高中数学-高考数学知识点、解题方法和技巧
预祝各位考生取得好的成绩
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高考数学知识点汇编（全套）
函数
1.函数的定义
（1）映射的定义：
(2) 一一映射的定义：
上面中是映射的是_____________,是一一映射的是____________。
(3)函数的定义：（课本第一册上.P51）
2.函数的性质
（1）定义域：（南师大 P32 复习目标）
（2）值域：
（3）奇偶性（在整个定义域内考虑）
①定义：
②判断方法：Ⅰ.定义法 步骤：a.求出定义域；
b.判断定义域是否关于原点对称；
c.求 )( xf ；
d.比较 )()( xfxf 与 或 )()( xfxf 与 的关系。
Ⅱ图象法
③已知： )()()( xgxfxH
若非零函数 )(),( xgxf 的奇偶性相同，则在公共定义域内 )(xH 为偶函数
若非零函数 的奇偶性相反，则在公共定义域内 )(xH 为奇函数
④常用的结论：若 )(xf 是奇函数，且 定义域0 ，则 )1()1(0)0( fff 或 ；
若 )(xf 是偶函数，则 )1()1( ff ；反之不然。
（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）
①定义：
②证明函数单调性的方法：
Ⅰ.定义法 步骤：
a.设 2121, xxAxx 且 ；
b.作差 )()( 21 xfxf ；
（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）
c.判断正负号。
Ⅱ用导数证明： 若 在某个区间 A 内有导数，
则 )0)( Axxf ，（’ 在 A 内为增函数；
)0)( Axxf ，（’ 在 A 内为减函数。
③求单调区间的方法：
a.定义法：
b.导数法：
c.图象法：
d.复合函数 )(xgfy 在公共定义域上的单调性：
若 f 与 g 的单调性相同，则 )(xgf 为增函数；
若 f 与 g 的单调性相反，则 )(xgf 为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
④一些有用的结论：
a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；
b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；
c.在公共定义域内
增函数 )(xf 增函数 )(xg 是增函数；
减函数 )(xf 减函数 )(xg 是减函数；
增函数 )(xf 减函数 )(xg 是增函数；
减函数 )(xf 增函数 是减函数。
d. 函数 )0,0( bax
baxy 在 ,, abab 或 上 单 调 递 增 ； 在
abab ，或 00, 上是单调递减。
（5）函数的周期性
定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 )()( xfTxf 恒成立
则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
例：（1）若函数 )(xf 在 R 上是奇函数，且在 01， 上是增函数，且 )()2( xfxf
则① 关于 对称；② 的周期为 ；
③ 在（1，2）是 函数（增、减）；
④ ）时，，（若 10x = x2 ，则 )(log18
2
1f 。
（2）设 是定义在 ),( 上，以 2 为周期的周期函数，且 为偶函数，
在区间[2，3]上， = 4)3(2 2 x ,则 时，]2,0[x = 。
3、函数的图象
1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函
数、（5）对数函数、（6）三角函数。
2、图象的变换
（1）平移变换
①函数 )0(),( aaxfy 的图象是把函数 轴的图象沿xxfy )( 向左 平
个单位得到的移a ；
②函数 )0(),( aaxfy 的图象是把函数 向 右平
个单位得到的移a ；
③函数 )0(,)( aaxfy 的图象是把函数 轴的图象沿yxfy )( 向上 平
个单位得到的移a ；
④函数 )0(,)( aaxfy 的图象是把函数 轴的图象沿yxfy )( 向下 平
个单位得到的移a 。
（2）对称变换
①函数 )(xfy 与函数 )( xfy 的图象关于直线 x=0 对称；
函数 )(xfy 与函数 )(xfy 的图象关于直线 y=0 对称；
函数 与函数 )( xfy 的图象关于坐标原点对称；
②如果函数 对于一切 ,Rx 都有 )( axf )( axf ，那么
的图象关于直线 ax 对称。
③函数 )( xafy 与函数 )( xafy 的图象关于直线 对称。
④ )(xfy
⑤ )( xfy
⑥ )(1 xfy 与 关于直线 xy 对称。
（3）伸缩变换
① )0(),( axafy 的图象，可将 的图象上的每一点的纵坐标伸长
)1( a 或缩短 )10( a 到原来的 a 倍。
② )0(),( aaxfy 的图象，可将 )(xfy 的图象上的每一点的横坐标伸长
)10( a 或缩短 )1( a 到原来的
a
1 倍。
例：（1）已知函数 的图象过点（1，1），则 )4( xf 的反函数的图象
过点 。
（2）由函数 xy )2
1( 的图象，通过怎样的变换得到 xy 2log 的图象？
4、函数的反函数
1、求反函数的步骤：
①求原函数 ， )( Ax 的值域 B
②把 看作方程，解出 )(yx ；
③x，y 互换的 的反函数为 )(1 xfy ， )( Bx 。
2、函数与反函数之间的一个有用的结论： abfbaf )()(1
3、原函数 在区间 ],[ aa 上单调递增，则一定存在反函数，且反函数
也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。
例 1： )1(
2log3 xy ， )0( x 的反函数为 。
2：已知 )0(,32)( 2 xxxxf ，求 )12( xfy 的反函数。
3：设 )0(,329)( 1fxf xx 则 。
4：四十五分钟能力训练题十（13 题）。
5、函数、方程与不等式
1、“实系数一元二次方程 02 cbxax 有实数解”转化为“ 042 acb ”，
你是否注意到必须 0a ；当 a =0 时，“方程有解”不能转化为 。
若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能
为零的情形？
2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。
设 21, xx 为方程 )0(,0)( axf 的两个实根。
①若 ,, 21 mxmx 则 0)( mf ；
②当在区间 ),( nm 内有且只有一个实根，时，
③当在区间 内有且只有两个实根时，
④若 qxpnxm 21 时
注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。
②注意端点，验证端点。
例：1、对于定义在 R 上的函数 ,1
4)( 2
x
mxxf 若其所以的函数值都不超过 1，
则 m 的取值范围 。
2、已知函数 ]
4
1)([
2
2
log xaaxy 的定义域是一切实数，则 a 。
3、若关于 x 的方程 01222 aaxx 有实根，则 。
4 、 设 集 合 A= 0342 xxx ， B 是关于 x 的 不 等 式 组
05)7(2
02
2
2
xax
axx 的解集，试确定 a 的取值范围，使 BA 。
5、已知方程 012 mmxx 的两个根为一个三角形两内角的正切值，
试求 m 的取值范围。
考虑端点，验证端点。)2(
0)()()1( nfmf
0)(
0)(
2
0
nf
mf
na
bm
0)()(
0)()(
qfpf
nfmf
直线、平面、简单几何体
一、知识结构
另注：三余弦公式？其中 为线面角， 为斜线与平面内直线所成的角， 为？
二、主要类型及证明方法（主要复习向量法）
1、定性：
（1）直线与平面平行：向量法有几种证法；非向量法有种证法。
（2）直线与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。
（3）平面与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。
2、定量：
（1）点 P 到面的距离 d= |
||
||,cos|
n
nPAnPAPA
（2）异面直线之间的距离：（同上）
（3）异面直线所成的角 ： nPA,coscos
（4）直线与平面所成的角 ： nPA,cossin
（5）锐二面角 ： nm,coscos
三、例题
1. 设集合 A＝{正四面体}，B＝{正多面体}，C＝{简单多面体}，则 A、B、C 之间的关系
为( A )
A.ABC B.ACB C.CBA D.CAB
2. 集合 A＝{正方体}，B＝{长方体}，C＝{正四棱柱}，则 A、B、C 之间的关系为( B )
A.ABC B.ACB C.CAB D.BAC
3. 长方体 ABCD－A'B'C'D'中，E、F、G 分别是 AB、BC、BB'上的点，则△ EFG 的形状是
( C )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
4. 长方体的一条对角线与同一顶点处的三条棱所成角分别为 α、β、γ，则有( A )
A.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 B.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1
C.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2 D.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝3
5. 长方体的一条对角线与同一顶点处的三个面所成角分别为 α、β、γ，则有( B )
A.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 B.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1
C.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝3 D.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2
6. 长方体 ABCD－A'B'C'D'中，∠D'BA＝45º,∠D'BB'＝60º，则∠D'BC＝( C )
A.30º B.45º C.60º D.75º
7. 长方体的全面积为 11，所有棱长之和为 24，则这个长方体的一条体对角线长为( C )
A.2 3 B. 14 C.5 D.6
8. 棱锥的底面积为 S，高位 h，平行于底面的截面面积为 S'，则截面与底面的距离为( )
A.( S－ S')h
S B.( S＋ S')h
S C.(S－S')h
S D.(S＋S')h
S
A
9. 三棱锥 P－ABC 的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
B
10. 三棱锥 P－ABC 的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形
的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
B
11. 三棱锥 P－ABC 的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三
角形的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
A
12. 三棱锥 P－ABC 的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
C
13. 三棱锥 V－ABC 中，VA＝BC,VB＝Ac,VC＝Ab，侧面与底面 ABC 所成的二面角分别为 α、
β、γ(都是锐角)，则 cosα＋cosβ＋cosγ＝( )
A.1 B.2 C.1
2 D.1
3
A
14. 四面体的四个面中，下列说法错误的是( )
A.可以都是直角三角形 B.可以都是等腰三角形
C.不能都是顿角三角形 D.可以都是锐角三角形
C
15. 正 n 棱锥侧棱与底面所成角为 α，侧面与底面所成角为 β，则 tanα∶tanβ＝( )
A.sinπ
n B.cosπ
n C.sin2π
n D.cos2π
n
B
16. 一个简单多面体的各个面都是三角形，且有 6 个顶点，则这个多面体的面数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
C
17. 正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为( )
A.arccos1
3 B.π－arccos1
3 C.π
2－arccos1
3 D.－arccos1
3
B
18. 正方体的全面积为 a2，它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积为( )
A.πa2
3 B.πa2
2 C.2πa2 D.3πa2
B
19. 一个长方体的长、宽、高分别为 3、4、5，且它的顶点都在一个球面上，这个球的表面
积为( )
A.20 2π B.25 2π C.50π D.200π
C
20. 在球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA、PB、PC 两两互相垂直，且 PA＝PB＝PC
＝a，那么这个球面的面积是( )
A.2πa2 B.3πa2 C.4πa2 D.6πa2
B
21. 北纬 30º的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为( )
A.1∶1 B.2∶1 C. 3∶1 D. 2∶1
A
22. 地球半径为 R，在北纬 30º的圆上有两点 A、B，A 点的经度为东经 120º，B 点的经度
为西经 60º，则 A、B 两点的球面距离为( )
A.1
3πR B. 3
2 πR C.1
2πR D.2
3πR
D
23. 球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的1
6，经过这三个点的小
圆周长为 4π，那么这个球的半径为( )
A.4 3 B.2 3 C.2 D. 3
B
24. 球面上有三个点 A、B、C，其中 AB＝18,BC＝24,AC＝30，且球心到平面 ABC 的距离
为球半径的一半，那么这个球的半径为( )
A.10 3 B.10 C.20 D.30
A
25. 在北纬 60º圈上有甲、乙两地，它们在纬度线上的弧长等于π
2R，R 为地球半径，则这两
地的球面距离为( )
A. 2πR B.1
3πR C. 2
2 πR D. 3
2 πR
B
填空题：
设 m、n 是不重合的两条直线， ,, 是不重合的平面，给出下列命题：请判断其是否正
确，如错误，请举出反例。
若 ,//n ，则 n
若 mnnm ,, ，则
若 mn ,, ，则 nm//
若 ,n ，则 nn 或//
若 , ，则 //
若 内有不共线的三点到 的距离相等，则 //
若 //,//,, baba ，则 //
若 a、b 是异面直线， //,//,, baba ，则 //
三、解答题
26. 如图：已知正三棱柱 ABC－A'B'C'的侧棱长为 2，底面边长为 1，M 是 BC 的中点。
(1)求异面直线 AB'与 BC'的夹角；
(2)在直线 CC'上求一点 N，使得 MN⊥AB'。
（3） 若 AB 的中点为 P，BC’的中点 Q，求证：PQ//面 ABC
(1)解法一：因为AB'→ ＝AB→＋BB'→ ，BC'→ ＝BB'→ ＋B'C'→ 又因为 ABC－A'B'C'是正三棱柱，∴
AB→⊥BB'→ ,BB'→ ⊥B'C'→
＝2π
3 由题意，|AB→|＝|B'C'→ |＝1，|BB'→ |＝2 从而得：
AB'→ ·BC'→ ＝(AB→＋BB'→ )(BB'→ ＋B'C'→ )＝AB→·BB'→ ＋(BB'→ )2＋AB'→ ·B'C'→ ＋BB'→ ·B'C'→ ＝|BB'→ |2＋AB→·B'C'→ ＝4
＋ |AB→||B'C'→ |cos ＝ 7
2 ∴ cos< AB'→ ，BC'→ >＝ AB'→ ·BC'→
|AB'→ ||BC'→ |
＝
7
2
5＝ 7
10 ∴
＝arccos 7
10 即异面直线 AB'与 BC'的夹角为 arccos 7
10
解法二：以 A 点为坐标原点，AA'为 z 轴，AC 为 y 轴，建立空间直角坐标系，
由题意：A(0，0，0)，B( 3
2 ，1
2，0)，B'( 3
2 ，1
2，2)，C'(0，1，2)
AB'→ ＝( 3
2 ，1
2，2) BC'→ ＝(0，1，2)－( 3
2 ，1
2，0)＝(－ 3
2 ，1
2，2)
cos＝ AB'→ ·BC'→
|AB'→ ||BC'→ |
＝
( 3
2 ，1
2，2)·(－ 3
2 ，1
2，2)
( 3
2 )2＋(1
2)2＋22· (－ 3
2 )2＋(1
2)2＋22
＝ 7
10
∴ ＝arccos 7
10 即异面直线 AB'与 BC'的夹角为 arccos 7
10
(2)解法一：设CN→ ＝xBB'→ 由题意可得：MC→ ＝1
2BB'→
AB'→ ＝AB→＋BB'→ ，MN→ ＝MC→ ＋CN→ ＝2π
3
∵ AB'→ ⊥MN→ ，∴ AB'→ ·MN→ ＝0 也就是(AB→＋BB'→ )·(MC→ ＋CN→ )＝0
∴ AB→·MC→ ＋BB'→ ·MC→ ＋AB→·CN→ ＋BB'→ ·CN→ ＝0 ∴ |AB→|·|MC→ |cos＋x|BB'→ |2＝0∴ －1
4
＋4x＝0∴ x＝ 1
16 即当|CN→ |＝1
8时，AB'⊥MN.
解法二：同解法一建立空间直角坐标系，
有 A(0，0，0)，B( 3
2 ，1
2，0)，M( 3
4 ，3
4，0)，N(0，1，z)
AB'→ ＝( 3
2 ，1
2，2)，MN→ ＝(－ 3
4 ，1
4，z)∵ AB'→ ⊥MN→ ，∴ AB'→ ·MN→ ＝0
∴ ( 3
2 ，1
2，2)·(－ 3
4 ，1
4，z)＝0 ∴ －3
8＋1
8＋2z＝0
解得 z＝1
8，∴ N＝(0，1，1
8) 即 CN＝1
8时，AB'⊥MN.
（3）非向量法略，另向量法：方法一、基向量（待定系数法） )1,4
1,4
3(P
)1,4
3,4
3(Q ，则 )0,2
1,0(PQ ，又因为 )0,2
1,2
3(AB ， )0,1,0(AC
设 ACyABxPQ 得
yx
yx
yx
000
2
1
2
1
02
30
得 x=0,y=1/2,所以 ABACPQ 02
1 所以
PQ 与面 ABC 共面，又因为 ABCPQ 面 ，所以 PQ//面 ABC
例 2 已知 ).1(1)( xx
xxf （来源课本第二册 P17、EX9；P23、EX4；P31、EX3）
)()1( xf求 的单调区间；(2)求证： ).()()(,0 yfxfyxfyx 有
（3）若 .5
4)()(:,)(
1,0 22 cfafbbacba 求证
讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得
1
11)( xxf ,
.),1()1,()( 上分别单调递增和在区间 xf
（ 2 ） 首 先 证 明 任 意 事实
上, )(1111)()( yxxyfyxxy
yxxy
yxxy
yxxyxy
y
y
x
xyfxf
而 ),()1(, yxfyxxyfyxyxxy 知由
)()()( yxfyfxf ,04
)2(
1
)(
1
2
2
abbabbac
.44
2
22 aaca
5
4)4()()()( 22 fcafcfaf .
函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好
题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意
采用逆向分析法, 给出你的想法!
例 4 对于函数 )(xf ，若存在 000 )(, xxfRx 使 成立，则称 )(0 xfx 为 的不动点。如果函
数 ),()(
2
Ncbcbx
axxf
有且只有两个不动点 0，2，且 ,2
1)2( f
（1）求函数 )(xf 的解析式；
（2）已知各项不为零的数列 1)1(4}{
n
nn afSa 满足 ，求数列通项 na ；
（3）如果数列 }{ na 满足 )(,4 11 nn afaa ，求证：当 2n 时，恒有 3na 成立.
讲解: 依题意有 xcbx
ax
2
,化简为 ,0)1( 2 acxxb 由违达定理, 得
,102
,102
b
a
b
c
解得 ,
21
0
cb
a
代 入 表 达 式
cxc
xxf
)21(
)(
2
，由
,2
1
1
2)2(
cf 得 xxfbcNbNcc )(,1,0,,,3 则若又 不止有两个不
动点， ).1(,)1(2)(,2,2
2
xx
xxfbc 故
（2）由题设得 ,2:1
)11(2
)1(
4 2
2
nnn
n
n
n aaS
a
aS
得 （*）
且 2
1112:1,1 nnnn aaSnna 得代以 （**）
由（*）与（**）两式相减得：
,0)1)((),()(2 11
2
1
2
1 nnnnnnnnn aaaaaaaaa 即
,2:(*)1,1 2
11111 aaanaaaa nnnn 得代入以或
解得 01 a （舍去）或 11 a ，由 ，若 ,121 aaa nn 得 这与 1na 矛盾，
11 nn aa ，即{ }na 是以-1 为首项，-1 为公差的等差数列， nan ；
（3）采用反证法，假设 ),2(3 nan 则由（1）知
22)(
2
1
n
n
nn a
aafa
),2(,14
3)2
11(2
1)1
11(2
1
)1(2 1
1 Nnnaaaa
a
a
a
nn
nn
n
n
n
即 , 有
21 aaa nn ，而当 ,3;33
8
28
16
22,2
1
2
1
2 naa
aan 时 这与假设
矛盾，故假设不成立， 3 na .
关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:
由
2
1
2
1)2
11(21,22)( 2
1
2
11
nnn
n
nnn aaa
aaafa 得 得 1na <0 或 .21 na
,30,0 11 nn aa 则若 结论成立；
若 2 ，此时 ,2n 从而 ,0)1(2
)2(
1
n
nn
nn a
aaaa 即数列{ na }在 2n 时单调
递减，由
3
222 a ，可知 2,33
222 naan 在 上成立.
比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会
反思才能长进.
解析几何中的基本公式
1、 两点间距离：若 )y,x(B),y,x(A 2211 ，则 2
12
2
12 )()( yyxxAB
特别地： x//AB 轴， 则 AB 。
y//AB 轴， 则 AB 。
2、 平行线间距离：若 0CByAx:l,0CByAx:l 2211
则：
22
21
BA
CCd
注意点：x，y 对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离： 0CByAx:l),y,x(P
则 P 到 l 的距离为：
22 BA
CByAxd
4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
0)y,x(F
bkxy
消 y： 02 cbxax ，务必注意 .0
若 l 与曲线交于 A ),(),,( 2211 yxByx
则： 2
12
2 ))(1( xxkAB
5、 若 A ),(),,( 2211 yxByx ，P（x，y）。P 在直线 AB 上，且 P 分有
向线段 AB 所成的比为 ，
则
1
1
21
21
yyy
xxx
，特别地： =1 时，P 为 AB
中点且
2
2
21
21
yyy
xxx
变形后：
yy
yy
xx
xx
2
1
2
1 或
6、 若直线 l1 的斜率为 k1，直线 l2 的斜率为 k2，则 l1 到 l2 的角为 ),0(,
适用范围：k1，k2 都存在且 k1k2 －1 ，
21
12
1tan kk
kk
若 l1 与 l2 的夹角为 ，则 tan
21
21
1 kk
kk
， ]2,0(
注意：（1）l1 到 l2 的角，指从 l1 按逆时针方向旋转到 l2 所成的角，范围 ),0(
l1 到 l2 的夹角：指 l1、l2 相交所成的锐角或直角。
（2）l1 l2 时，夹角、到角=
2
。
（3）当 l1 与 l2 中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
7、 （1）倾斜角 ， ),0( ；
（2） ]0[,
，，夹角ba ；
（3）直线 l 与平面 ]20[ ，，的夹角 ；
（4）l1 与 l2 的夹角为 ， ]20[ ， ，其中 l1//l2 时夹角 =0；
（5）二面角 , ],0( ；
（6）l1 到 l2 的角 )0( ，，
8、 直线的倾斜角 与斜率 k 的关系
a) 每一条直线都有倾斜角 ，但不一定有斜率。
b) 若直线存在斜率 k，而倾斜角为 ，则 k=tan 。
9、 直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直
（1）若 l1，l2 均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2
②l1 l2 k1k2=－1
（2）若 0:,0: 22221111 CyBxAlCyBxAl
若 A1、A2、B1、B2 都不为零
① l1//l2
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ；
② l1 l2 A1A2+B1B2=0；
③ l1 与 l2 相交
2
1
2
1
B
B
A
A
④ l1 与 l2 重合
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ；
注意：若 A2 或 B2 中含有字母，应注意讨论字母=0 与 0 的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式： )( xxkyy （1）斜率不存在： xx
（2）斜率存在时为
两点式：
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
截距式： 1 b
y
a
x 其中 l 交 x 轴于 )0,(a ，交 y 轴于 ),0( b
当直线 l 在坐标轴上，截距相等时应
分：
（1）截距=0 设 y=kx
（2）截距= 0a 设 1 a
y
a
x
即 x+y= a
一般式： 0 CByAx （其中 A、B 不同时为零）
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程 （1）标准方程： 222 )()( rbyax ， 半径圆心， rba ),( 。
（2）一般方程： 022 FEyDxyx ，（ )0422 FED
,)2,2( 圆心 ED
2
422 FEDr
11、直线 与圆 的位置关系有三种
若
22 BA
CBbAad
， 0 相离rd
0 相切rd
0 相交rd
12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， dOO 21
条公切线外离 421 rrd
条公切线外切 321 rrd
条公切线相交 22121 rrdrr
条公切线内切 121 rrd
无公切线内含 210 rrd
外离 外切
相交 内切 内含
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆
定义Ⅰ：若 F1，F2 是两定点，P 为动点，且 2121 2 FFaPFPF （ a 为常数）
则 P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若 F1 为定点，l 为定直线，动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常
数 e（01），则动点 P
的轨迹是双曲线。
（二）图形：
（三）性质
方程： 12
2
2
2
b
y
a
x )0,0( ba 12
2
2
2
b
x
a
y )0,0( ba
定义域： }{ axaxx 或 ； 值域为 R；
实轴长= a2 ，虚轴长=2b
焦距：2c
准线方程： c
ax
2
焦半径： )(
2
1 c
axePF ， )(
2
2 xc
aePF ， aPFPF 221 ；
注意：（1）图中线段的几何特征： 1AF acBF 2 ， 2AF caBF 1
顶点到准线的距离：
c
aac
aa
22
或 ；焦点到准线的距离：
c
acc
ac
22
或
两准线间的距离=
c
a 22
（2）若双曲线方程为 渐近线方程： 02
2
2
2
b
y
a
x xa
by
若渐近线方程为 xa
by 0 b
y
a
x 双曲线可设为 2
2
2
2
b
y
a
x
若双曲线与 有公共渐近线，可设为
（ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上）
（3）特别地当 时ba 离心率 2e 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ，
此时双曲线为等轴双曲线，可设为 22 yx ；
（4）注意 21FPF 中结合定义 aPFPF 221 与余弦定理 21cos PFF ，将有关
线段 1PF 、 2PF 、 21FF 和角结合起来。
（5）完成当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质。
二、抛物线
（一）定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1）。
（二）图形：
（三）性质：方程： 焦参数 pppxy ),0(,22 ；
焦点： )0,2( p ，通径 pAB 2 ；
准线：
2
px ；
焦半径： ,2
pxCF 过焦点弦长 pxxpxpxCD 2121 22
注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=
2
p ；焦点到准线的距离= p ；通径长= p2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（ 2 ） 抛 物 线 pxy 22 上 的 动 点 可 设 为 P ),2(
2
yp
y 或
或)2,2( 2 ptptP P pxyyx 2),( 2 其中
三角函数的概念、性质和图象
复习要求（以下内容摘自《考纲》）
1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算．
2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数
的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求 y
＝Asin(ω x＋)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能
运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式．
3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函
数和函数 y＝Asin(ω x＋)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题．
4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。
5．形如 yxyyxy cossincossin 或 的辅助角的形式，求最大、最
小值的总题。
6．同一问题中出现 yxyxxx cossin,cossin,cossin ，求它们的范围。
如求 yxyxy cossincossin 的值域。
7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。
如已知 求,2tan x 4coscossin2sin 22 yyxx 的值。
8 正弦定理： ）RRC
c
swinB
b
A
a 为三角形外接圆的半径(2sinsin
CBAcba sin:sin:sin::
余弦定理： Aabcba cos2222 ，…
ab
acbA 2cos
222
可归纳为表 9－1.
表 9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例
三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、
三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差 的三角函数，二倍角，
降次公式等。
1. 三角函数的图象与性质和性质
2. 三角函数作为基本初等函数，它必然具备函数的共性；作为个体，它又具有自身的
个性特点．例如周期性、弦函数的有界性，再如三角函数的单调性，具有分段单调的特征．通
过复习对这些特性必须很好掌握，其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题．根
据《考纲》的要求，只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦、余弦、正切、余切函数及
y＝Asin(ω x＋)等形式的三角函数的周期，不必去研究周期函数的和、差、积、商的函数
的周期．
看一看历年来高考中出现的求三角函数周期的考题（例 1），你应该对复习的要求有个
基本的了解．
例１ 求下列三角函数的周期．（根据历年全国高考有关考题(填空、选择题)改编
注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数
f(x)＝c（c 为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．
3. 弦函数的有界性：|sinx|≤1,|cosx|≤1 在解题中有着广泛的应用，忽视这一性质，常会出现
错误。
例 3 求下列函数的值域：
解法 2 令 t＝sinx，则 f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sinx|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关
于 t 的二次函数 f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．
本例题(2)解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的
最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟
通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，
由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
5. “去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角
函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任
意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式
将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.
同角三角函数之间的三种关系：
(1)倒数关系：(2)商数关系： (3)平方关系：
是进行三角式化简的最基本的公式，必须熟练掌握．
其中九组三角诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．．此外在应用时，不．
论． ． 取 什 么 值 ， 我 们 始 终 视． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 为 锐 角 ．． ． ． ． 否 则 ， 将 导 致 错 误 。
6. 三角函数的图象、单位图以及三角函数线，为我们提供了数形结合的解题方法，在
解题中有着广泛的应用，应引起足够的重视．
7. 在函数 y＝Asin(ω x＋)＋k (A＞0, ω ＞0)中，A 和ω 确定函数图象的形状， 和
k 确定图象的位置．
作函数 y＝Asin(ω x＋)＋k 的图象，既可用“五点法”，也可用图象变换的方法．图
象的基本变换有振幅变换、周期变换，以及相位变换（左、右平移）和上下平移，前两种变
换是伸缩变换，后两种变换是平移变换．
对函数 y＝Asin(ω x＋)＋k (A．＞．0, ．．ω ＞．．0, ．．．≠．0,．． k．≠．0)．．,其图象的基本变换有：
(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由 A 的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．
(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω 的变化引起的．ω ＞1，缩短；ω ＜1,伸长．
(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ 的变化引起的．＞0,左移；＜0，右移．
(4)上下平移(纵向平移变换): 是由 k 的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移
于是，本题的答案为②、③．
评析 本例所用的方法带有普遍性，用来解有关函数 y＝Asin（ω x＋）的图象是十分
奏效的。
数列
1.（1）一般形式： naaa ,,, 21
(2)通项公式： )(nfan
(3)前 n 项和： nn aaaS 21定义
2.等差数列
(1)定义： 成等差数列}{)2(1 nnn andaa
(2)通项公式： BAndnaan )1(1
推广： dmnaa mn )(
(3)前 n 项和公式： BnAndnnnanaaS n
n 2
1
1
2
)1(
2
(4)性质
①
2
baAAba 的的等差中项与
② qpnm aaaaqpnm 则若 ,
特别地： pnm aaapnm 2,2 则若
③ 奇数项 daaa 2,,, 531 成等差数列，公差为
偶数项 daaa 2,,, 642 成等差数列，公差为
)1()1(212 1
121
nanaaSn n
n
奇项，则若有奇数项
nanaaS n
n 1
22
2偶
所以有
中偶奇
中偶奇 项数
aaSS
anaSS
n
n
1
1 )12(
n
n annaaSn
22 121
奇项，则若有偶数项
1
22
2 n
n annaaS偶
所以有 ndaaaaaaSS nn 1223412奇偶
④ ,1 naaA 设 nn aaB 21 nn aaC 312
则有 CAB 2
3.等比数列
(1)定义： 成等比数列}{)0,0,2(
1
nn
n
n aqanqa
a
(2)通项公式： 1
1
n
n qaa
(3)前 n 项和
)1(11
)1(
)1(
11
1
qq
qaa
q
qa
qna
S n
n
n
(4)性质：
① abGabGGba 2的等比中项与
② qpnm aaaaqpnm 则若 ,
特别地， 2,2 pnm aaapnm 则若
③ naaaA 21设 ， nn aaB 21 ，
则 CAB 2
4.数列通项
(1)等差，等比数列的通项
(2)
)2(,
)1(,
1
1
nSS
naaS
nn
nn
(3)迭加累加 ，迭乘累乘
)2(),(1 nnfaa nn若 ， )(
1
nga
a
n
n
若
)2(12 faa 则 ， )2(
1
2 ga
a 则
)3(23 faa ， )3(
2
3 ga
a
………， ………，
)(1 nfaa nn ， )(
1
nga
a
n
n
)()3()2(1 nfffaan ， )()2(
1
ngga
an
注： 呢？若 )(),( 1
1 nga
anfaa
n
n
nn
5.数列的求和
(1)等差与等比数列
(2)裂项相消法： )11(1
))((
1
CAnBAnBCCAnBAnan
(3)错位相减法： nnn cba , 成等比数列成等差数列， nn cb
nnnnn cbcbcbcbS 112211
1121 nnnnn cbcbcbqS则
所以有 13211 )()1( nnnn cbdccccbSq
（4）通项分解法： nnn cba
6.(1) 成等比数列成等差数列 na
n ba
BnAnSBAnaa nnn 2成等差数列
(2) 成等比数列成等比数列 k
nn aa
成等差数列成等比数列 nb
a
n aa n
log
0
7.递推数列：
(1)能根据递推公式写出数列的前 n 项
(2)由 nnnn SaaSf ,,0),( 求 解题思路：利用 )2(,1 nSSa nnn
变化（1）已知 0),( 11 nn aSf
(2)已知 0),( 1 nnn SSSf
不等式
1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
0 baba 0 baba 0 baba
2、不等式的性质：
（1） abba abba （反对称性）
（2） cacbba , cacbba , （传递性）
（3） cbcaba ，故 bcacba （移项法则的依据 0
推论： dbcadcba , （同向不等式相加）
（4） bcaccba 0, ， bcaccba 0,
推论 1： bdacdcba 0,0
推论 2： nn baba 0
推论 3： nn baba 0
3、常用的基本不等式和重要的不等式
（1） 0,0, 2 aaRa 当且仅当 ”取“ ,0a
（2） abbaRba 2,, 22 则
（3） Rba, ，则 abba 2
注： 几何平均数算术平均数， abba
2
（4） 2
22
)2(2
baba
4、最值定理
设 xyyxyx 2,0., 由
（1）如积 PyxPxy 2( 有最小值定值），则积
（2）如积 2
2( ）有最大值（定值），则积 SxySyx
即；积定和最小，和定积最大。
注；运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
5、不等式的证明方法
（1）比较法
作商
）定号平方和）（）变形（因式积、商或）作差（步骤（作差 321
（2）综合法——由因导果
（3）分析法——执果索因
一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法
6、解不等式
（1）一元一次不等式 )0( abax
①
a
bxxa ,0 ②
a
bxxa ,0
（2）一元二次不等式 )0(,02 acbxax 第一册 P39
判别式 acb 42 0 0 0
二次函数
cbxaxy 2 的图象
一元二次方程 相异实根 相等实根 没有实根
02 cbxax 的根 21 xx
a
bxx 221
02 cbxax 解集 12 xxxxx 或
a
bxx 2 R
02 cbxax 解集 21 xxxx
注：
)(
02
cbxax 解集为 R，（ 对 Rx 恒成立）
则（Ⅰ）
)0(
0
0a
（Ⅱ）若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证 0a
若 02 cbxax 解集为 R 呢？
如：关于 x 的不等式 04)2(2)2( 2 xaxa 对 恒成立，则 a 的取值范围 。
略解（Ⅰ） 成立时， 042 a
（Ⅱ）
0
02a
又如南通市二模 22 题
（3）绝对值不等式
（一）零点分段讨论
0
0
aa
aaa
（二）公式法： )()()()()()( xgxfxgxfxgxf 或
)()()()()( xgxfxgxgxf
（4）高次不等式——序轴标根法
（5）分式不等式——序轴标根法
步骤：①形式： 分母）移项，通分（不轻易去 0)(
)(
xQ
xP
②首项系数符号>0——标准式
若系数含参数时，须判断或讨论系数
0
0
0
，化负为正
③判断或比较根的大小。
7、（1）
x
pxy
（Ⅰ）基本不等式 px
pxx 20 的
px
pxx 20 的
（Ⅱ） ）上为增函数，），（，时，在区间（ 000p
上减函数，时，在（ )0,[],00 ppp
上增函数，在（ ),[], pp
（2）含绝对值的不等式性质
bababa
统计
1.平均数（又称期望值）
设数据 nxxxx ，,,, 321 ，则
（1） )(1
21 nxxxnx
（2）设 axx 1
'
1 ， axx 2
'
2 ，……… axx nn ' ,则 axx '
（3） nfffxfxfxfnx iii 212211 ],[1
2.方差
衡量数据波动大小
22
1
2 1 xxxxnS n （ xxi 较小）
][1 222
2
2
1 xnxxxn n （数据较小）
])()[(1 2''2''
1 xxxxn n
][1 2'2'2'
2
2'
1 xnxxxn n （数据较大）
2S --------标准差
3.抽样方法
(1)简单随机抽样：概率
N
nP 其中 n 为样本容量， N 为个体总数
(2)分层抽样：
N
n
N
n
1
1 其中 n 为样本容量， N 为个体总数
n1 为分层样本容量， N1 为分层个体总数
排列、组合、二项式定理
一、复习内容
1. 掌握加法原理及乘法原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题． 2.
理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决
一些简单的问题． 3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些
简单问题．
二、主要内容及典型题例
(一) 本来的主要内容结构
(二)加法原理与乘法原理
这是两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式、组合数公式的基础，而且可以直接运
用它们去解决某些问题．两个原理的区别是前者与分类有关，与元素的顺序有关；后者与分
步有关，与元素的顺序无关；．
例１ (1)有红、黄、白色旗子各 n 面（n＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信
号，可以有多少不同的信号？
(2) 有 1 元、5 元、10 元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？
(1) 解 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、
三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有 3 种信号；
②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘
法原理，因同色旗子可重复使用，故共有 3×3 种信号；③升三面旗，有 3×3×3 种信号．所
以共有 39 种信号．
(2) 解法 计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四
张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同币值有 ＝
15(种)
评析 (1) 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理
与乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”——互斥独立事件，后者“联”——相依事件．因
而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．
(2)加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，
运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用
乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．
（三）排列应用题
例２ 4 位学生与 2 位教师并坐合影留念．(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两
端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．各有多少种不同的坐法？（1） 2
2A ；
（2）
4
4A ；（3）144
评析 (1) “在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，
处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分．
(2) 对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解
题的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的．
(3) 关于“元素和问题”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从
元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素（或位置）并不是一成不变的．
例３ 用 0，1，2，3，4，5 六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：(1)首数是
奇数的五位偶数？(2) 五位奇数？(3)五位偶数？
（四）排列、组合的混合问题
排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题.如分配问题.
例 6 六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?
(1) 分为三堆,每堆 2 本；
(2) 分为三堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本；
(3) 分给甲、乙、丙三人，每人 2 本；
(4) 分给甲、乙、丙三人，一人得 1 本，一人拿 2 本，一人得 3 本；
(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少得 1 本.
评析 本例属分配问题，解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同
时注意在分组时，若出现平均分组（即两组元素个数相同）的情况，则要除以组数（即平均
分组的数目）的阶乘．
例６ (1)分别从 4 所学校选拔 6 名报告员，每校至少 1 人，有多少种不同的选法？
(2) 将 6 名报告员分配到 4 所学校去做报告，每校至少 1 人，有多少种不同的分配方法？
评析 两小题看以类似，但第(1)小题的选取元素为学校；第(2)小题的选取元素为报告
员，解题时要注意区分分组时，组合的对象——即元素是什么．
（六）二项式定理
内容：1 nba )( 的展开式、项数、 ba, 的指数。
2 展开式中的通项公式
3 各项系数和的求法及各项二项式系数和的求法。
4 二项式系数最要的项，是第几项？（由 n 的奇偶性讨论）
5 注意展开式的逆用。
6 用二项式定理求近似值；证明整除问题。
例７ 已知 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列．
① 求展开式里所有的 x 的有理项；
② 求展开式中二项式系数最大的项．
评析 (1) 把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键．除通项公式外，
还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质．
(2) 应用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含 x 某次幂的项，常数项，有理
项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得 n 或 r 后，再求所需的
项（要注意 n 和 r 的数值范围及大小关系）．
(3) 注意区分展开式“第 r＋1 项的二项式系数”与“第 r＋1 项的系数”．
例８ (’96 全国)某地现有耕地 1000 公顷．规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，
人均粮食占有量比现在提高 10%，如果人口年增长率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少
多少公顷（精确到 1 公顷）？
解 设耕地平均每年至少只能减少 x 公顷，又设该地区现有人口为 P 人，粮食单产为 M
顷．
答：按规划该地区耕地每年至多只能减少 4 公顷．
评析 二项式定理的应用十分广泛，主要有以下四个方面：求展开式的特定项；近似计算；
证明整除性和不等式；证明组合数等式或求和．本例的最后运用了二项展开式进行近似计算．
数学应用性问题怎么解
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高
考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文
字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,
不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.
例 1 某校有教职员工 150 人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。
据调查统计，每次去健身房的人有 10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有 20%下次去健身
房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？
讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.
设第 n 次去健身房的人数为 an，去娱乐室的人数为 bn，则 150 nn ba .
3010
73010
7)150(10
2
10
9
10
2
10
9
111111 nnnnnnnn aaaaabaa 即 .
)100(10
7100 1 nn aa ，于是 1
1 )10
7)(100(100 n
n aa
即 )100()10
7(100 1
1 aa n
n
.
100lim
nn
a .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100 人左右.
上述解法中提炼的模型 3010
7
1 nn aa , 使我们联想到了课本典型习题（代数下册
P.132 第 34 题）
已知数列 na 的项满足
dcaa
ba
nn 1
1 ,
其中 1,0 cc ，证明这个数列的通项公式是
.1
)( 1
c
dcbdbca
nn
n
有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002 年全国高考解答题中的应用
题(下文例 9)就属此类模型.
例 2 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米/小时（4≤V≤20）从 A 港出发前往 50 千米
处的 B 港，然后乘汽车以匀速 W 千米/小时（30≤W≤100）自 B 港向 300 千米处的 C 市驶
去，在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x 小时、y 小时，
若所需经费 )8(2)5(3100 yxp 元，那么 V、W 分别为多少时，所需经费最少？
并求出这时所花的经费.
讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.
由于 103,5.125.2,100450 xyVVy 同理及 又 149 yx
.23),23(131)8(2)5(3100 yxzyxyxP 令 则 z 最大时 P 最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值 38，
∴P 有最小值 93，这时 V=12.5，W=30.
视 yxz 23 这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.
例 3 某铁路指挥部接到预报，24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一
失，指挥部决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测
算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时。但是，除
了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔 20 分钟有一辆车到
达并投入施工，而指挥部最多可组织 25 辆车。问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明
理由.
讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.
由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为
480
1 ，
设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为 a1，a2，…, a25 小时，依题意它们组成公差
3
1d （小时）的等差数列，且
48025)(2
1,1480480480,24 251
2521
1 aaaaaa 即则有 ，化简可得
5
19282 1 a .
解得 245
123,5
1231 由于a .
可见 a1 的工作时间可以满足要求，即工程可以在 24 小时内完成.
对照此题与 2002 年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是
大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求
你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.
例 4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m2)的宿
舍楼.已知土地的征用费为 2388 元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层
的 2.5 倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为 445 元/m2，以后每增高一
层，其建筑费用就增加 30 元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其
最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?
设楼高为 n 层，总费用为 y 元，则征地面积为 25.2 mn
A ，征地费用为
n
A5970 元，楼层建筑
费用为
[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]· Annn
A )4003015(
元，从而
AAnnAn
AnAn
Ay 1000)400600015(40030155970 （元）
当且仅当
nn 600015 , n=20（层）时，总费用 y 最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时, 最少总费用为 1000A 元.
实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递
归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.
例 5 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小
船被风刮跑，其方向与湖岸成 15°角，速度为 2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始
追赶小船，已知他在岸上跑的速度为 4km/h，在水中游的速度为 2km/h.,问此人能否追上小
船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.
设船速为 v，显然 hkmv /4 时人是不可能追上小船，当 20 v km/h 时，人不必在岸
上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑 42 v 的情况，由
于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的
轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。
设船速为 v，人追上船所用
时间为 t，人在岸上跑的时间为 )10( kkt ，则人在水中游的时间
为 tk)1( ，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
,||,)1(2||,4|| vtOBtkABktOA 由余弦是理得
15cos||||2|||||| 222 OBOAOBOAAB
即
4
264.2)()4()1(4 2222 vtktvtkttk
整理得 04]8)26(2[12 22 vkvk .
要使上式在（0 ， 1 ）范围内有实数解，则有 112
40
2
v 且
0)4(124]8)26(2[ 22 vv
解得 hkmvv /22,222 max 即 .
故当船速在 ]22,2( 内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上
的最大速度为 hkm/22 ，由此可见当船速为 2.5km/h 时, 人可以追上小船.
涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.
例 6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比，与它的厚度
d 的平方成正比，与它的长度 l 的平方成反比.
（1）将此枕木翻转 90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为 R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，
其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
讲解:（1）安全负荷 kl
adky (2
2
1 为正常数） 翻转 2
2
2,90 l
daky 后
O A
B
vt 2(1－k)t
4kt
15°
a
d
l
21
2
1 ,0, yyada
d
y
y 时当 ，安全负荷变大.…4 分当 12,0 yyda 时 ，安全负荷变小.
（2）如图，设截取的宽为 a，高为 d，则 222222 44,)2( RdaRda 即 .
∵枕木长度不变，∴u=ad2 最大时，安全负荷最大.
)(244 22422222 dRddRdadu
3
22
22
22
22
3
)(224)(224
dRdd
dRdd
3
9
34 R ，当且仅当 22
2
2 dRd ，即取 Rd 3
6 ，
取 RdRa 3
322 22 时，u 最大， 即安全负荷最大.
三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方
便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.
例 7 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表，若用
甲、乙、丙三种食物各 x 千克，y 千克，z 千克配成 100 千克混合食物，并使混合食物
内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B.
甲 乙 丙
维生素 A（单位/千克） 600 700 400
维生素 B（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
（1）用 x，y 表示混合食物成本 c 元；
（2）确定 x，y，z 的值，使成本最低.
讲解:（1）依题意得 100,4911 zyxzyxc 又 yxc 57400 .
（2）由 yxzzyx zyx 100,63000500400800 56000400700600 及 , 得
1303 32064 yx yx ，
.45057 yx ,85045040057400 yxc
当且仅当 2050,1303 32064 yxyx yx 即 时等号成立.,
∴当 x=50 千克，y=20 千克，z=30 千克时，混合物成本最低为 850 元.
线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法, 试试看.
例 8 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员 a2 人
（140< <420，且 a 为偶数），每人每年可创利b 万元.据评估，在经营条件不变的前提下，
每裁员．．．1 人，则留岗职员每人每年．．．．多创利 b01.0 万元，但公司需付下岗职员每人每年 b4.0 万
元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的
4
3 ，为获得最大的经济效
益，该公司应裁员多少人？
讲解 设裁员 x 人，可获得的经济效益为 y 万元,则
bxbxbxay 4.0)01.0)(2(
= abxaxb 2])70(2[100
2
依题意 xa 2 ≥ a24
3
∴0< x ≤
2
a .
又 140< a2 <420, 70< a <210.
(1)当 0< 70a ≤
2
a ,即 70< ≤140 时， 70 ax , y 取到最大值;
(2)当 > ,即 140< <210 时，
2
ax , 取到最大值;
综上所述，当 70< ≤140 时，应裁员 人；当 140< <210 时，应裁员 人.
在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？
例 9 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量
的 6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万
辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
讲解 设 2001 年末汽车保有量为 1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为 2b 万辆， 3b 万
辆，……，每年新增汽车 x 万辆，则
301 b ， xbb nn 94.01
所以，当 2n 时， xbb nn 194.0 ，两式相减得： 11 94.0 nnnn bbbb
（1）显然，若 012 bb ，则 011 nnnn bbbb ，即 301 bbn ，
此时 .8.194.03030 x
（2）若 012 bb ，则数列 nn bb 1 为以 8.106.0 112 xbxbb 为首项，以
94.0 为公比的等比数列，所以， 8.194.01 xbb n
nn .
（ i ）若 012 bb ， 则 对 于 任 意 正 整 数 n ， 均 有 01 nn bb ， 所 以 ，
3011 bbb nn ，此时， .8.194.03030 x
（ii）当 万8.1x 时， 012 bb ，则对于任意正整数 ，均有 01 nn bb ，所以，
3011 bbb nn ，
由 8.194.01 xbb n
nn ，得
3094.01
94.01 1
12
112211
n
nnnnn
bbbbbbbbbb
3006.0
94.018.1 1
nx ，
要使对于任意正整数 n ，均有 60nb 恒成立，
即 603006.0
94.018.1 1
nx
对于任意正整数 恒成立，解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得
8.1
94.01
8.1
nx ,
上式恒成立的条件为：
上的最小值在 Nn
nx
8.194.01
8.1 ，由于关于 的函数
8.1
94.01
8.1
nnf 单调递减，所以， 6.3x .
本题是 2002 年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不
等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
例 10 为促进个人住房商品化的进程，我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利
率和商业性贷款利率如下：
贷款期(年数) 公积金贷款月利率(‰) 商业性贷款月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款 25 万元，其中公积金贷款 10 万元，分十二年还
清；商业贷款 15 万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：
(1)汪先生家每月应还款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还
清；那么他家在这个月的还款总数是多少?
(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
讲解 设月利率为 r，每月还款数为 a 元，总贷款数为 A 元，还款期限为 n 月
第 1 月末欠款数 A(1＋r)－a
第 2 月末欠款数 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
第 3 月末欠款数 [A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
……
第 n 月末欠款数 0)1()1()1()1( 21 ararararA nnn
得：
1)1()1( n
n
r
rrAa
对于 12 年期的 10 万元贷款，n＝144，r＝4.455‰
∴ 37.9421004455.1
004455.0004455.1100000 144
144 a
对于 15 年期的 15 万元贷款，n＝180，r＝5.025‰
∴ 22.12681005025.1
005025.0005025.1150000 180
180 a
由此可知，汪先生家前 12 年每月还款 942.37＋1268.22＝2210.59 元，后 3 年每月还款
1268.22 元．
(2)至 12 年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
ararararAX )1()1()1()1( 142143144
其中 A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上当月的计划还款数 2210.59 元，当月共还款 43880.12 元．
需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在
2002 年全国高考第（12）题中得到考查.
例 11 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一
只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病
毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体
内该病毒细胞的 98%．
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确
到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
已知：lg2=0.3010．
讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间 n 的函数为 12 ny , 则由 ,102 81 n
两边取对数得 ,82lg)1( n n 27.5,
即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物.
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为 %2226 ,
再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为 x2%2226 ,
天数 t 病毒细胞总数 N
1
2
3
4
5
6
7
…
1
2
4
8
16
32
64
…
由题意 x2%2226 ≤108，两边取对数得
2.6,82lg22lg2lg26 xx 得 ，
故再经过 6 天必须注射药物，即第二次应在第 33 天注射药物．
本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.
例 12 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为 V 立方米，每天流出湖泊的水量都是 r
立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用 g(t)表示某一
时刻 t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻 t 时的湖水污染质量分数，已知
目前污染源以每天 p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式 g(t)=
r
p +
［g(0)- ］· e
tv
r
(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当 g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使
湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 5%？
讲解（1）∵g(t)为常数, 有 g(0)-
r
p =0, ∴g(0)= .
(2) 我们易证得 0e 1tv
r
,
∴g(t1)
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