高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提升作业 新人教A版选修4-5

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高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提升作业 新人教A版选修4-5

‎【全程复习方略】(福建专用)2014版高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提升作业 新人教A版选修4-5‎ ‎1.已知a>1,求证: ‎ ‎2.已知x,y,z均为正数,求证:‎ ‎3.已知a>2,求证:loga(a-1)< log(a+1)a.‎ ‎4.(2012·湖北高考)(1)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且00,求证:‎3a3+2b3≥‎3a2b+2ab2.‎ ‎6.已知a,b,c>0,且互不相等,abc=1,证明 ‎7.已知a>b>0,求证: ‎ ‎8.(2013·无锡模拟)设a,b,c是不全相等的正实数.‎ 求证:‎ ‎9.已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c.若a+c=0,f(x)在[-1,1]上最大值为2,最小值为-,‎ 求证:a≠0且||<2.‎ ‎10.(2012·洛阳模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1,数列{bn}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(2)设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>‎Tn.‎ 答案解析 ‎1.【证明】方法一:∵‎ ‎∵a>1,∴a-1>0,且a-10,‎ ‎∴<0,‎ ‎∴.‎ 方法二:要证原不等式成立.‎ 只需证: , ‎ 只需证:,‎ 即证:,‎ 上式显然成立.‎ 所以原不等式成立.‎ ‎2.【证明】∵x,y,z均为正数,‎ ‎∴‎ 同理可得 当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.‎ 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,‎ 得 ‎3.【证明】∵a>2,∴a-1>1.∴loga(a-1)>0,log(a+1)a>0.‎ 由于=loga(a-1)·loga(a+1)<[ ]2=[]2,‎ ‎∵a>2,∴00,‎ ‎∴loga(a-1)1时,f′(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.‎ 故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.‎ ‎(2)由(1)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1-r).  ①‎ 若a1,a2中至少有一个为0,则≤a1b1+a2b2成立;‎ 若a1,a2均不为0,又b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是 在①中令x=,r=b1,可得≤b1·+(1-b1),‎ 即≤a1b1+a2(1-b1),亦即≤a1b1+a2b2.‎ 综上,对a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数且b1+b2=1,总有≤a1b1+a2b2. ②‎ ‎(3)(2)中命题的推广形式为:‎ 设a1,a2,…,an为非负实数,b1,b2,…,bn为正有理数.‎ 若b1+b2+…+bn=1,则…≤a1b1+a2b2+…+anbn. ③‎ 用数学归纳法证明如下:‎ ‎(ⅰ)当n=1时,b1=1,有a1≤a1,③成立.‎ ‎(ⅱ)假设当n=k时,③成立,即若a1,a2,…,ak为非负实数,b1,b2,…,bk为正有理数,‎ 且b1+b2+…+bk=1,则…≤a1b1+a2b2+…+akbk.‎ 当n=k+1时,已知a1,a2,…,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1为正有理数,‎ 且b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时00,‎ 于是…=(…)· ‎=‎ 因由归纳假设可得≤a1· ‎+a2·+…+ak·=,‎ 从而…≤‎ 又因(1-bk+1)+bk+1=1,由②得 ≤·(1-bk+1)+ak+1bk+1,‎ 从而… ‎≤a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.‎ 故当n=k+1时,③成立,‎ 由(ⅰ)(ⅱ)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.‎ 说明:(3)中如果推广中指出③式对n≥2成立,则后续证明中不需讨论n=1的情况.‎ ‎5.【证明】‎3a3+2b3-(‎3a2b+2ab2)=‎3a2(a-b)+2b2(b-a)=(‎3a2-2b2)(a-b).‎ 因为a≥b>0,故a-b≥0,‎3a2-2b2>‎2a2-2b2=2(a+b)(a-b)≥0,‎ 所以(‎3a2-2b2)(a-b)≥0,即‎3a3+2b3≥‎3a2b+2ab2.‎ ‎6.【证明】方法一:∵a,b,c>0,且互不相等,abc=1.‎ ‎∴‎ 即 方法二:∵‎ 以上三式相加,得 又∵a,b,c互不相等,∴等号不成立,‎ 即 ‎7.【证明】要证原不等式组成立,‎ 只需证b>0,∴<1<成立.‎ ‎∴原不等式组成立.‎ ‎8.【证明】方法一:要证: >lga+lgb+lgc,‎ 只需证:lg()>lg(abc),‎ 只需证:>abc.‎ ‎∵‎ ‎∴≥abc>0成立.‎ ‎∵a,b,c为不全相等的正数,∴上式中等号不成立.‎ ‎∴原不等式成立.‎ 方法二:∵a,b,c∈{正实数},‎ ‎∴‎ 又∵a,b,c为不全相等的实数,‎ ‎∴>abc,‎ ‎∴lg()>lg(abc),‎ 即>lga+lgb+lgc.‎ ‎9.【证明】由a+c=0得c=-a,∴f(x)=ax2+bx-a.‎ 假设a=0或||≥2.‎ ‎(1)由a=0,得f(x)=bx,依题意知b≠0,又f(x)在[-1,1]上是单调函数,‎ ‎∴f(x)的最大值为|b|,最小值为-|b|.‎ 于是|b|=2,-|b|=-,显然矛盾,故a≠0.‎ ‎(2)由||≥2,得|-|≥1且a≠0,‎ 因f(x)在[-1,1]上单调,故其最大值为|b|,最小值为-|b|,‎ 由(1)知这是不可能的,所以||≥2不成立.‎ 综合(1)(2)可知,假设不成立,故a≠0且||<2.‎ ‎10.【解析】(1)由bn=an-1得an=bn+1代入an-1‎ ‎=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1‎ 整理得bn-bn+1=bnbn+1,‎ ‎∵bn≠0,否则an=1,与a1=2矛盾,‎ 从而得 ‎∵b1=a1-1=1,‎ ‎∴数列{}是首项为1,公差为1的等差数列.‎ ‎∴=n,即bn=.‎ ‎(2)∵Sn=1+++…+ ‎∴Tn=S2n-Sn=1+++…+++…+-(1+++…+)‎ ‎=++…+.‎ 方法一:∵Tn+1-Tn=++…+‎ ‎∴Tn+1>Tn.‎ 方法二:∵Tn+1-Tn=‎ ‎∵2n+1<2n+2,∴‎ ‎∴Tn+1-Tn>=0.‎ ‎∴Tn+1>Tn.‎
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