浙江省东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

浙江省东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

东阳中学2020年上学期期中考试卷 ‎（高二数学）‎ 命题：李军红 审题：金迅婴 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则的元素个数是 ( )‎ ‎ .个 .个 .个 .个 ‎2．直线的斜率是 ( )‎ ‎ . . . .‎ ‎3．“且”是“直线过点”的 ( )‎ ‎.充分而不必要条件 .必要而不充分条件 ‎ ‎.充要条件 .既不充分又不必要条件 ‎4．函数的最小正周期为 ( )‎ ‎ . . . .‎ ‎5. 已知向量,且，则实数的值是 ( )‎ ‎. . . . ‎ ‎6. 已知等比数列中，,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前项和的值为 ( )‎  . . . . ‎ ‎7. 中,角所对的边分别为,若，则 ( ). . . . ‎ ‎8．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为. 若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为 ( )‎ ‎. . . .‎ ‎9．设满足约束条件若目标函数的最大值是，则的最小值为 ( )‎ ‎. . 　 . .‎ ‎10. 定义域为的偶函数满足对任意的实数，有，且当 时，，若函数在上至少有 三个零点，则的取值范围是 ( )‎ ‎. . . . ‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。‎ ‎11. 已知，则 ， .‎ ‎12. 若函数是偶函数，则 ，值域为 ．‎ ‎ 第14题 俯视图 正(主)视图 ‎ 8‎ ‎ 5‎ ‎ 5‎ ‎ 8‎ 侧(左)视图 ‎ 8‎ ‎ 5‎ ‎ 5‎ ‎13. 在等差数列中，若，则 ， . ‎ ‎14．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，‎ 则该几何体的表面积为 ，‎ 该该几何体的体积为 ．‎ ‎ ‎ ‎15．过点的直线与抛物线交于两点，且则此直线的 方程为_________.‎ ‎16．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是______ .‎ ‎17．若对任意且,不等式恒成立, 则实数的取值范围是___________.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.已知向量，且分别是锐角三角形三边所对的角.‎ ‎（Ⅰ）求的大小； ‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列，且，求的值.‎ ‎19.设数列是公差大于零的等差数列，已知. ‎ ‎(1) 求数列的通项公式；‎ ‎(2) 设数列是以为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和．‎ 20. 在四棱锥中，平面，，，，‎ ‎(Ⅰ) 证明：平面；‎ ‎(Ⅱ) 若二面角的大小为，求的值.‎ ‎(第20题图)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为， 若，求直线的倾斜角.‎ ‎22.设函数.‎ ‎(1) 求函数的最小值；‎ ‎(2) 设，讨论函数的单调性；‎ ‎(3) 斜率为的直线与曲线交于,两点，求证：.‎ 东阳中学高二数学期中试卷参考答案 ‎1-5 CAABB 6-10 DCABB ‎11. 12. 13. 14． ‎ ‎15. 16. 17.‎ ‎18.解：（1） 即 ‎ 所以 又因为是锐角三角形内角，所以 ‎ ‎（2）因为 又 所以 ‎ 所以 即 所以 .‎ ‎19.解：（1） （2） ‎ ‎20.(2)‎ ‎21.（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.‎ 由题意可知，即ab=2.‎ 解方程组得a=2，b=1. ‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.‎ 于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 ‎.‎ 由，得.从而.‎ 所以.‎ 由，得.‎ 整理得，即，解得k=.‎ 所以直线l的倾斜角为或.‎ ‎22.(1) 解：，令，得. …………2分 ‎∵当时，；当时，， …………3分 ‎∴当时，. …………4分 ‎(2) ，. …………5分 ‎ ① 当时，恒有，在上是增函 …………6分 ‎ ② 当时，‎ 令，得，解得； …………7分 令，得，解得. …………8分 ‎ 综上，当时，在上是增函数；‎ ‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减. …………9分 ‎(3) 证：.‎ ‎ 要证，即证，等价于证，令，‎ 则只要证，由知，故等价于证 (*).‎ ‎ ① 设，则，故在上是增函数，‎ ‎ ∴ 当时，，即.‎ ‎ ② 设，则，故在上是增函数，‎ ‎ ∴ 当时，，即.‎ 由①②知(*)成立，得证. …………15分