【数学】2019届一轮复习人教A版 函数的图象 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 函数的图象 学案

第10讲　函数的图象 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．理解点的坐标与函数图象的关系．‎ ‎2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数的图象得到另一个函数的图象．‎ ‎3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，11‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，7‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，12‎ ‎2016·山东卷，15‎ ‎1．利用函数的定义域、值域判断图象的左右、上下的位置；利用函数的奇偶性、单调性、周期性判断图象的对称性以及变化趋势．‎ ‎2．利用函数的图象研究函数的性质；利用函数的图形研究不可解方程根的个数、函数零点的个数；利用函数的图象求不等式的解集，以及解决已知函数零点个数求参数问题．‎ 分值：5～8分 ‎1．利用描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点、连线．‎ 首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．‎ 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．‎ ‎2．利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 y＝f(x)y＝__f(x－a)__；‎ y＝f(x)y＝__f(x)＋b__；‎ ‎(2)伸缩变换 y＝f(x)y＝__f(ωx)__；‎ y＝f(x)y＝__Af(x)__；‎ ‎(3)对称变换 y＝f(x)关于x轴对称,y＝__－f(x)__；‎ y＝f(x)关于y轴对称,y＝__f(－x)__；‎ y＝f(x)关于原点对称,y＝__－f(－x)__.‎ ‎(4)翻折变换 y＝f(x)y＝__f(|x|)__；‎ y＝f(x)y＝__|f(x)|__.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致．(　×　)‎ ‎(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　×　)‎ ‎(4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　×　)‎ 解析　(1)错误．前者是函数y＝f(x)图象本身的对称，而后者是两个图象间的对称．‎ ‎(2)错误．例如，函数y＝|log2x|与y＝log2|x|，当x>0时，它们的图象不相同．‎ ‎(3)错误．函数y＝af(x)与y＝f(ax)分别是对函数y＝f(x)作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图象不同．‎ ‎(4)错误．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．‎ ‎2．函数y＝x2＋的图象大致为(　C　)‎ 解析　因为ff(1)<0，故由零点存在定理可得函数在区间上存在零点，故排除A，D项；又当x<0时，f(x)＝x2＋，而f＝＋e>0，排除B项，故选C．‎ ‎3．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过点(　D　)‎ A．(1，－2)　　　 B．(2，－2)　　　‎ C．(3，－2)　　　 D．(4，－2)‎ 解析　由已知有f(4)＝2，故函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过点(4，－2)，故选D．‎ ‎4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　D　)‎ A．ex＋1　　　 B．ex－‎1　‎　　‎ C．e－x＋1　　　 D．e－x－1‎ 解析　依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)的图象相当于曲线y＝e－x向左平移1个单位得到的，‎ ‎∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1．‎ ‎5．若将函数y＝f(x)的图象向左平移2个单位，再沿y轴对折，得到y＝lg(x＋1)的图象，则f(x)＝__lg(3－x)__.‎ 解析　把y＝lg(x＋1)的图象沿y轴对折得到y＝lg(－x＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得到y＝lg[－(x－2)＋1]＝lg(3－x)的图象，∴f(x)＝lg(3－x)．‎ 一　函数图象的作法 函数图象的作法 ‎(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．‎ ‎(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．‎ ‎【例1】 作出下列函数的图象．‎ ‎(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1．‎ 解析　(1)作出y＝x(x≥0)的图象，再将y＝x(x≥0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝|x|的图象，如右图中实线部分．‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如右图．‎ ‎(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如下图．‎ 二　函数图象的识别 函数图象识别的两种方法 ‎(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．‎ ‎(2)利用间接法排除筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：‎ ‎①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；‎ ‎②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；‎ ‎③从函数的奇偶性判断图象的对称性；‎ ‎④从函数的周期性判断图象的循环往复；‎ ‎⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．‎ ‎【例2】 (1)(2018·湖北天门、仙桃、潜江三市联考)已知图(1)是函数y＝f(x)的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是(　C　)‎ A．y＝f(|x|)　　　 B．y＝|f(x)|‎ C．y＝f(－|x|)　　　 D．y＝－f(－|x|)‎ ‎(2)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　C　)‎ A．a>0，b>0，c>0‎ B．a<0，b>0，c>0‎ C．a<0，b>0，c<0‎ D．a<0，b<0，c<0‎ 解析　(1)由图(2)知，图象对应的函数是偶函数，故B项错误，且当x>0时，对应的函数是y＝f(－x)，显然A项，D项不正确．故选C．‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}，由题中图象可知－c＝xp>0，即c<0，排除A项，B项．‎ 令f(x)＝0，可得x＝－，则xN＝－，‎ 又xN>0，则<0.所以a，b异号，排除D项．‎ 三　函数图象的应用 函数图象的两个应用 ‎(1)利用函数的图象研究方程根的个数：‎ 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．‎ ‎(2)利用函数的图象研究不等式：‎ 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎【例3】 (1)(2018·湖北华师一附中检测)若函数f(x)＝则函数y＝f(x)－x＋的零点的个数为(　D　)‎ A．1　　　 B．2‎ C．3　　　 D．4‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　B　)‎ A．0　　　 B．m C．‎2m　　　 D．‎‎4m 解析　(1)分别作出y＝f(x)与y＝g(x)＝x－的图象，如图．‎ 显然直线y＝g(x)与曲线y＝1－x2(x≤1)有两个交点；对于直线y＝x－与曲线y＝ln x(x>1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x→＋∞时，直线y＝g(x)的图象肯定在y＝ln x(x>1)的上方，又f()＝ln ，g()＝，‎ ‎∴f()＝ln ＝ln 3>ln e＝，‎ ‎∴f()>g()，故两图象有4个交点．‎ ‎(2)因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0,1)对称，‎ 所以i＝0，i＝×2＝m，故选B．‎ ‎1．(2018·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　A　)‎ A．f(x)＝　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝－1　　　　 D．f(x)＝x＋ 解析　由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B项，C项．若函数f(x)＝x＋，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D项，故选A．‎ ‎2．(2017·辽宁大连测试)函数f(x)＝2x－4sin x，x∈的图象大致是(　D　)‎ 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以排除A项，B项．‎ f′(x)＝2－4cos x，x∈，‎ 令f′(x)＝2－4cos x＝0，x∈，‎ 得x＝±，故选D．‎ ‎3．为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x图象上所有点的(　A　)‎ A．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右移1个单位 B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左移1个单位 C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左移1个单位 D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右移1个单位 解析　把函数y＝log2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，得到函数y＝log2(x－1)的图象，即函数y＝log2(x－1)＝log2的图象．‎ ‎4．(2017·北京东城二模)对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙b＝设f(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＋k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是(　D　)‎ A．(－2,1)　　　 B．[0,1]　　　　‎ C．[－2,0)　　　 D．[－2,1)‎ 解析　令g(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＝其图象如图所示．‎ f(x)＝g(x)＋k的图象与x轴恰有三个交点即y＝g(x)与y＝－k的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k≤2，即－2≤k<1，故选D．‎ 易错点1　混淆函数图象变换规律 错因分析：①左右平移只针对x，且“左加右减”；②不能正确认识对称变换．‎ ‎【例1】 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(　　)‎ A．直线y＝0对称　　　 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称　　　 D．直线x＝1对称 解析　f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f(－(x－1))‎ 的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0对称)，因此f(x－1)与f(－(x－1))的图象关于直线x＝1对称，故选D．‎ 答案　D ‎【跟踪训练1】 已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(1－x)的图象为(　D　)‎ ‎　　‎ 解析　方法一　把函数y＝f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度．得到y＝f(x＋1)的图象，再把所得的图象关于原点对称，即可得到y＝－f(1－x)的图象，故选D．‎ 方法二　取函数y＝f(x)的图象上的点(2,4)，则有f(2)＝4，因为－f(1－(－1))＝－f(2)＝－4，所以函数y＝－f(1－x)的图象过点(－1，－4)，排除A项，B项，C项，故选D．‎ 易错点2　赋值不准，根的范围或根的个数产生偏差 错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要用赋值法讨论，看它们图象的交点有几个．‎ ‎【例2】 已知f(x)＝x2－3，g(x)＝mex，若方程f(x)＝g(x)有三个不同的根，则m的取值范围是(　　)‎ A．　　　 B．　　　　‎ C．　　　 D．(0,2e)‎ 解析　当m＝0时，f(x)＝g(x)⇒x＝±，只有两个实根，排除B，C项．对于A项，D项，赋值m＝1，方程f(x)＝g(x)变为x2－3＝ex，在同一直角坐标系中，作出f(x)＝x2－3，g(x)＝ex的图象，由图可知，两图象在y轴左侧有且仅有一个交点，很明显，当x>0时，g(x)＝ex的增长速度较f(x)＝x2－3要快．又由f()＝0，g(2)＝e2>1＝f(2)，…，‎ 故两图象只有一个交点，∴排除D项，故选A．‎ 答案　A ‎【跟踪训练2】 已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　C　)‎ A．－　　　 B． C．　　　 D．1‎ 解析　由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，‎ 即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝，故选C．‎ 课时达标　第10讲 ‎[解密考纲]　数形结合是数学中的重要思想方法．利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题，解决函数的零点、方程的解的问题，解决求解不等式的问题等．‎ 一、选择题 ‎1．函数y＝的图象大致为(　D　)‎ 解析　由题意知x≠1，∵00，lnx<0.∴y<0，图象在x轴下方，排除B项，C项；当x>1时，2x>0，lnx>0，∴y>0，图象在x轴上方，当x→＋∞时，y＝→＋∞，故选D．‎ ‎2．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(　C　)‎ A．－　　　 B．－ C．－1　　　 D．－2‎ 解析　由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，‎ ‎∴f(x)＝ 故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C．‎ ‎3．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a＝(　A　)‎ A．3　　　 B．‎2　‎　　‎ C．1　　　 D．－1‎ 解析　∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，‎ ‎∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)，即3＋|2－a|＝1＋|a|，排除D项，C项，又f(－1)＝f(3)，即|a＋1|＝4＋|3－a|，用代入法知选A．‎ ‎4．(2018·四川成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　D　)‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)　　　 D．(－1,0)∪(0,1)‎ 解析　f(x)为奇函数，所以不等式<0化为<0，即xf(x)<0，则f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．‎ ‎5．(2018·河南统考)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象的对称轴方程是(　C　)‎ A．x＝－1　　　 B．x＝－ C．x＝　　　 D．x＝1‎ 解析　∵f(2x＋1)是偶函数，其图象关于y轴对称，‎ 而f(2x＋1)＝f，‎ ‎∴f(2x)的图象可由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到，即f(2x)的图象的对称轴方程是x＝.‎ ‎6．(2018·广东名校模拟)已知函数f(x)＝4－x2，函数g(x)(x∈R且x≠0)是奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数f(x)·g(x)的大致图象为(　D　)‎ 解析　易证函数f(x)＝4－x2为偶函数，又g(x)是奇函数，所以函数f(x)·g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A项、B项．当x>0时，f(x)·g(x)＝(4－x2)log2x有两个零点1,2，且04或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．‎ ‎11．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，‎ 则点P关于点(0,1)的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，‎ 即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．‎ ‎(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.‎ ‎∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，‎ 即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，‎ ‎∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.‎ ‎(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？‎ ‎(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．‎ 解析　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，‎ G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示：‎ 由图象看出，当m＝0或m≥2时，‎ 函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当00)，H(t)＝t2＋t，‎ 因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以当t>0时，H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，‎ 即所求m的取值范围为(－∞，0]．‎