黑龙江省绥化市安达七中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

黑龙江省绥化市安达七中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 豫南九校2019-2020 学年上期第二次联考 高一数学试题 ‎(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.计算：（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将真数化为的指数幂，然后利用对数的运算性质可计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】由对数运算知.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合， ，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A={x|x＜1}，B={x|ex＜1}={x|x＜0}，从而 ={x|x≥0}， ={x|x≥1}，由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵集合A={x|x＜1}，B={x|ex＜1}={x|x＜0}，‎ ‎ ={x|x≥0}， ={x|x≥1}，‎ ‎∴A∩B={x|x＜0}，故A错误；‎ A∪B={x|x＜1}，故C错误；‎ ‎，故B =正确；‎ ‎，故D错误．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．‎ ‎3.已知函数与的图象有公共点，且点的横坐标为2，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将A点横坐标带入对数函数，得点A的坐标；再代入正比例函数即可求得k的值．‎ ‎【详解】当时，，‎ ‎∴，，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数性质的简单应用，属于基础题．‎ ‎4.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点存在性定理依次判断即可.‎ ‎【详解】因为，，且函数连续、单调递减，所以由零点存在性定理可知，‎ 零点在区间上，‎ 所以本题答案为C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属基础题.‎ ‎5.给出下列命题：‎ ‎①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；‎ ‎②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；‎ ‎③长方体一定是正四棱柱.‎ 其中正确的命题个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据简单几何体的概念对各命题的真假进行判断.‎ ‎【详解】①底面为菱形的直四棱柱满足条件但不一定是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③长方体底面不一定是正四棱柱，该命题显然错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简单几何体结构的判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎6.今有一组实验数据如下：‎ 分别用下列函数模型来拟合变量与之间关系，其中拟合效果最好的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出散点图，结合散点图的形状可得出拟合效果最好的函数.‎ ‎【详解】作出散点图如下图所示：‎ 由散点图可知，随着的变大而变大，排除B，且随着的增大，增速逐渐增大，排除C、D.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数拟合思想的应用，在选择拟合函数时，要结合散点图来进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎7.设，若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况解方程，可得出实数的值.‎ ‎【详解】，当时，令，解得；‎ 当时，令，解得.‎ 综上，或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数方程的求解，要注意对自变量的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项中几何体的正视图、侧视图、俯视图是否符合要求进行判断，可得出合适的选项.‎ ‎【详解】选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选项C俯视图不符合要求，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原为实物图，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎9.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校年全年投入科研经费万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过万元的年份是（参考数据：，，）（ ）‎ A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，年是第年，则第年全年投入的科研经费为万元，然后解不等式，将指数式化为对数式，得出的取值范围，即可得出答案.‎ ‎【详解】若年是第年，则第年全年投入的科研经费为万元，‎ 由可得，，‎ 所以， 得，则正整数的最小值为，‎ 所以第年，即年全年投入的科研经费开始超过万元，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.‎ ‎10.函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )‎ A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 与都是奇函数，，‎ 所以函数关于点，及点对称，函数是周期 的周期函数.，，即是奇函数．‎ ‎11.设，，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的正负，计算出的值，由此比较出三者的大小.‎ ‎【详解】由于，故，，故，而，故，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段函数的概念与性质，属于中档题.‎ ‎12.下列说法：‎ ‎①若集合，，则；‎ ‎②定义在上的函数， 若为奇函数，则必有；‎ ‎③方程有两个实根；‎ ‎④存在，，使得.‎ 其中说法正确的序号是（ ）‎ A. ②③ B. ②④‎ C. ①②③ D. ②‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合、，根据集合的包含关系可判断命题①的正误；根据奇函数的定义可判断出命题②的正误；作出函数和函数的图象，观察两函数图象的交点个数，可判断出命题③的正误；取特殊值可判断出命题④的正误.‎ ‎【详解】对于命题①，，，则，命题①错误；‎ 对于命题②，已知函数是定义在上的奇函数，则，即，解得，命题②正确；‎ 对于命题③，作出函数和函数的图象如下图所示：‎ 由图象可知，两个函数的图象有三个交点，则方程有三个实根，命题③错误；‎ ‎④取，，则，，命题④正确.‎ 综上，正确命题的序号为②④.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及集合的包含关系、奇函数的性质、方程根的个数的判断以及指对数不等式，考查推理能力，属于中等题.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知幂函数图象过点，则的值为_____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数，将点的坐标代入该函数的解析式，利用指数幂的运算求出实数的值，然后利用指数幂和对数的运算性质计算出的值.‎ ‎【详解】设幂函数，则，即，得，，‎ 则，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查对数的计算，同时也考查了指数的运算，解题的关键就是利用题中条件求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.若关于的方程的解集有唯一子集 ，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，关于的方程无实数解，可得出，由此可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知，关于的方程无实数解.‎ 当时，原方程为，解得，不合乎题意；‎ 当时，则有，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用集合子集个数求参数，将问题转化为方程无实解是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎15.正三角形ABC的边长为，那么△ABC的平面直观图△的面积为____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平面直角坐标系中和斜坐标系中分别画出等边三角形和等边三角形的直观图，根据斜二测画法可以得到直观图的高，从而求出直观图的面积.‎ ‎【详解】如图，建立平面直角坐标系和斜坐标系，则 则，填.‎ ‎【点睛】本题考查斜二测画法，一般地，平面图形的面积与其直观图的面积满足.‎ ‎16.已知函数，若关于的方程在内有唯一解，则的取值范围是 _____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数的运算性质得出，将问题转化为直线与函数在区间 上的图象有一个交点，结合图象可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由，得，‎ 即，得，即，.‎ 构造函数，其中，‎ 则直线与函数在区间上的图象有一个交点，如下图所示：‎ 由图象可知，当或时，直线与函数在区间上的图象有一个交点，解得或.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数零点个数求参数的取值范围，同时也考查了对数的运算，解题的关键就是利用参变量分离法转化为两函数图象有唯一交点，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 三、解答题(本大共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若集合，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合、，然后利用交集的定义可求出；‎ ‎（2）由，可得出，然后分和两种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】（1）要使函数有意义，则，得，解得，‎ ‎.‎ 对于函数，该函数为减函数，，则，即，，因此，；‎ ‎（2），.‎ 当时，即当时，，满足条件；‎ 当时，即时，要使，则，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，涉及了对数函数的定义域以及指数函数的值域问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎18.已知函数，若在区间上有最大值1．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在上单调，求数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）-1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【详解】因为函数图象是抛物线，，‎ 所以开口向下，对称轴是直线，‎ 所以函数在单调递减，‎ 所以当时，，‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 在上单调，‎ ‎，或.‎ 从而，或 所以，m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性，需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性，进而得到最值.‎ ‎19.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且.‎ ‎（1）求和的解析式 ；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入题目所给函数方程，根据函数的奇偶性化简，解方程组求得和的解析式.（2）计算证得，由此求得表达式的值为.‎ ‎【详解】(1)∵ , ①‎ ‎∴,‎ ‎∵是偶函数，是奇函数,‎ ‎∴,② ‎ ‎①②相加得， 进而.‎ ‎（2）∵ ∴‎ ‎∴ ,‎ ‎ ∴ .‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，考查倒序相加法，属于基础题.‎ ‎20.若奇函数在定义域上是减函数．‎ ‎（1）求满足的集合；‎ ‎（2）对（1）中的，求函数的定义域．‎ ‎【答案】（1）；（2）的定义域为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由是奇函数，且，可得，结合在是减函数得，解不等式可求；‎ ‎（2）由题意可得，结合，可知，是增函数可得，可求定义域．‎ 试题解析：（1）∵是奇函数，又，∴‎ 又是减函数，∴，再由，得，‎ 解得：．‎ ‎（2）为使有意义，必须，即 ‎∵，∴，是增函数，∴‎ 解得，∴的定义域为．‎ 考点：抽象函数，复合函数的定义域 ‎21.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.‎ ‎（Ⅰ）求值；‎ ‎（Ⅱ）求的解析式；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；‎ ‎（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，利用判别式小于0即可求实数k的取值范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为定义域为的函数是奇函数，‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）因为当时，，‎ 所以.‎ 又因为函数是奇函数，所以.‎ 所以. ‎ 综上， ‎ ‎（Ⅲ）由得.‎ 因为是奇函数， ‎ 所以.‎ 又在上是减函数，所以. ‎ 即对任意恒成立.‎ 令，则.由，解得. ‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．‎ ‎22.已知函数，对于任意的，都有, 当时，，且.‎ ‎( I ) 求的值； ‎ ‎(II) 当时，求函数的最大值和最小值；‎ ‎(III) 设函数，判断函数g(x)最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）当 时，函数最多有个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；‎ ‎（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；‎ ‎（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x2﹣2|x|﹣m）＝0＝f（0），根据单调性可得 x2﹣2|x|﹣m＝0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m∈（﹣1，0）．‎ ‎【详解】（I）令得，得. ‎ 令得， ‎ 令得 ‎ ‎(II)任取且，则，‎ 因为，即，‎ 令 ‎ 则. ‎ 由已知时，且，则，‎ 所以 ，，‎ 所以函数在R上是减函数， ‎ 故 在单调递减.‎ 所以，‎ 又， ‎ 由，得 ，‎ ‎ ，‎ 故. ‎ ‎(III) 令代入，‎ 得，‎ 所以，故为奇函数. ‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎ ，‎ 令,即，‎ 因为函数在R上是减函数， ‎ 所以，即， ‎ 所以当 时，函数最多有4个零点.‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，关键是利用函数的性质及赋值法解决问题，属于难题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎