江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（B）试题

江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（B）试题

www.ks5u.com 江西省高安中学2019-2020学年度上学期期中考试 高一年级数学试题（B卷）‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.‎ ‎1.已知全集，，，那么集合是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得全集，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】依题意可知，‎ 对于A选项，，故A选项不符合；‎ 对于B选项，，故B选项不符合；‎ 对于C选项，，故C选项不符合；‎ 对于D选项，，故D选项符合.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】依题意，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同一函数的概念，根据函数的对应法则和函数的定义域是否相同，逐一判定，即可得到答案．‎ ‎【详解】对于A，由于，两个函数的对应法则不相同，故不是同一个函数；‎ 对于B，，两个函数对应法则相同，定义域相同，故是同一函数；‎ 对于C，，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；‎ 对于D，的定义域不相同，故不是同一个函数．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，当两个函数的定义域相同，且它们的对应法则也相同时，两个函数是同一个函数．由此对各个选项分别加以判断，比较其中两个函数的定义域和对应法则，不难得到正确答案．本题给出几组函数，要我们找到同一函数的一组，着重考查了函数的定义域、对应法则等函数的基本概念等知识，属于基础题．‎ ‎4.三个数，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“分段法”比较出三个数大小.‎ ‎【详解】依题意，即.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查“分段法”比较指数式和对数式的大小，属于基础题.‎ ‎5.已知点位于第二象限，则角所在的象限是（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点所象限列不等式，结合二倍角公式求得符合，由此判断所在象限.‎ ‎【详解】由于在第二象限，故，即，所以在第四象限.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查各个象限点的坐标的特征，考查二倍角公式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.‎ ‎6.已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像，根据函数值域，确定的取值范围.‎ ‎【详解】画出的图像如下图所示，注意到函数图像上个关键点：，故当时，，，当时，，.不能取其它值.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎7.若函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法，求得函数的解析式，并求得定义域.‎ ‎【详解】由于，故，也即，所以函数的定义域为.令，则，所以，令，则.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查换元法求得函数解析式，要注意函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎8.已知函数且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，证明为奇函数，利用，求得的值.‎ ‎【详解】构造函数，所以，也即函数为奇函数，故，也即，而，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.‎ ‎9.若实数满足，则关于的函数的图象形状大致是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用特例法，分别计算时，的值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】当时，排除C，D; 当时，排除A所以应选B．‎ 考点：判断图像形状，特殊值法应用．‎ ‎【点睛】特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：‎ 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；‎ 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．‎ 第三，选择题小题不可大作．‎ ‎10.已知函数且的最大值为,则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对x进行分类讨论，当x≤2时，f（x）=x﹣1和当x＞2时，2+logax≤1．由最大值为1得到a的取值范围．‎ ‎【详解】∵当x≤2时，f（x）=x﹣1，‎ ‎∴f（x）max=f（2）=1‎ ‎∵函数（a＞0且a≠1）的最大值为1,‎ ‎∴当x＞2时，2+logax≤1．‎ ‎∴，‎ 解得a∈[，1）‎ 故答案为：A ‎【点睛】（1）本题主要考查分段函数的最值问题，考查对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是分析推理出当x＞2时，2+logax≤1．‎ ‎11.已知函数，若存在实数使得函数有三个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得，画出和的图像，两个函数图像有个交点，结合图像求得的取值范围.‎ ‎【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，依题意可知，和的图像有个交点，则.不妨设，根据二次函数对称性可知，当时，令，解得 ，也即 ‎，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，考查二次函数的对称性，属于基础题.‎ ‎12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其命名的“高斯函数”为：设用[]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则函数的值域为（ ）‎ A. {0,1} B. {0} C. {-1,0} D. {-1,0,1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定函数的值域，然后求解函数的值域即可.‎ ‎【详解】函数的解析式，‎ 由于，故，‎ 结合函数的定义可得函数的值域为{-1,0}.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知幂函数y=的图象经过点，则f（9）=______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数，再由题意可得，由此求得的值，可得y=的解析式，从而可求f（9）的值．‎ ‎【详解】设幂函数，再由题意可得，即 ，‎ ‎ ‎ 故答案为 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．‎ ‎14.计算__________‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算出表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，原式 ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.‎ 考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.‎ ‎16.函数定义域为，若满足①在内是单调函数；②存在使在上的值域为，那么就称为“域倍函数”，若函数是“域2倍函数”，则的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“域倍函数”的定义列方程组，转化为方程有两个不同正实根，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】根据复合函数单调性同增异减可知函数为增函数，由“域倍函数”的定义可知，即方程有两个不同的实根，即方程有两个不同的实根.令，则方程有两个不同正实根，所以，解得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性，考查一元二次方程有两个不同正实根的条件，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数运算公式，化简所求表达式.‎ ‎（2）根据对数运算公式，化简所求表达式.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎（2）原式 ‎【点睛】本小题主要考查指数运算、考查对数运算，属于基础题.‎ ‎18.已知全集，集合 ‎（1）若，分别求和；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∪B={x|1＜x＜7}，B∩∁UA={x|4＜x＜7}（2）a≥5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合，‎ ‎（1）当时，根据并集的概念和运算求得，先求得，然后求得.‎ ‎（2）根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ 详解】由解得.‎ ‎（1）若a=4，则B={x|2＜x＜7}，则A∪B={x|1＜x＜7}，‎ ‎∁UA={x|x＞4或x≤1}，‎ B∩∁UA={x|4＜x＜7}．‎ ‎（2）若A⊆B，则得，即a≥5，‎ 即实数a的取值范围是a≥5．‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交、并、补运算，考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查对数不等式的解法，属于基础题.‎ ‎19.已知函数是定义域在上的奇函数，且．‎ ‎（1）用定义证明：函数在上是增函数，‎ ‎（2）若实数满足，求实数的范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据求得，根据单调性的定义，计算，由此证得函数在上为增函数.‎ ‎（2）利用函数的奇偶性化简，再利用函数的单调性结合函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵函数是定义域为（-1，1）上的奇函数，‎ ‎∴f（0）=0，∴b=0，‎ ‎∴‎ 任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，‎ ‎∴f（x1）-f（x2）=-‎ ‎==，‎ ‎∵a＞0，-1＜x1＜x2＜1，‎ ‎∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+＞0，1+＞0，‎ ‎∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数．‎ ‎（2）∵f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1），‎ ‎∵函数是定义域为（-1，1）上的奇函数，且a＞0．‎ ‎∴f（2t-1）＜f（1-t），‎ ‎∵函数f（x）在（-1，1）上是增函数，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 故实数t的范围是．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查利用奇偶性和单调性解函数不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎20.已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，求的值域和单调减区间；‎ ‎（2）若存在单调递增区间，求取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数的值域为（-∞，0]，f（x）的单调递减区间为[2，3）（2）a＞‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，先求得的定义域，利用换元法，结合二次函数值域和对数函数值域的求法求得函数的值域；结合复合函数单调性同增异减求得函数的单调区间.‎ ‎（2）对分成和两种情况进行分类讨论，根据复合函数单调性同增异减以及判别式，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当a=4时，f（x）=log4（-x2+4x-3）=log4[-（x-2）2+1]，‎ 设t=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，‎ 由-x2+4x-3＞0，得x2-4x+3＜0，得1＜x＜3，即函数的定义域为（1，3），‎ 此时t=-（x-2）2+1∈（0，1]，‎ 则y=log4t≤log41，即函数的值域为（-∞，0]，‎ 要求f（x）的单调减区间，等价为求t=-（x-2）2+1的单调递减区间，‎ ‎∵t=-（x-2）2+1的单调递减区间为[2，3），‎ ‎∴f（x）的单调递减区间为[2，3）．‎ ‎（2）若f（x）存在单调递增区间，‎ 则当a＞1，则函数t=-x2+ax-3存在单调递增区间即可，则判别式△=a2-12＞0得a＞或a＜舍，‎ 当0＜a＜1，则函数t=-x2+ax-3存在单调递减区间即可，则判别式△=a2-12＞0得a＞或a＜-，此时a不成立，‎ 综上实数a的取值范围是a＞．‎ ‎【点睛】本小题主要考查复合函数单调性、复合函数值域的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21.已知，满足，且的两实根之积为4．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求函数，在上的最大值（用表示）．‎ ‎【答案】（1）f（x）=x2-4x+4（2）g（x）max=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用求得的对称轴，进而求得，利用根与系数关系求得，进而求得函数的解析式.‎ ‎（2）首先化简的解析式，求得其对称轴为，根据对称轴和求解的位置关系对进行分类讨论，结合二次函数在闭区间上的值域的求法，求得在上最大值的表达式.‎ ‎【详解】（1）根据题意，f（x）=x2+ax+b，满足f（-2）=f（6），则其对称轴x=2，‎ 则a=-4，‎ 又由f（x）=0的两实根之积为4，即x2+ax+b=0的两根之积为4，b=4，‎ 则f（x）=x2-4x+4，‎ ‎（2）由（1）的结论，f（x）=x2-4x+4，则g（x）=2mx-f（x）=-x2+（2m+4）x-4=-[x-（m+2）]2+m2+4m，‎ 其对称轴为x=m+2，‎ 分3种情况：‎ 当m+2＜0，即m＜-2时，g（x）在[0，2]上为减函数，则g（x）max=g（0）=-4，‎ 当0≤m+2≤2，即-2≤m≤0时，则g（x）max=g（m+2）=m2+4m，‎ 当m+2＞2，即m＞0时，g（x）在[0，2]上为增函数，则g（x）max=g（2）=4m，‎ 故g（x）max=．‎ ‎【点睛】本小题主要考查待定系数法求二次函数解析式，考查二次函数在给定区间上的最大值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22.已知 ‎（1）求函数的解析式及其定义域；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（x）=2x-2-x；定义域为（2）（-∞，-1]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用换元法，求得函数的解析式，并求得定义域.‎ ‎（2）利用换元法，将原不等式分离常数得到在恒成立，利用二次函数对称轴，求得在上的最小值，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设log2x=t，t∈R 可得x=2t ‎∴f（t）=，‎ 即f（x）=2x-2-x,定义域为.‎ ‎（2）由8x-8-x-4x+1-41-x+8≥kf（x）对x∈[1，+∞）恒成立，‎ 即8x-8-x-4x+1-41-x+8≥k（2x-2-x）对x∈[1，+∞）恒成立，‎ 可得（2x）3-（2-x）3-4[（2x）2+（2-x）2]+8≥k（2x-2-x）‎ 则（2x-2-x）[（2x）2+（2-x）2+1]-4[（2x）2+（2-x）2]+8≥k（2x-2-x）‎ ‎∴（2x-2-x）[（2x-2-x）2+3]-4[（2x-2-x）2+2]+8≥k（2x-2-x）‎ ‎∴（2x-2-x）[（2x-2-x）2+3]-4（2x-2-x）2≥k（2x-2-x）‎ 设2x-2-x=t，‎ 可得t（t2+3）-4t2≥kt，（t∈R）‎ ‎∵x∈[1，+∞）恒成立，‎ ‎∴t≥‎ 则t2+3-4t≥k在t∈[，+∞）恒成立，‎ 当t=2时，（t2+3-4t）min=-1‎ ‎∴k≤-1；‎ 故得k的取值范围是（-∞，-1]；‎ ‎【点睛】本小题主要考查换元法求函数解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查二次函数在给定区间上的最小值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎