【数学】2018届一轮复习人教A版古典概型学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版古典概型学案

‎1.理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.‎ 知识点一 古典概型 ‎ ‎1.基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是______的;‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和.‎ ‎2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.‎ ‎(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件__________;‎ ‎(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性________.‎ 答案 ‎1.(1)互斥 (2)基本事件 ‎2.(1)只有有限个 (2)相等 ‎1.判断正误 ‎(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(  )‎ ‎(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(  )‎ ‎(3)从市场上出售的标准为500±‎5 g的袋装食盐中任取一袋,测其重量,属于古典概型.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)×‎ ‎2.一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件有(  )‎ A.(男,女),(男,男),(女,女)‎ B.(男,女),(女,男)‎ C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)‎ D.(男,男),(女,女)‎ 解析:由于两个孩子出生有先后之分,所以基本事件有四种情况.‎ 答案:C 知识点二 古典概型的概率公式 ‎ P(A)= ‎3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊,从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人,有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共10种情况,其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种,所以甲被选中的概率为=.‎ 答案:B ‎4.(必修③P113练习第2题改编)将一枚骰子先后抛掷3次,则向上的点数之和是5的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:向上的点数之和是5的基本事件有(1,1,3)、(1,3,1)、(3,1,1)、(1,2,2)、(2,1,2)、(2,2,1),共计6个.而所有的基本事件个数为6×6×6=216,故向上的点数之和是5的概率为=.故选C.‎ 答案:C 热点一 较简单的古典概型问题 ‎ ‎【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅰ ‎)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(2016·四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是________.‎ ‎【解析】 (1)从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,共有6种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法,根据古典概型的概率计算公式,所求的概率为=.故选C.‎ ‎(2)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,(a,b)的所有可能结果有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12种,其中log28=3,log39=2为整数,所以logab为整数的概率为.‎ ‎【答案】 (1)C (2) ‎【总结反思】‎ 计算古典概型的概率可分三步:(1)算出基本事件的总个数n;(2)求出事件A所包含的基本事件个数m;(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.‎ ‎ ‎ 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如表(单位:人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率.‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.‎ 解:(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件A”,则P(A)==.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.‎ ‎(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3)共15种,其中A1被选中且B1未被选中的有(A1,B2),(A1,B3)共2个,所以A1被选中且B1未被选中的概率为P=.‎ 热点二 较复杂的古典概型问题 ‎ 考向1 古典概型与平面向量的结合 ‎【例2】 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,平面向量a=(m,n),b=(1,-3).‎ ‎(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率;‎ ‎(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率.‎ ‎【分析】 (1)先根据a⊥b得出m-3n=0,然后再列举出符合条件的(m,n)的所有可能的结果;(2)根据|a|≤|b|可得m2+n2≤10,再列举出所有符合题意的(m,n),即可求解.‎ ‎【解】 (1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共有36种.(1)若a⊥b,则有m-3n=0,即m=3n,符合条件的(m,n)有(3,1),(6,2),共2种,所以事件“a⊥b”发生的概率为=.‎ ‎(2)若|a|≤|b|,则有m2+n2≤10,符合条件的(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,故所求概率为=.‎ ‎【总结反思】‎ 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法 ‎(1)根据平面向量的知识进行坐标运算,得出事件满足的约束条件;‎ ‎(2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合的结果;‎ ‎(3)利用古典概型概率计算公式求解概率.‎ 考向2 古典概型与解析几何的结合 ‎【例3】 将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2无公共点的概率为(  )‎ A.   B.   C.   D. ‎【分析】 由题意知本题是一个古典概型,求出试验发生包含的事件的个数及满足条件的基本事件的个数,代入古典概型概率公式即可得到结果.‎ ‎【解析】 直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2无公共点,则有>,即a>b,满足该条件的基本事件有15个,基本事件总数是36个,故所求概率为.‎ ‎【答案】 B ‎【总结反思】‎ 古典概型与直线、圆相结合的处理方法 ‎(1)根据平面几何中直线与圆的知识,构建事件满足的约束条件;‎ ‎(2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合的结果;‎ ‎(3)利用古典概型概率计算公式求解概率.‎ 考向3 古典概型与统计图形的结合 ‎【例4】 从某工厂抽取50名工人进行调查,发现他们一天加工零件的个数在50至350之间,现按生产的零件的个数将他们分成六组,第一组[50,100),第二组[100,150),第三组[150,200),第四组[200,250),第五组[250,300),第六组[300,350],相应的样本频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)求频率分布直方图中的x的值;‎ ‎(2)设位于第六组的工人为拔尖工,位于第五组的工人为熟练工,现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本,从样本中任意取2个,求至少有1名拔尖工的概率.‎ ‎【分析】 (1)由图表所给的信息利用6个小矩形的面积和为1确定x的值;(2)根据抽样比例确定两层分别抽取的人数,再对基本事件进行列举,最后利用古典概型概率计算公式计算出概率.‎ ‎【解】 (1)根据题意,(0.002 4+0.003 6+x+0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50=1,解得x=0.006 0.‎ ‎(2)由题知50名工人中拔尖工有3人,熟练工有6人,从中抽取容量为6的样本,则其中拔尖工有2人,熟练工有4人.可设拔尖工分别为A1,A2,熟练工分别为B1,B2,B3,B4,则从样本中任取2个的情况有:A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A‎1A2,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,共15种.‎ 其中,至少有1名是拔尖工的情况有A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,‎ A‎1A2,共9种,故至少有1名拔尖工的概率是=.‎ ‎【总结反思】‎ 古典概型与统计图表交汇问题的处理方法 ‎(1)根据统计的相关知识,确定相关事件应满足的条件;‎ ‎(2)列举所有符合条件的基本事件结果;‎ ‎(3)利用古典概型概率计算公式求解概率.‎ ‎ ‎ ‎(1)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数,记为a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数,记为b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一点,O为坐标原点,则直线OA与曲线y=x2+1有交点的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎(3)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/平方米)如下表所示:‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎①从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;‎ ‎②从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.‎ 解析:(1)由题意可知(a,b)可能的情况有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种.因为m⊥n,即m·n=0,所以有a×1+b×(-1)=0,即a=b,所以满足条件的有(3,3),(5,5),共2个,故所求的概率为.‎ ‎(2)易知过点(0,0)与y=x2+1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑),集合N中共有16个元素,其中使OA 斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,故所求的概率为=.‎ ‎(3)解:①从身高低于1.80的同学中任取2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.‎ 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.‎ 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.‎ 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P==.‎ ‎②从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.‎ 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.‎ 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P=.‎ 答案:(1)A (2)C (3)  ‎1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包含的基本事件个数时,它们是否是等可能的.‎ ‎2.概率的一般加法公式:‎ P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).‎ 公式使用中要注意:(1)公式的作用是求A∪B的概率,当A∩B=∅时,A、B互斥,此时P(A∩B)=0,所以P(A∪B)=P(A)+P(B);(2)要计算P(A∪B),需要求P(A)、P(B),更重要的是把握事件A∩B,并求其概率;(3)该公式可以看作一个方程,知三可求一.‎ ‎3.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算.‎
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