北京市陈经纶中学2019-2020学年高二上学期十月月考数学试题

北京市陈经纶中学2019-2020学年高二上学期十月月考数学试题

北京市陈经纶中学2019－2020第一学期十月月试 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.给出下列命题：‎ ‎①两个长度相等的向量一定相等；‎ ‎②零向量方向不确定；‎ ‎③若为平行六面体，则；‎ ‎④若为长方体，则．‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①，方向不一定相同；对②，根据零向量的定义可知正确；对③，两个向量的方向不相同；对④，利用向量加法进行运算.‎ ‎【详解】对①，方向不一定相同，故①错误；‎ 对②，根据零向量定义可知正确，故②正确；‎ 对③，两个向量方向不相同，故③错误；‎ 对④，利用向量加法进行运算得：，，故④错误；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的基本概念及向量加法的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据全称命题否定的形式，即可得到答案.‎ ‎【详解】∵“，”，‎ ‎∴命题的否定为，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解，求解时注意任意要改成存在.‎ ‎3.若数列的通项公式是，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和.‎ ‎【详解】由于，故.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查数列求和，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.已知由正数组成等比数列为递减数列，且，，则公比等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程组可得、的值，再利用等比数列的通项公式，即可求出公比的值.‎ ‎【详解】由，，解得：或，‎ ‎∵数列是由正数组成的递减数列，∴，且，‎ ‎∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列中基本量的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取得最大值时，的值为 A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，进而得到，即，数列是公差的等差数列，所以前五项都是正数，或时，取最大值，故选C.‎ ‎6.数列满足，其前项的积为，则的值为（ ）‎ A. -3 B. 1‎ C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：周期为，故选B.‎ 考点：1、递推公式；2、数列的性质.‎ ‎7.在等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数n的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，数列是单调递减数列，‎ ‎，所以n最大值为8‎ 考点：等差数列性质及求和公式 ‎8.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.‎ 考点：等比数列 ‎9.已知数列是以为首项，2为公差等差数列，数列满足，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，可求得，分离参数，得到，再对，，分类讨论，即可求得实数的取值范围．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 对都有成立，‎ 即，‎ 整理得：，‎ 若，则，恒成立，故①；‎ 若，则对，恒成立，‎ 在，的最小值为，②；‎ 若，则对，恒成立，‎ 在，的最大值为，③；‎ 综合①②③，若对都有成立，则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，依题意，分离参数，得到是关键，也是难点，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维能力与运算能力，属于难题．‎ ‎10.定义运算“*”，对任意，，满足：①；②；③ ．设数列的通项为，则数列为（ ）‎ A. 等差数列 B. 等比数列 C. 递增数列 D. 递减数列 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义运算“*”，判断式子的符号，即可得到答案.‎ ‎【详解】∵‎ ‎，‎ ‎∵不为常数，同理也不为常数，且，‎ ‎∴数列为递增数列.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查定义运算“*”在数列中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对新定义运算的理解.‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．‎ ‎11.数列的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不完全归纳法，将前4项进行适当的改写，从而求得通项公式.‎ ‎【详解】∵，，，，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查不完全归纳法应用，求解时注意找到每一项的规律，属于基础题.‎ ‎12.在数列中，若点在直线上，则数列的前9项和____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点在定直线上得到等差数列的通项，再由等差数列的前项和的公式，即可得答案．‎ ‎【详解】点在定直线上，∴，‎ ‎．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前项和的公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎13.等比数列的首项，前项和为，若，则公比____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列前项和的定义及等比数列通项公式 得出，解出即可．‎ ‎【详解】是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得 ‎，，，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和的计算、通项公式．利用数列前项和的定义，避免了在转化时对公比是否为1的讨论．‎ ‎14.在数列中，已知，，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据已知条件得到，即，进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式；‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，，‎ 数列是以为首项，以3为公比的等比数列，‎ ‎．当时，．‎ 不适合上式，‎ 数列的通项公式为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查递推公式求数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将数列写成分段的形式.‎ ‎15.以下命题：‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②命题“若，则”的逆否命题是假命题；‎ ‎③命题“若，则”的否命题为“若，则”；‎ ‎④若为假命题，则，均为假命题；‎ 其中正确命题的序号为________________．（把所有正确命题的序号都填上）．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①，解方程再判断；对②，直接判断原命题的真假；对③，条件也要否定；对④，利用复合命题的真假性进行判断.‎ ‎【详解】对①，∵或，∴或 ‎，反之不成立，故①正确；‎ 对②，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题，故②错误；‎ 对③，原命题的否命题应该是“若，则”，故③错误；‎ 对④，因为为假命题，则，均为假命题是正确的，故④正确.‎ 故答案为：①④.‎ ‎【点睛】本题考查判断命题的真假，考查对概念的理解与应用，属于基础题.‎ ‎16.如图所示的数阵，第行最右边的数是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察发现：第1行，1个数，最右边的数是1；第2行，2个数，最右边的数是；‎ 第3行，3个数，最右边的数是；第4行，4个数，最右边的数是 由此可以得到结论．‎ ‎【详解】第1行，1个数，最右边的数是1，‎ 第2行，2个数，最右边的数是，‎ 第3行，3个数，最右边的数是，‎ 第4行，4个数，最右边的数是，‎ 归纳得出：第行，个数，最右边的数是.‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查数列在数阵中的应用，考察不完全归纳法的应用，属于中档题．‎ ‎17.已知等差数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是首项为l，公比为2的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为， 由 ，令 ‎ 可得，解得，从而可得结果；（Ⅱ）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和.‎ 详解：设等差数列的公差为，‎ 因为，‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， ‎ 所以 ‎ 因为，‎ 所以. ‎ 设数列的前项和为，‎ 则 ‎ ‎ 所以数列的前项和为 点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.‎ ‎18.设为数列的前项和，已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求，，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1,2,；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）代入数据计算得到，，利用公式得到，计算得到答案.‎ ‎（Ⅱ）直接利用错位相加法得到答案.‎ ‎【详解】(I) .当时，‎ ‎,‎ 当时 ， ‎ ‎, ,‎ 是首项为公比为的等比数列.‎ ‎ ,‎ ‎（II）设 则 即 ,‎ 上式错位相减: ‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了关系式求通项公式，错位相加法，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.‎ ‎19.对于数列，如果存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为等差数列．‎ ‎（1）若数列为2-等差数列，且前四项分别为2，-1，4，-3，求值；‎ ‎（2）若既是2-等差数列，又是3-等差数列，证明：是等差数列．‎ ‎【答案】（1）3；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列的递推关系写出第8项和第9项，即可得到答案；‎ ‎（2）根据既是2-等差数列，得，则和均成等差数列，设等差数列公差分别为；因为是3-等差数列，所以，则成等差数列，设公差为；取数列中的特殊项可得，并设，从而得到，再根据的关系，将等差数列的通项写成，即可证得结论.‎ ‎【详解】（1）∵，，，，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）若既是2-等差数列，即，则和均成等差数列，‎ 设等差数列公差分别为，‎ ‎∵是3-等差数列，∴，则成等差数列，设公差为，‎ 既是中的项，也是中的项，‎ ‎∴，‎ 既是中的项，也是中的项，‎ ‎∴.‎ 设，则，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 综上所得，‎ 为等差数列.‎ ‎【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意设出公差等不同的变量.‎