天津市河东区2020届高三高考模拟数学试题

天津市河东区2020届高三高考模拟数学试题

‎2020年河东区高考模拟考试数学试卷 一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出集合，然后利用集合交运算即可求解.‎ ‎【详解】由，，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了集合的交运算、绝对值的几何意义解不等式，属于基础题.‎ ‎2.是虚数单位，复数满足条件，则复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出复数，代入等式，利用复数相等求出，再利用复数的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】设，‎ 由，所以 即，‎ 所以，解得，‎ 所以复数在复平面内对应的点为，‎ 即复数在复平面上对应的点位于第二象限.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了复数的几何意义、复数模的运算、复数相等，属于基础题.‎ ‎3.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（ ）‎ A. 5 B. ‎25 ‎C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出双曲线的渐近线，再利用直线垂直，斜率之积等于即可求解.‎ 详解】双曲线方程：，‎ 则双曲线的渐近线为：，‎ 由一条渐进线与直线垂直，‎ 则，解得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线垂直斜率之间的关系，属于基础题.‎ ‎4.已知平面，，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线、面之间的位置关系，逐一判断即可求解.‎ ‎【详解】对于A，若，则与平行或者相交，故A不正确； ‎ 对于B，若，利用面面平行的性质定理可得，故B正确；‎ 对于C，若，则或，故C不正确；‎ 对于D，若，则与相交或平行，故D不正确；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题.‎ ‎5.对于非零向量、，“”是“，共线”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解.‎ ‎【详解】由，则、共线同向，充分性满足；‎ 非零向量、，当，共线时，则，必要性不满足；‎ 故“”是“，共线”的充分不必要条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理，理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键，属于基础题.‎ ‎6.已知函数为定义在的奇函数，且，则下列各式中一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算性质以及奇函数的性质，结合即可求解.‎ ‎【详解】由函数为定义在的奇函数，则，且，‎ 因为，则，‎ 对于A，，即，‎ 即，根据不等式的性质可知A不正确；‎ 对于B，，即，‎ 即，由已知可知，故B不正确； ‎ 对于C，，即，‎ 即，即，根据不等式的性质可知C不正确；‎ 对于D，，即，‎ 即，根据不等式的性质，不等式满足同向相加，可知D正确；‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查奇函数的性质、不等式性质以及对数的运算性质，属于基础题.‎ ‎7.△中，对应的边分别为，，，三角形的面积为，则边的长为（ ）‎ A. B. C. 7 D. 49‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用三角形的面积公式，求出，再利用余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】由，，‎ 则，解得，‎ 在△中，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，需熟记公式与定理，属于基础题.‎ ‎8.已知实数，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将式子同除，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 又，则，，‎ 所以， ‎ 所以，‎ 当且仅当取等号.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立条件，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，函数有3个零点，，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求解内层函数的范围，可得的图像，函数有3个零点，转化为与函数有三个交点问题，即可求解.‎ ‎【详解】不妨设，‎ 函数，‎ 可得，‎ 令，‎ 函数恰有三个零点，‎ 转化为与函数有三个交点问题，‎ 根据三角函数的图像与性质可得：‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ 那么，解得，‎ 则的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了三角函数图像与性质，解题的关键是等价转化，将零点问题转化为两个函数的交点问题，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）‎ ‎10.的展开式的系数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 写出二项式展开式的通项公式，令的指数为，从而求得指定项的系数.‎ ‎【详解】的展开式的通项为．‎ 取，可得的展开式的系数为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式中指定项的系数，考查指数式的运算，属于基础题.‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则点、的距离为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点可得抛物线的标准方程，将点代入可求出，再利用焦半径公式即可求解.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为：，‎ 因为点在抛物线上，所以，解得，‎ 所以.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，需熟记抛物线的标准方程的四种形式，焦半径公式，属于基础题.‎ ‎12.已知圆过点，点到圆上的点最小距离为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法求出圆的方程，求出圆的圆心与半径，求出减去半径即可求解.‎ ‎【详解】设圆的一般方程为：，‎ 因为圆过点，‎ 所以，解得，，，‎ 所以圆的方程为：，‎ 整理可得，‎ 所以圆的圆心，半径，‎ 所以点到圆上的点最小距离为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了待定系数法求圆的一般方程、标准方程，圆上的点到定点的距离最值，两点间的距离公式，属于基础题.‎ ‎13.正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱的中点的球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用棱锥的体积公式求出棱锥的底边边长以及棱锥的高，在中，求出，在中，利用余弦定理求出半径，再利用球的表面积公式即可求解.‎ ‎【详解】如图，设正四棱锥的边长为，‎ 则，解得，‎ 所以，，‎ 在中，， ‎ 为的中点，，且，‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎.‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了椎体的体积公式，球的表面积公式以及余弦定理解三角形，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.‎ ‎14.如图，圆内接正三角形边长为2，圆心为，则________.若线段上一点，，________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理求出外接圆半径，根据圆周角定理可得，再由向量数量积的定义即可求解；根据向量的减法可得，再利用向量的数量积即可求解.‎ ‎【详解】设外接圆半径为，则， ‎ 在正三角形中，由正弦定理可得：‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 所以.‎ 由 ‎ 所以 ‎.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、向量的加减法、正弦定理求外接圆半径，属于中档题.‎ ‎15.函数,若存在使得则n的最大值为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得，又，，，，可求的最大值．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，时，，‎ ‎，又，．‎ ‎【点睛】本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题．‎ 三、解答题：（本大题5个题，共75分）‎ ‎16.已知递增等差数列，等比数列，数列，，，、、成等比数列，，.‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）（）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的通项公式以及可求出，由题意利用等比数列的通项公式可求出，从而求出、的通项公式.‎ ‎（2）利用分组求和以及等差数列、等比数列的前项和公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）由已知，，.‎ 解为或0（舍），‎ ‎，，，解，‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式以及等比数列的通项公式、前项和公式，分组求和法，属于基础题.‎ ‎17.‎2020年1月1日《天津日报》发表文章总结天津海河英才计划成果“厚植热土 ‎ 让天下才天津用”——我市精细服务海河英才优化引才结构.“海河英才”行动计划，紧紧围绕“一基地三区”定位，聚焦战略性新兴产业人才需求，大力、大胆集聚人才.政策实施1年半以来，截至‎2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人.具体比例如图所示，新引进两院院士，长江学者，杰出青年科学基金获得者等顶尖领军人才112人.记者李军计划从人才库中随机选取一部分英才进行跟踪调查采访.‎ ‎（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随机进行采访，每天4人（4人顺序任意），周五采访学历型人才人数不超过2人的概率；‎ ‎（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补贴，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业型急需型人才最少补贴多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？‎ ‎【答案】（1）；（2）元/人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.‎ ‎（2）设创业型急需型人才最少补贴元/人，列出分布列，求出数学期望，使解不等式即可求解.‎ ‎【详解】（1）事件“周五采访学历型人才人数不超过2人”的概率 ‎（2）各类人才的补贴数额为随机变量，‎ 取值分别为400、500、600、分布列为：‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎25.5%‎ ‎53.6%‎ ‎19.1%‎ ‎1.8%‎ ‎，解为,‎ 所以创业型急需型人才最少补贴元/人，‎ 才能使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人 ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、数学期望、组合数，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面，正方形边长为2，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：直线与平面所成角的正弦值为，求的长度；‎ ‎（3）若，线段上是否存在一点，使平面，若存在求的长度，若不存在则说明.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，2或4；（3）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出，平面法向量 ‎，利用，即可证出.‎ ‎（2）求出平面法向量，，由，利用空间向量的数量积即可求解. ‎ ‎（3）假设存在，设，由（1）平面法向量，，由向量共线可得，解方程即可求解.‎ ‎【详解】（1）由平面，平面，所以，‎ ‎ 因为为正方形，所以，‎ 又，‎ 所以平面. ‎ 如图以为原点建立空间直角坐标系 ‎，，，，‎ ‎，‎ 设平面法向量为 ‎，‎ 令，‎ ‎，平面，平面 ‎（2）设平面法向量为，‎ ‎，，‎ ‎，令，，‎ ‎，设直线与平面所成角为 解得或4，所以长为或4‎ ‎（3）存在，，，，，‎ ‎ ，，，‎ 解得，.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量法证明线面平行、根据线面角求线段长度、利用法向量求线面垂直，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，，上顶点为，‎ ‎（1）求椭圆离心率；‎ ‎（2）点到直线的距离为，求椭圆方程；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点在椭圆上且异于、两点，直线与直线交于点 ‎，说明运动时以为直径的圆与直线的位置关系，并证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）相切，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知根据椭圆的定义可得，从而可得即可求解. ‎ ‎（2）利用点斜式求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可得，结合即可求解. ‎ ‎（3）设直线，将直线与椭圆联立，利用韦达定理求出点坐标，再求出圆心，分类讨论或，求出直线的方程， 再利用点到直线的距离与半径作比较即可证出.‎ ‎【详解】（1）由已知， ‎ ‎（2），直线，‎ 即 ‎ 则点到直线的距离，‎ 解为，，椭圆方程为 ‎（3）以为直径的圆与直线相切，‎ 证明：直线 交点为 得，‎ ‎， ‎ ‎，，点，中点圆心 当时，点，直线，圆心，半径1，与直线相切；‎ 当时，，‎ 点到直线的距离为半径，得证.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查了考生的计算能力，属于难题.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）函数在点处的切线的斜率为2，求的值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）若函数有两个不同极值点为、，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，在单调递增；当时，在，单调递增，在单调递减；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解. ‎ ‎（2）令，化简，判别式，讨论的正负，从而确定的正负，利用导数与函数单调性的关系即可求解. ‎ ‎（3）由（2）可知，，，由，，求出，利用换元法令 ‎，将不等式转化为，不妨设，利用导数证出函数在单调递增，由即可证出.‎ ‎【详解】（1），，∴‎ ‎（2）令即，‎ 当时，，，在单调递增 当时，，，，‎ ‎，，‎ 在，单调递增 ‎ 在单调递减. ‎ ‎（3）由（2）可知，，，‎ ‎，‎ 令 则，只需证明 ‎，（只需证明即可）‎ ‎，‎ ‎∴，在单调递增 ‎，得证.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用、利用导数证明单调性，考查了分类讨论的思想，属于难题.‎