数学文卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高三下学期开学考试（3月）（2018

数学文卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高三下学期开学考试（3月）（2018

大庆铁人中学2017—2018学年度下学期开学考试 满分：150分 考试时间：120分钟 ‎ 命题人：鲁作益 审核人：李刚 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.若集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎3.已知平面向量，，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.为估计椭圆＋y2＝1的面积，利用随机模拟的方法产生200个点(x，y)，‎ 其中x∈(0，2)，y∈(0，1)，经统计有156个点落在椭圆＋y2＝1内，则 由此可估计该椭圆的面积约为 (　　)‎ A．0.78 B．1.56 C．3.12 D．6.24 ‎ ‎5.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的的值为（ ）‎ A．-3 B．-3或9 C.3或-9 D．-9或-3‎ ‎6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ）‎ A．55 B．11 C.50 D．60‎ ‎8.甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.‎ 已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.‎ 根据以上情况，下列判断正确的是（ ）‎ A．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是记者，丙是教师 C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者 D．甲是记者，乙是医生，丙是教师 ‎9.已知函数，以下命题中假命题是（ ）‎ A．函数的图象关于直线对称 B．是函数的一个零点 C.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 D．函数在上是增函数 ‎10.设函数，则（ ）‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 ‎ C.为的极大值点 D．为的极小值点 ‎11.已知双曲线，为坐标原点，为双曲线的右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C. D．‎ ‎12.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则在区间内关于的方程解的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设变量满足约束条件：，则的最小值为 ．‎ ‎14.已知直线与直线垂直，且与圆相切，则直线的一般方程为 ．‎ ‎15.下列命题中，正确的序号是_________‎ ‎①若为假命题，则均为假命题； ②若直线，平面平面，则；‎ ‎③“若，则”的否命题是“若，则”；‎ ‎④已知圆锥的底面和顶点都在球面上，且圆锥的底面半径和球半径的比为，则圆锥与球的体积比为；‎ ‎⑤若正数满足，则的最小值是2.‎ ‎16.已知数列满足,,若表示不超过的最大整数，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，且，.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18.汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：‎ ‎(1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？‎ 不了解 了解 总计 女性 a b ‎50‎ 男性 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 总计 p q ‎100‎ ‎ ‎ (2) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO浓度的数据，并制成如图7所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO浓度y%与使用年限t线性相关，试确定y关于t的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的多少倍．‎ 附：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： .‎ 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，‎ ‎，为上一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，，求三棱锥的体积.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且有.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数图象经过的定点坐标；‎ ‎（2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；‎ ‎（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，（）‎ ‎（1）求曲线、的极坐标方程；‎ ‎（2）设点、为射线与曲线、除原点之外的交点，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求的值.‎ 大庆铁人中学2017—2018学年度下学期开学考试答案 一、选择题 ‎1-5:CBBDB 6-10:AACCD 11、12：AC 二、填空题 ‎13.-10 14. 或 15.③④⑤ 16.1‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，得，‎ 又，∴，即.‎ 由及，得.‎ ‎（2）由，得 ‎∴，即.‎ 18. 解：(1)设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A，‎ 由已知得P(A)＝＝，所以a＝25，b＝25，p＝40，q＝60.‎ K2的观测值k＝≈4.167>3.841，‎ 故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.‎ ‎(2)由折线图中所给数据计算，得t＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋0.7)＝0.42，‎ 故＝＝0.07，＝0.42－0.07×6＝0, 所以所求回归方程为＝0.07t.‎ 故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO浓度为0.2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的4.2倍.‎ ‎19.解：（1）法一：过作交于点，连接.‎ ‎∵，∴.又∵，且，‎ ‎∴，∴四边形为平行四边形，∴.‎ 又∵平面，平面，∴平面.‎ 法二：过点作于点，为垂足，连接.‎ 由题意，，则，‎ 又∵，，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵平面，平面，∴.‎ 又，∴.‎ 又∵平面，平面；‎ ‎∵平面，平面，；‎ ‎∴平面平面.‎ ‎∵平面，∴平面.‎ ‎（2）过作的垂线，垂足为.‎ ‎∵平面，平面，∴.‎ 又∵平面，平面，；‎ ‎∴平面 由（1）知，平面，‎ 所以到平面的距离等于到平面的距离，即.‎ 在中，，，∴.‎ ‎.‎ ‎20.解：（1）由，得，∴.‎ 将代入，得.∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由已知，直线的斜率为零时，不合题意，设直线方程为，点，，‎ 则联立，得，‎ 由韦达定理，得，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立.∴面积的最大值为.‎ ‎21.解：（1）当时，，所以，所以函数的图象无论为何值都经过定点.‎ ‎（2）当时，.，，，‎ 则切线方程为，即.‎ 在时，如果，即时，函数单调递增；‎ 如果，即时，函数单调递减.‎ ‎（3），.‎ 当时，，在上单调递增.，不恒成立.‎ 当时，设，.∵的对称轴为，，‎ ‎∴在上单调递增，且存在唯一，使得.‎ ‎∴当时，，即，在上单调递减；‎ ‎∴当时，，即，在上单调递增.‎ ‎∴在上的最大值.‎ ‎∴，得，解得.‎ ‎22.解（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得，即，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为.‎ 由曲线的直角坐标方程，，∴曲线的极坐标方程.‎ ‎（2）联立，得，∴，‎ 联立，得，∴.∴.‎ ‎∵，∴当时，有最大值2.‎ ‎23.解法一：（1）时，由，得，‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）由，可得，或.即，或.‎ ‎1）当时，不等式的解集为.由，得.‎ ‎2）当时，解集为，不合题意.‎ ‎3）当时，不等式的解集为.由，得.‎ 综上，，或.‎ 解法二：（1）当时，，函数为单调递增函数，‎ 此时如果不等式的解集为成立，‎ 那么，得；‎ ‎（2）当时，，函数为单调递增函数，‎ 此时如果不等式的解集为成立，‎ 那么，得；经检验，或都符合要求.‎