江苏省南京师范大学附属扬子中学2020届高三下学期期初自测数学试题

江苏省南京师范大学附属扬子中学2020届高三下学期期初自测数学试题

南师大附属扬子中学2020届高三第二学期期初自测 数学Ⅰ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．已知集合，，若，则 ．‎ ‎2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数______．‎ ‎3．一组数据4，5，6，8，的平均数为7，则该组数据的方差s2为______．‎ ‎4．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“1”､“2”､“3”､“4”这四个数．现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是______．‎ ‎5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ．‎ ‎6．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_______．‎ ‎7．在等比数列中，，，为的前项和．若，则__________．‎ ‎8． 若函数为偶函数，则的值为________．‎ ‎9．如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且．设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为________．‎ ‎10．已知函数，则不等式的解集为_________．‎ ‎11．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，，则的值为______．‎ ‎ ‎ 12． 若为半圆直径延长线上的一点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为____．‎ ‎13．已知的三个角所对的边为．若，为边上一点，且，则的最小值为_________．‎ ‎14．已知函数，若，使得，则的取值范围是______‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知，，其中．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥平面BCC1B1，AD⊥DB．求证：‎ ‎（1）BC∥平面ADD1A1；‎ ‎（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．‎ ‎（第16题）‎ B A C D D1‎ B1‎ A1‎ C1‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在南北方向有一条公路，一半径为100的圆形广场（圆心为）与此公路所在直线相切于点，点为北半圆弧（弧）上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，计划在内（图中阴影部分）进行绿化，设的面积为（单位：），‎ ‎（1）设，将表示为的函数；‎ ‎（2）确定点的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点到椭圆两焦点距离之和为，如图，为坐标原点，平行与的直线l交椭圆于不同的两点、．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）当在第一象限时，直线，交x轴于，，若PE＝PF，求点的坐标．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求在处的切线方程；‎ ‎（2）令，已知函数有两个极值点，且，‎ ‎①求实数的取值范围；‎ ‎②若存在，使不等式对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知等差数列的前n项和为Sn，若为等差数列，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数， 使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．‎ 数 学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M＝．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）求矩阵M的特征值和特征向量．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 现有4个旅游团队，3条旅游线路． （1）求恰有2条线路被选择的概率； （2）设被选中旅游线路条数为X，求X的分布列和数学期望． ‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎