【数学】2018届一轮复习人教A版专题15坐标系与参数方程学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题15坐标系与参数方程学案

专题15 坐标系与参数方程 ‎【2018年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ ‎(1)直线、曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)直线、曲线的参数方程；‎ ‎(3)参数方程与普通方程的互化；‎ ‎(4)极坐标与直角坐标的互化 ，本内容的考查要求为B级.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点：θ＝α；‎ ‎(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；学！ ‎ ‎(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.‎ ‎(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A(ρ0，θ ‎0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)．‎ ‎4．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．‎ 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．‎ ‎5．圆的参数方程 圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．‎ ‎6．圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)双曲线－＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数).‎ ‎【题型示例】‎ 题型一　极坐标方程和参数方程 ‎【例1】【2017天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点 ‎【变式探究】【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线过圆的圆心，因此 ‎【变式探究】(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．‎ ‎【变式探究】(2015·北京，11)在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．‎ 解析　在平面直角坐标系下，点化为(1，)，直线方程为：x＋y＝6，∴点(1，)到直线的距离为d＝＝＝1.‎ 答案　1‎ ‎【举一反三】(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．‎ 解析　由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝x的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝的最大距离为4＋2＝6.‎ 答案　6‎ ‎【变式探究】(2014·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原 的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想．‎ ‎【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程．‎ ‎(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．‎ ‎【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1，得x2＋2＝1，‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)．‎ ‎【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．‎ 题型二　极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化 ‎【例2】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(‎ 为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为.‎ 因为点在曲线上，设，‎ 从而点到直线的的距离，‎ 当时， .‎ 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值. ‎ ‎【考点】参数方程化普通方程 ‎【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；学！ ‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.‎ 是以为圆心，为半径的圆.‎ 将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组 若，由方程组得，由已知，‎ 可得，从而，解得（舍去），.‎ 时，极点也为的公共点，在上.所以.‎ ‎ 【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求C2的方程；‎ ‎(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.‎ ‎【解析】(1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以即 从而C2的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2.‎ ‎【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．‎ ‎【变式探究】(2014·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原 的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，‎ 依题意，得 由x＋y＝1得x2＋＝1，‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由解得：或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得 ‎2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 即ρ＝.‎ 题型三　参数方程及其应用 ‎【例3】 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.[ :学 ]‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎【答案】（1）与的交点坐标为， ；（2）或.‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或.‎ 从而与的交点坐标为， .‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时， 的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时， 的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上， 或.‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由可得的极坐标方程[ :Z|xx|k.Com]‎ ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 ‎ ‎ 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ ‎【变式探究】(2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．学 ‎ 解析　直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．‎ 答案　(2，π)‎ ‎【变式探究】(2014·福建)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为 ‎(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．‎ ‎【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l与圆C的普通方程．‎ ‎(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l的距离不大于半径，得到关于参数a的不等式，即可求出参数a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)直线l的普通方程为2x－y－‎2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ ‎【感悟提升】‎ ‎1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．‎ ‎2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．‎ ‎【变式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)． ‎ ‎①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎[ : ]‎ ‎【举一反三】(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.学 ！ ‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎ ‎