安徽省定远县育才学校2020届高三5月模拟考试数学(文)试题

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安徽省定远县育才学校2020届高三5月模拟考试数学(文)试题

‎2019一2020学年第二学期高三年级5月模拟考试 文科数学 第I卷 选择题(共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) ‎ ‎1.设全集,集合,,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数,为虚数单位,则 A. B. C. D. ‎ ‎3.在中, ,点为边上一点,且,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.运行如图所示的程序框图,输出的x是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.部分与整体以某种相似 的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,如图.‎ 现在上述图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称,则函数在区间上的最小值为 ‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎7.设等差数列的前n项和为,若,则的值等于 ‎ A. 54 B. 45 C. 36 D. 27‎ ‎8.函数的部分图像大致是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知函数,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.在正方体中,点M,N分别是线段和上不重合的两个动点,则下列结论正确的是 ‎ A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 ‎11.已知函数与,则函数 在区间上所有零点的和为 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知 是双曲线上一点,是左焦点,是右支上一点, 与的内切圆切于点,则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题(共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.若x,y满足约束条件,则的最小值为______.‎ ‎14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况,抽出了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人,则的值为__________.‎ ‎ ‎ ‎15.如图所示,平面BCC1B1⊥平面ABC,ÐABC=120°,四边形BCC1B1为正方形,且AB=BC=2,则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____.‎ ‎16.设椭圆的一个焦点为,点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是_____.‎ A. B. C. D. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)若,求 的面积.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分如下:‎ 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎78‎ ‎73‎ ‎81‎ ‎92‎ ‎95‎ ‎85‎ ‎79‎ ‎84‎ ‎63‎ ‎86‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎88‎ ‎86‎ ‎95‎ ‎76‎ ‎97‎ ‎78‎ ‎88‎ ‎82‎ ‎76‎ ‎89‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎79‎ ‎83‎ ‎72‎ ‎74‎ ‎91‎ ‎66‎ ‎80‎ ‎83‎ ‎74‎ ‎82‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎93‎ ‎78‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎84‎ ‎77‎ ‎81‎ ‎76‎ ‎85‎ ‎89‎ 用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本,且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.‎ ‎(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据;‎ ‎(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差;‎ ‎(3)在(2)条件下,若用户的满意度评分在之间,则满意度等级为“级”。试应用样本估计总体的思想,根据所抽到的10个样本,估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少?‎ ‎(参考数据:)‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 四棱锥中,底面是边长为的菱形,,是等边三角形,为的中点,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若在线段上,且,能否在棱上找到一点,使平面平面?若存在,求四面体的体积.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知抛物线的焦点为,定点与点在抛物线的两侧,抛物线上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)设直线与圆和抛物线交于四个不同点,从左到右依次为,且是与抛物线的交点,若直线的倾斜角互补,求的值.‎ ‎21(本小题满分12分)‎ ‎.已知函数.‎ 求的单调区间;‎ 若在区间上恒成立,求实数a的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知三点, , .‎ ‎(1)求经过, , 三点的圆的极坐标方程;‎ ‎(2)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(是参数),若圆与圆外切,求实数的值.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎2019一2020学年第二学期高三年级5月模拟考试 文科数学参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B D A A A A D A A D B ‎1.B 利用指数函数的性质化简集合,利用由一元二次不等式的解法化简集合,利用补集与交集的定义求解即可.‎ 因为 ,‎ 又因为 ,‎ ‎,故选B.‎ ‎2.B ‎ 先化简复数z求出z,再求.‎ 由题得,‎ 所以.故答案为:B ‎3.D ‎ 3.∵‎ ‎∴。故选D. ‎ ‎4.A ‎ 模拟运行如图所示的程序框图知,‎ 该程序运行后输出的.故选:A.‎ ‎5.A ‎ 由归纳推理得:设图(3)中1个小阴影三角形的面积为S,则图(3)中阴影部分的面积为:9S,又图(3)中大三角形的面积为16S,由几何概型中的面积型得解 设图(3)中1个小阴影三角形的面积为S,‎ 则图(3)中阴影部分的面积为:9S,‎ 又图(3)中大三角形的面积为16S,‎ 由几何概型中的面积型可得:‎ 此点取自阴影部分的概率为,故选:A.‎ ‎6.A ‎ 利用三角函数图象的变化规律求得:,利用对称性求得,由时,可得,由正弦函数的单调性可得结果.‎ 函数的图象向左平移个单位长度后,‎ 图象所对应解析式为:,‎ 由关于轴对称,则,‎ 可得,,又,所以,‎ 即,‎ 当时,所以,,故选A.‎ ‎7.A ‎ ‎ ‎8.D ‎ 为奇函数,图象关于原点对称,排除;当时,设,则,即在区间上递增,且,又在区间上,排除B;当时, ,排除C,故选D.‎ ‎9.A ‎ 先证明恒成立,得函数在上递减,即当时,恒成立,问题转化为恒成立,即可求出a的范围.‎ 设则,当时,‎ 所以在上递增,得 所以当时,恒成立.‎ 若不等式在上恒成立,得函数在上递减,‎ 即当时,恒成立,所以 即,可得恒成立,因为,所以,故选:.‎ ‎10.A ‎ 利用排除法,由与重合排除选项;由与重合且与重合排除选项;‎ 与重合时,排除选项,从而可得结果.‎ 与重合时,不成立,排除选项;‎ 与重合且与重合时,平面平面不成立,排除选项;‎ 与重合时,平面平面不成立,排除选项.故选A.‎ ‎11.D ‎ 在区间上所有零点的和,等价于函数的图象交点横坐标的和,画出函数的图象,根据函数的图象关于点对称可得结果.‎ 在区间上所有零点的和,‎ 等价于函数的图象交点横坐标的和,‎ 画出函数的图象,‎ 函数的图象关于点对称,则共有8个零点,其和为16. 故选D.‎ ‎12.B ‎ 由内切圆得到,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.‎ 与的内切圆切于点,∴,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等故选:B ‎13.-1‎ ‎ 画出约束条件表示的平面区域,由图形求出最优解,再计算目标函数的最小值.‎ 画出约束条件表示的平面区域如图所示,‎ 由图形知,当目标函数过点A时取得最小值,由,解得,代入计算,所以的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎14. 由频率分布直方图可得支出的钱数在的同学有个,支出的钱数在的同学有个,又支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人,所以 故答案为100‎ ‎15. 将平移到和相交的位置,解三角形求得线线角的余弦值.‎ 过作,过作,画出图像如下图所示,由于四边形是平行四边形,故,所以是所求线线角或其补角.在三角形中,‎ ‎,故.‎ ‎16. 因为点为椭圆内一点,所以,设左焦点,则,又,所以 ‎,也就是即,从而.‎ ‎17.(1) (2) ‎ ‎ (1)因为 ,所以有,由正弦定理可得,因 ,故,所以得到,∵ 所以. ‎ ‎(2)法1:根据正弦定理,于是可得.∵ , ∴,又因为,由余弦定理得,两式联立得,解得或(负值舍去).∴.‎ 法2:因为,所以,代入得,所以 ‎.因为,所以.根据正弦定理,于是可得,∴ ‎ ‎18. (1)通过系统抽样抽取的样本编号为:4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 ‎ 则样本的评分数据为:92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. ‎ ‎(2)由(1)中的样本评分数据可得 ‎,‎ 则有 ‎ ‎ 所以均值,方差.‎ ‎(3)由题意知评分在即之间满意度等级为“A级”, ‎ 由(1)中容量为10的样本评分在之间有5人,‎ 则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为 ‎19. (1)连接PF,BD由三线合一可得AD⊥BF,AD⊥PF,故而AD⊥平面PBF,于是AD⊥PB;‎ ‎(2)先证明PF⊥平面ABCD,再作PF的平行线,根据相似找到G,再利用等积转化求体积.连接PF,BD,‎ ‎∵是等边三角形,F为AD的中点,‎ ‎∴PF⊥AD,‎ ‎∵底面ABCD是菱形,,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,∵F为AD的中点,‎ ‎∴BF⊥AD,‎ 又PF,BF⊂平面PBF,PF∩BF=F,‎ ‎∴AD⊥平面PBF,∵PB⊂平面PBF,‎ ‎∴AD⊥PB.‎ ‎(2)由(1)得BF⊥AD,又∵PD⊥BF,AD,PD⊂平面PAD,‎ ‎∴BF⊥平面PAD,又BF⊂平面ABCD,‎ ‎∴平面PAD⊥平面ABCD,‎ 由(1)得PF⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ ‎∴PF⊥平面ABCD,‎ 连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似,又,∴CH=CF,‎ ‎∴在△PFC中,过H作GHPF交PC于G,则GH⊥平面ABCD,又GH面GED,则面GED⊥平面ABCD,‎ 此时CG=CP,‎ ‎∴四面体的体积.‎ 所以存在G满足CG=CP, 使平面平面,且.‎ ‎20. (1)过作于,则,‎ 当共线时,取最小值.‎ 解得或.‎ 当时,抛物线的方程为,‎ 此时,点与点在抛物线同侧,这与已知不符.‎ ‎∴,抛物线的方程为.‎ ‎(2),设,‎ 由,得,‎ 所以,,且由得.‎ 因为直线的倾斜角互补,所以,‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 由,得,‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎21.. .‎ ‎,‎ 由得,,‎ 当时,在或时 ,‎ 在时,‎ 的单调增区间是和,单调减区间是;‎ 当时,在时,‎ 的单调增区间是;‎ 当时,在或时,‎ 在时.‎ 的单调增区间是和,单调减区间是.‎ 由可知在区间上只可能有极小值点,‎ 在区间上的最大值在区间的端点处取到,‎ 即有且,‎ 解得.‎ 即实数a的取值范围是.‎ ‎22.(1);(2).‎ ‎ (1)对应的直角坐标分别为,则过的圆的普通方程为,又因为,代入可求得经过的圆的极坐标方程为。‎ ‎(2)圆(是参数)对应的普通方程为,因为圆与圆外切,所以,解得。‎ ‎23.(1)或;(2)‎ ‎ ‎ ‎∵函数,∴当时, ;当时, ;‎ 当时, ‎ ‎(1)当时,不等式化为,解得,‎ 当时,不等式化为,无解,‎ 当时,不等式化为,解得,‎ 综上,不等式的解集为或 ‎ ‎(2) 由上述可知的最小值为9,因为不等式恒成立,所以,所以,故实数的取值范围为
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