高中数学选修2-2教案第二章 章末复习课

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高中数学选修2-2教案第二章 章末复习课

题型一 导数定义的应用 函数f(x)在点x=x0处的导数是f(x)在x0点附近的平均变化率=;当Δx趋于0时的极限,即f′(x0)= ,这是数学上的“逼近思想”. ‎ 例1 求函数f(x)=2x2+5在x=1点处的导数.‎ 解 方法一 = ‎==4+2Δx,‎ ‎∴f′(1)==(4+2Δx)=4.‎ 方法二 (先求f′(x),再求f′(1))‎ = ‎==4x+2Δx,‎ ‎∴f′(x)=(4x+2Δx)=4x.∴f′(1)=4.‎ 反思与感悟 求函数f(x)在一点处的导数有两种方法:直接利用定义;先求函数f(x)的导函数f′(x),再代入求函数一点处的导数.‎ 跟踪训练1 求函数f(x)=在x=2处的导数.‎ 解 = ‎==-,‎ ‎∴f′(2)= =-.‎ 题型二 导数与曲线的切线 利用导数求切线方程时关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种,一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由=f′(x1)和y1=f(x1)求出x1,y1的值,转化为第一种类型.‎ 例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.‎ 解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.‎ 当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0),‎ 因而f(1)=1,f′(1)=-1,‎ 所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1),‎ 即x+y-2=0.‎ 跟踪训练2 已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若l与圆C:x2+y2=相切,求a的值.‎ 解 依题意有:f(1)=a,f′(x)=2ax+(x<2),‎ ‎∴l的方程为2(a-1)x-y+2-a=0,‎ ‎∵l与圆相切,∴=⇒a=,‎ ‎∴a的值为.‎ 题型三 导数的综合应用 例3 已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧上求一点P,使△ABP的面积最大.‎ 解 设P(x0,y0),过点P与AB平行的直线为l,如图.由于直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点,所以|AB|为定值,要使△ABP的面积最大,只要P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,由图知点P在x轴上方,y=,y′=,‎ 由题意知kAB=.‎ 所以kl==,即x0=1,‎ 所以y0=1.所以P(1,1).‎ 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算.‎ 跟踪训练3 (1)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 A 解析 ∵y′=(-2x)′e-2x ‎=-2e-2x,‎ ‎∴k=-2e0=-2,‎ ‎∴切线方程为y-2=-2(x-0),‎ 即y=-2x+2.‎ 如图,∵y=-2x+2与y=x的交点坐标为(,),y=-2x+2与x轴的交点坐标为(1,0),‎ ‎∴S=×1×=.‎ ‎(2)点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.‎ 解 根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点(x0,y0)处的切线斜率为 ‎1,即当x=x0时,y′=1.‎ ‎∵y′=(ex)′=ex,∴ex0=1,‎ 得x0=0,代入y=ex,得y0=1,‎ 即P(0,1).‎ 利用点到直线的距离公式得距离为.‎ ‎1.函数y=的导数为________.‎ 答案  解析 y′=′= ‎==.‎ ‎2.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且f′(-1)=0,则a=________.‎ 答案  解析 ∵f(x)=(x2-4)(x-a)=x3-ax2-4x+4a,‎ ‎∴f′(x)=3x2-2ax-4.‎ 又∵f′(-1)=3+2a-4=0,∴a=. ‎ ‎3.若某物体做s=(1-t)2的直线运动,则其在t=1.2 s时的瞬时速度为________.‎ 答案 0.4 m/s 解析 ∵s=t2-2t+1,∴s′=2t-2,‎ ‎∴v=s′(1.2)=2×1.2-2=0.4(m/s).‎ ‎4.已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.‎ 解 根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线,对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x),则当x=x0时,y′=2x0=1,‎ 所以x0=,所以切点坐标为,‎ 切点到直线x-y-2=0的距离 d==,‎ 所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎(1)利用定义求函数的导数是逼近思想的应用;(2)导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率;(3)对于复杂函数的求导,可利用导数公式和导数的四则运算法则,减少运算量.‎
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