恒成立问题的方法，考查转化思想和计算能力.‎