2017高考一轮复习

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第一章 集合与常用逻辑用语 ‎1.1集合及其运算 ‎1．集合与元素 ‎(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)‎ A⊆B(或B⊇A)‎ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)‎ 集合相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 A＝B ‎3.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}‎ A∩B＝{x|x∈A且x∈B}‎ ‎∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合关系与运算的常用结论 ‎(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．‎ ‎(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.‎ ‎1．(教材改编)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B等于(　　)‎ A．{－1,1,5} B．{－1,5} C．{1,5} D．{－1}‎ ‎2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于(　　)‎ A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0}‎ ‎3．(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q ＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q等于(　　)‎ A．[0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．[1,2]‎ 4． ‎(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2y2，则x>y”的逆否命题是(　　)‎ A．“若xy，则x2>y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”‎ ‎2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．(2015·重庆)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 ‎5．(教材改编)下列命题：‎ ‎①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；‎ ‎②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；‎ ‎③sin α＝sin β是α＝β的充要条件； ④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．‎ 其中为真命题的是________(填序号)．‎ 题型一　命题及其关系 例1　(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是(　　)‎ A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 ‎(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎　(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是(　　)‎ A．若α＝，则cos α≠ B．若α≠，则cos α≠ C．若cos α＝，则α＝ D．若cos α≠，则α≠ ‎(2)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)‎ ‎①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；‎ ‎②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；‎ ‎③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．‎ A．①③ B．② C．②③ D．①②③‎ 题型二　充分必要条件的判定 例2　(1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[方法与技巧]‎ ‎1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．‎ ‎2．充要条件的几种判断方法 ‎(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．‎ ‎(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．‎ ‎(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．‎ ‎2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．‎ ‎3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．‎ ‎1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎1．命题p∧q，p∨q，非p的真假判断 p q p∧q p∨q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ‎∀‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ‎∃‎ ‎3.全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ‎∀x∈M，p(x)‎ 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，綈p(x0)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ ‎1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)‎ ‎2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q ‎3．(2015·浙江)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0 D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0‎ ‎4．(2015·山东)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ ‎5．(教材改编)给出下列命题：‎ ‎①∀x∈N，x3>x2； ②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；‎ ‎③∃x0∈R，x－x0＋1≤0； ④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．‎ 则以上命题的否定中，真命题的序号为________．‎ 题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1　(1)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∨q B．綈p∨q C．綈p∧q D．p∧q ‎(2)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎　(1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧(綈q) C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)‎ ‎(2)若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a0 B．∀x∈R，－1logx0；‎ p3：∀x∈(0，＋∞)，x>logx； p4：∀x∈，x1”的否定是(　　)‎ A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1‎ C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1‎ ‎(2)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则綈p为：______________.‎ ‎　(1)下列命题中的真命题是(　　)‎ A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝ B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1‎ C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x ‎(2)(2015·课标全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)‎ A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n ‎1．常用逻辑用语及其应用 一、命题的真假判断 典例1　已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－40，a≠1)‎ f(x)>0‎ logf(x)g(x)‎ f(x)>0，且f(x)≠1，‎ g(x)>0‎ tan f(x)‎ f(x)≠kπ＋，k∈Z ‎1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)‎ A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x ‎2．函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A. B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)‎ ‎3．(2015·陕西)设f(x)＝则f(f(－2))等于(　　)‎ A．－1 B. C. D. ‎4．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ ‎5．给出下列四个命题：‎ ‎①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合．‎ 其中真命题的序号有________．‎ 题型一　函数的概念 例1　有以下判断：‎ ‎①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数； ②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；‎ ‎③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.‎ 其中正确判断的序号是________．‎ ‎　(1)下列四组函数中，表示同一函数的是(　　)‎ A． y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝ ‎ C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝lg x－2与y＝lg ‎(2)下列所给图象是函数图象的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 题型二　函数的定义域 命题点1　求给定函数解析式的定义域 例2　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]‎ ‎(2)函数f(x)＝的定义域是(　　)‎ A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)‎ 命题点2　求抽象函数的定义域 例3　(1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)‎ A．[0,2 015] B．[0,1)∪(1,2 015] C．(1,2 016] D．[－1,1)∪(1,2 015]‎ ‎(2)若函数f(x)的定义域为(0,1]，则函数f的定义域为(　　)‎ A．[－5,4] B．[－5，－2) C．[－5，－2]∪[1,4] D．[－5，－2)或(1,4]‎ 命题点3　已知定义域求参数范围 例4　若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．‎ ‎　(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是________．‎ ‎(2)函数y＝的定义域_____________________________．‎ 题型三　求函数解析式 例5　(1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________.‎ ‎(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.‎ ‎(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.‎ ‎　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.‎ ‎(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.‎ ‎(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________________.‎ ‎2．分类讨论思想在函数中的应用 典例　(1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝ 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．‎ ‎(2)(2015·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)‎ A. B．[0,1] C. D．[1, ＋∞)‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．‎ ‎2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．‎ ‎3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．‎ ‎4．分段函数问题要分段求解．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混．‎ ‎2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．‎ ‎2.2函数的单调性与最值 ‎1．函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2‎ 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 ‎(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．‎ ‎2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.‎ ‎(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.‎ 结论 M为最大值 M为最小值 ‎1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)‎ A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x ‎2．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　)‎ A．－2 B．2 C．－6 D．6‎ ‎3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 ‎4．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．‎ ‎5．(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围___________________________________．‎ 题型一　确定函数的单调性(区间)‎ 命题点1　给出具体解析式的函数的单调性 例1　(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝()x D．y＝x＋ ‎(2)函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)‎ ‎(3)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________．‎ 命题点2　解析式含参函数的单调性 例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．‎ 引申探究 若本题中的函数变为f(x)＝ (a>0)，则f(x)在(－1,1)上的单调性如何？‎ 题型二　函数的最值 例3　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)，a∈(－∞，1]．‎ ‎(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎　(1)函数f(x)＝的最大值为________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为[，2]，则a＝________.‎ 题型三　函数单调性的应用 命题点1　比较大小 例4　已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)‎ A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0‎ 命题点2　解不等式 例5　已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　)‎ A．－2 B．0 C．1 D．2‎ ‎3．(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎4．(2014·天津)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f()＝________.‎ ‎5．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.‎ 题型一　判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝x3－x；‎ ‎(2)f(x)＝(x＋1) ；‎ ‎(3)f(x)＝ ‎　(1)同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是(　　)‎ A．f(x)＝－x|x| B．f(x)＝x3 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ ‎(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是(　　)‎ A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数 B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数 C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数 D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数 题型二　函数的周期性 例2　(1)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝则f等于(　　)‎ A．0 B．1 C. D．－1‎ ‎(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.‎ ‎　设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝__________________________.‎ 题型三　函数性质的综合应用 命题点1　函数奇偶性的应用 例3　(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(　　) ‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.‎ 命题点2　单调性与奇偶性、周期性结合 例4　(1)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　) ‎ A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)‎ ‎(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)‎ A．f(－25)0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为_______.‎ 2． 忽视定义域致误 典例　(1)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．‎ ‎2．利用函数奇偶性可以解决以下问题 ‎①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性．‎ ‎3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．‎ ‎2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．‎ ‎2.4二次函数与幂函数　　　　　　　‎ ‎1．二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；‎ 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；‎ 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 ‎2.幂函数 ‎(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)幂函数的图象比较 ‎(3)幂函数的性质 ‎①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；‎ ‎②幂函数的图象过定点(1,1)；‎ ‎③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎1．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)‎ A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0‎ C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0‎ ‎2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．函数y＝x的图象是(　　)‎ ‎4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．‎ ‎5．(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减.　　　　　　　　　　　　　　　‎ 题型一　求二次函数的解析式 例1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．‎ ‎　(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________________．‎ ‎(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.‎ 题型二　二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的单调性 例2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]，‎ ‎(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；‎ ‎(2)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．‎ 命题点2　二次函数的最值 例3　已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2,3]，则函数f(x)的最大值为________. ‎ 命题点3　二次函数中的恒成立问题 例4　(1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．‎ ‎(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．‎ ‎　若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．‎ 题型三　幂函数的图象和性质 例5　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(－1,2) D. ‎　(1)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)等于(　　)‎ A．3 B．1－ C.－1 D．1‎ ‎(2)若(a＋1)<(3－2a) ，则实数a的取值范围是________．‎ ‎3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例　(12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．二次函数的三种形式 ‎(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．‎ ‎(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．‎ ‎(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．‎ ‎2．研究二次函数的性质要注意：‎ ‎(1)结合图象分析；‎ ‎(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．‎ ‎3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．‎ ‎2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎ ‎2.5指数与指数函数 ‎1．分数指数幂 ‎(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.‎ ‎2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1‎ ‎00时，y>1；‎ 当x<0时，00时，01‎ ‎(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 ‎(7)在(－∞，＋∞)上是减函数 ‎1．函数f(x)＝ax－1 (a>0，且a≠1)的图象一定过定点(　　)‎ A．(0,1) B．(1,1) C．(1,0) D．(0,0)‎ ‎2．函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)‎ ‎3．计算：××＋lg －lg 25＝________.‎ ‎4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．‎ ‎5．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是____________．‎ 题型一　指数幂的运算 例1　化简：(1) (a>0，b>0)；‎ ‎(2) .‎ ‎　(1)[(0.064)－2.5]－ －π0＝_____________________.‎ ‎(2)()·＝________.‎ 题型二　指数函数的图象及应用 例2　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如 图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)‎ A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)‎ A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2‎ 题型三　指数函数的图象和性质 命题点1　比较指数式的大小 例3　(1)下列各式比较大小正确的是(　　)‎ A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1‎ ‎(2)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．‎ 例4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用 典例　(1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．‎ ‎(2)函数f(x)＝的单调减区间为_______________．‎ 思维点拨　(1)求函数值域，可利用换元法，设t＝x，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域．‎ ‎(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．‎ 温馨提醒　(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．‎ ‎2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与00且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．‎ ‎2．对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)．‎ ‎(2)对数的性质 ‎①a＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．‎ ‎(3)对数的重要公式 ‎①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；‎ ‎②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.‎ 2． 对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时，y>0‎ 当01时，y<0‎ 当00‎ ‎(6)在(0，＋∞)上是增函数 ‎(7)在(0，＋∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．‎ ‎1．(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)‎ A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数 ‎2．设a＝log，b＝log，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B．(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. ‎5．(2015·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.　　　　　　　　　　　　　‎ 题型一　对数式的运算 例1　(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ A. B．10 C．20 D．100‎ ‎(2)lg＋lg的值是________．‎ ‎　(1)计算：＝________.‎ ‎(2)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.‎ 题型二　对数函数的图象及应用 例2　(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ ‎(2)当0b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 命题点2　解对数不等式 例4　若loga(a2＋1)c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b ‎(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)‎ A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)‎ ‎(3)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)‎ ‎2．比较指数式、对数式的大小 典例　(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．cb>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a ‎(3)已知a＝5，b＝5，c＝()，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b ‎[方法与技巧]‎ ‎1．对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或00；‎ 当a>1且01时，logab<0.‎ ‎2．对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．‎ ‎3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．‎ ‎4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．‎ ‎2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．‎ ‎2.7函数图象 ‎1．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．‎ ‎2．图象变换 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)；‎ ‎③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．‎ ‎⑤y＝f(x)y＝|f(x)|.‎ ‎⑥y＝f(x)y＝f(|x|)．‎ ‎(3)伸缩变换 y＝f(x)y＝af(x)．‎ ‎1．函数f(x)＝2x－4sin x，x∈的图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ ‎2．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1 C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1‎ ‎3．为了得到函数y＝4×()x的图象，可以把函数y＝()x的图象向________平移________个单位长度．‎ ‎4．(教材改编)点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　　)‎ ‎ ‎ ‎5．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的范围是________.　　　　　　　　‎ 题型一　作函数的图象 例1　作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|lg x|；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝x2－2|x|－1.‎ 引申探究 作函数y＝|x2－2x－1|的图象．‎ ‎　作出下列函数的图象．‎ ‎(1)y＝|x－2|·(x＋1)；‎ ‎(2)y＝.‎ 题型二　识图与辨图 例2　(1)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ ‎(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)‎ ‎　(1)(2015·浙江)函数f(x)＝cos x (－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)‎ ‎ ‎ ‎(2)现有四个函数：①y＝xsin x；②y＝xcos x；③y＝x|cos x|；④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是(　　)‎ A．④①②③ B．①④③② C．③④②① D．①④②③‎ ‎3．高考中的函数图象及应用问题 一、已知函数解析式确定函数图象 典例　(2015·北京海淀区期中测试)函数f(x)＝2x＋sin x的部分图象可能是(　　)‎ 二、函数图象的变换问题 典例：若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)‎ ‎ ‎ 三、函数图象的应用 典例：(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等．‎ ‎2．合理处理识图题与用图题 ‎(1)识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．‎ ‎(2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．函数图象平移的方向和大小：‎ 函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位．‎ ‎2．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．‎ ‎2.8函数与方程 ‎1．函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．‎ ‎(2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．‎ ‎2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ ‎3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1‎ ‎3．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎4．(2015·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ 题型一　函数零点的确定 命题点1　函数零点所在的区间 例1　已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A． ‎(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ 第三章 导数 ‎3.1导数的概念及运算 ‎1．导数与导函数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .‎ ‎(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.‎ ‎2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．‎ ‎3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α∈Q*)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1)‎ f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1)‎ f′(x)＝ ‎4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)[]′＝(g(x)≠0)．‎ ‎1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为(　　)‎ A．0 B．3 C．4 D．－ ‎2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)‎ ‎ ‎ ‎3．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f′()＝________.‎ ‎4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．‎ ‎5．(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．‎ 题型一　导数的运算 例1　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；‎ ‎(2)y＝x2sin x；‎ ‎(3)y＝3xex－2x＋e；‎ ‎(4)y＝.‎ ‎　(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于(　　)‎ A．e2 B．1 C．ln 2 D．e ‎(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)‎ A．－1 B．－2 C．2 D．0‎ 题型二　导数的几何意义 命题点1　已知切点的切线方程问题 例2　(1)函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为(　　)‎ A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0‎ ‎(2)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是__________．‎ 命题点2　未知切点的切线方程问题 例3　(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)‎ A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0‎ ‎(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)‎ A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0‎ 命题点3　和切线有关的参数问题 例4　已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于(　　)‎ A．－1 B．－3 C．－4 D．－2‎ ‎4．求曲线的切线方程条件审视不准致误 典例　(12分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．‎ 规范解答 ‎[方法与技巧]‎ ‎1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.‎ ‎2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．‎ ‎3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ ‎2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．‎ ‎3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．‎ ‎3.2导数的应用 ‎1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．‎ ‎2．函数的极值 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，‎ ‎(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；‎ ‎(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．‎ ‎3．函数的最值 ‎(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎1．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)‎ A．(0，＋∞) B. C．(－∞，－1) D. ‎2．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)‎ A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 ‎4．(教材改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为________．‎ 5． 设10)的最小正周期为π，则f等于____________‎ ‎2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω等于(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎4．(2015·安徽)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(2)0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)‎ A．关于直线x＝对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于点对称 ‎(2)已知函数y＝2sin的图象关于点P(x0,0)对称，若x0∈，则x0＝________.‎ 命题点3　由对称性求参数 例5　(2015·西安八校联考)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎　(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎4．三角函数的对称性、周期性、单调性 典例　(1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)‎ A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x ‎(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z ‎(3)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f(x＋)＝f(－x)成立，且 f()＝1，则实数b的值为(　　)‎ A．－1 B．3 C．－1或3 D．－3‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．‎ ‎4．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．‎ ‎2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．‎ ‎3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．‎ ‎4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 ‎1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：‎ x ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝‎ Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：‎ ‎1．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)‎ A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ ‎2．(2015·山东)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎ ‎3．(2015·湖南)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为__________________．‎ ‎5．(2014·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．‎ 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1　已知函数y＝2sin.‎ ‎(1)求它的振幅、周期、初相；‎ ‎(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；‎ ‎(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．‎ ‎　(1)把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)‎ A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ ‎(2)设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)‎ A. B．3 C．6 D．9‎ 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为__________．‎ ‎　函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜) 的部分图象如图所示，则φ＝________.‎ 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：‎ 第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；‎ 第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝·‎ ‎ (sin x·＋cos x·)；‎ 第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研 ‎ 究三角函数的性质；‎ 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题 ‎ 规范．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．五点法作图及图象变换问题 ‎(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；‎ ‎(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．‎ ‎2．由图象确定函数解析式 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．‎ ‎3．对称问题 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．‎ ‎2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin ‎ ‎4.5简单的三角恒等变换 ‎1．公式的常见变形 ‎(1)1＋cos α＝2cos2； 1－cos α＝2sin2；‎ ‎(2)1＋sin α＝(sin＋cos)2； 1－sin α＝(sin－cos)2.‎ ‎(3)tan ＝＝.‎ ‎2．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝.‎ ‎1．已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎2.的值为(　　)‎ A．1 B．－1 C. D．－ ‎3．(教材改编)sin 15°－cos 15°＝________.‎ ‎4．若f(x)＝2tan x－，则f的值为______．‎ ‎5．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.‎ 题型一　三角函数式的化简与求值 例1　(1)化简：＝________.‎ ‎(2)计算：＝________.‎ ‎　(1)cos ·cos ·cos等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.‎ 题型二　三角函数的求角问题 例2　(1)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)‎ A. B.或 C. D．2kπ＋(k∈Z)‎ ‎(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈，则α＋β等于(　　)‎ A. B．－ C.或－ D.或－ ‎　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则C等于(　　)‎ A. B. C. D. 题型三　三角恒等变换的应用 例3　已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.‎ ‎(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；‎ ‎(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．‎ ‎　(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．‎ ‎(2)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________．‎ 8． 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例　(12分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．‎ ‎2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．‎ ‎3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．利用辅助角公式，asin x＋bcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．‎ ‎2．计算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆t的值域．‎ ‎4.6两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(C(α＋β))‎ sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(S(α＋β))‎ tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan(α＋β)＝　(T(α＋β))‎ ‎2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎3．公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos2α＝，sin2α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.‎ ‎1．化简等于(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎2．若＝，则tan 2α等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎3．(2015·重庆)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________.‎ ‎5．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．‎ 题型一　三角函数公式的基本应用 例1　(1)已知sin α＝，α∈(，π)，则＝________.‎ ‎(2)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎　(1)若α∈(，π)，tan(α＋)＝，则sin α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎(2)已知cos(x－)＝－，则cos x＋cos(x－)的值是(　　)‎ A．－ B．± C．－1 D．±1‎ 题型二　三角函数公式的灵活应用 例2　(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)求值：＝________.‎ ‎　(1)在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos 2x的最大值为(　　)‎ A．2 B．3 C．2＋ D．2－ 题型三　角的变换问题 例3　(1)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)‎ A. B. C.或 D.或 ‎(2)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是________．‎ ‎　若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 5． 三角函数求值忽视角的范围致误 典例　(1)已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，则cos(α＋β)的值为________．‎ ‎(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则cos A＝________.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．巧用公式变形：‎ 和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，‎ 配方变形：1±sin α＝2，‎ ‎1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.‎ ‎2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．‎ ‎2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．‎ ‎4.7正弦定理、余弦定理 ‎1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos_B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，‎ b＝2Rsin_B，‎ c＝2Rsin_C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，‎ bsin C＝csin B，‎ asin C＝csin A cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.‎ ‎3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的 个数 一解 两解 一解 一解 ‎1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝，则B等于(　　)‎ A. B. C.或 D. ‎2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)‎ A. B. C．2 D．2‎ ‎3．(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.‎ ‎4．(教材改编)△ABC中，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________三角形．‎ ‎5．(2015·杭州二中高中第二次月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a－c＝0，则角B＝________.‎ 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 ‎(2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．‎ ‎(3)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.‎ ‎　(1)(2015·三门峡模拟)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)‎ A．x＞2 B．x＜2 C．2＜x＜2 D．2＜x＜2 ‎(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．‎ 题型二　和三角形面积有关的问题 例2　(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.‎ ‎(1)求tan C的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为3，求b的值．‎ ‎　(2015·天津七校4月联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝bsin A－acos B.‎ ‎(1)求角B；‎ ‎(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.‎ 题型三　正弦、余弦定理的简单应用 命题点1　判断三角形的形状 例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ ‎(1)λ(μa)＝(λμ)a；‎ ‎(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ ‎(3)λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)‎ A．① B．③ C．①③ D．①②‎ ‎2．如图所示，向量a－b等于(　　)‎ A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2‎ ‎3．(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ ‎4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．‎ ‎5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.‎ 题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量的线性运算 例2　(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)‎ A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 命题点2　根据向量线性运算求参数 例3　(1)在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎　如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)‎ A. B. C. D. 题型三　共线定理的应用 例4　设两个非零向量a与b不共线，‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)‎ A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 ‎(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎10．方程思想在平面向量线性运算中的应用 典例　(12分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．‎ ‎2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．‎ ‎2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．‎ ‎5.2平面向量基本定理及坐标表示 ‎1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎1．设e1，e2是平面内一组基底，那么(　　)‎ A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0‎ B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)‎ C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内 D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 ‎2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.‎ ‎3．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于(　　)‎ A. B. C．－3 D．0‎ ‎4．设0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.‎ ‎5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．‎ 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．‎ ‎　(1)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)‎ ‎(2)如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝____________________.‎ 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A同方向的单位向量坐标为______________．‎ ‎　(1)已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)‎ A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14)‎ ‎(2)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)‎ A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21)‎ 题型三　向量共线的坐标表示 命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标 例3　(1)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.‎ ‎(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ 命题点2　利用向量共线求参数 例4　若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．‎ 命题点3　求交点坐标 例5　已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．‎ ‎　设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．‎ 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．‎ ‎2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．‎ ‎2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎5.3平面向量的数量积 ‎1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．‎ ‎2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，‎ ‎|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 ‎(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.‎ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎4．平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.‎ ‎(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎1．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　)‎ A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 ‎ ‎3．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.‎ ‎4．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ ‎5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．‎ 题型一　平面向量数量积的运算 例1　(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)‎ A．20 B. 15 C．9 D．6‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ ‎　(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3‎ ，·＝2，则·＝________.‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ 题型二　用数量积求向量的模、夹角 命题点1　求向量的模 例2　(1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|等于(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．‎ 命题点2　求向量的夹角 例3　(1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π ‎(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．‎ ‎　(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)‎ A. B．2 C. D．6‎ 题型三　平面向量与三角函数 例4　(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ ‎　已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎6．向量夹角范围不清致误 典例　(12分)若两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2所成的角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2所成的角为钝角，求实数t的取值范围．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．‎ ‎2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．‎ ‎3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．‎ ‎2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．‎ ‎5.4平面向量应用举例 ‎1．向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝＝，‎ 其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：‎ 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．‎ ‎2．平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．‎ 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．‎ ‎1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎2．已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎3．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．‎ ‎4．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．‎ ‎5．已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(＋)·(－)＝________.‎ 题型一　向量在平面几何中的应用 例1　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 引申探究 在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的_____________．‎ ‎　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.‎ ‎(2)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)‎ A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．菱形 题型二　向量在解析几何中的应用 例2　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．‎ ‎(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝___________________.‎ ‎　已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆M 上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是(　　)‎ A．5 B．6 C．10 D．12‎ 题型三　向量的综合应用 例3　(1)已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎(2)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．‎ ‎　已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．‎ 第六章 数列 ‎6.1数列的概念与简单表示法 ‎1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1__>__an 其中n∈N*‎ 递减数列 an＋1__<__an 常数列 an＋1＝an 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．‎ ‎4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ ‎1．已知数列，，，…，，…，下面各数中是此数列中的项的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是(　　)‎ A．an＝4n－7 B．an＝(－1)n(4n＋1)‎ C．an＝(－1)n(4n－1) D．an＝(－1)n＋1(4n－1)‎ ‎3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)‎ A．15 B．16 C．49 D．64‎ ‎4．(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.‎ 题型一　由数列的前几项求数列的通项公式 例1　(1)数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)‎ A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)‎ C．an＝(n∈N*) D．an＝(n∈N*)‎ ‎(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.‎ ‎　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(2)0.8,0.88,0.888，…；‎ ‎(3)，，－，，－，，….‎ 题型二　由数列的前n项和求数列的通项公式 例2　设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a4等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．‎ 题型三　由数列的递推关系求通项公式 例3　(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.‎ ‎(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为an＝________.‎ ‎　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，则an＝________.‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于(　　)‎ A．－16 B．16 C．31 D．32‎ 题型四　数列的性质 命题点1　数列的单调性 例4　已知an＝，那么数列{an}是(　　)‎ A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 命题点2　数列的周期性 例5　数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝_____________________.‎ 命题点3　数列的最值 例6　数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)‎ A．3 B．19 C. D. ‎　(1)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为________．‎ ‎(2)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)‎ A. B. C．4 D．0‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．‎ ‎2．强调an与Sn的关系：an＝ ‎3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：‎ ‎(1)算出前几项，再归纳、猜想；‎ ‎(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．‎ ‎4．数列的性质可利用函数思想进行研究．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．数列an＝f(n)和函数y＝f(x)定义域不同，其单调性也有区别：y＝f(x)是增函数是an＝f(n)是递增数列的充分不必要条件．‎ ‎2．数列的通项公式可能不存在，也可能有多个．‎ ‎3．由an＝Sn－Sn－1求得的an是从n＝2开始的，要对n＝1时的情况进行验证．‎ ‎6.2等差数列及前n项和 ‎1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．‎ ‎2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎3．等差中项 如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．‎ ‎4．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.‎ ‎6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．‎ ‎7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．‎ ‎1．(2015·重庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．6‎ ‎2．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则它的公差为(　　)‎ A．－2 B．－3 C．－4 D．－6‎ ‎3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(　　)‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎4．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于(　　)‎ A．14 B．21 C．28 D．35‎ ‎5．(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ 题型一　等差数列基本量的运算 例1　(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(　　)‎ A．2 B．10 C. D. ‎(2)已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于(　　)‎ A．100 B．210 C．380 D．400‎ ‎　(1)(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于(　　)‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)‎ A. B．1 C．2 D．3‎ 题型二　等差数列的判定与证明 例2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．‎ 引申探究 例2中，若条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，探求数列{an}的通项公式．‎ ‎　(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)‎ A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列 C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列 ‎(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，则该数列的通项为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 题型三　等差数列的性质及应用 命题点1　等差数列的性质 例3　(1)(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.‎ ‎(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.‎ 命题点2　等差数列前n项和的最值 例4　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．‎ 引申探究 例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值．‎ ‎　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎(2)设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为(　　)‎ A．5 B．6 C．5或6 D．11‎ ‎(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．‎ ‎6．等差数列的前n项和及其最值 典例　(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于(　　)‎ A．45 B．60 C．75 D．90‎ ‎(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.‎ ‎(3)等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S4 B．S5 C．S6 D．S7‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解．‎ ‎2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列．‎ ‎3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．‎ ‎4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．‎ ‎2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．‎ ‎6.3等比数列及前n项和 ‎1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．‎ ‎2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.‎ ‎3．等比中项 若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．‎ ‎4．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎ ‎5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.‎ ‎1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于(　　)‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　)‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎4．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．‎ ‎5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．‎ 题型一　等比数列基本量的运算 例1　(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.‎ ‎　(1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　)‎ A. B. C . D. ‎(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.‎ 题型二　等比数列的判定与证明 例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 引申探究 例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变探求数列{an}的通项公式．‎ ‎　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3的值；‎ ‎(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．‎ 题型三　等比数列的性质及应用 例3　(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.‎ (2) 等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.‎ ‎　(1)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a，a2＝2，则a1等于(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎(2)等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．分类讨论思想在等比数列中的应用 典例　(12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．已知等比数列{an}‎ ‎(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，{}也是等比数列．‎ ‎(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.‎ ‎2．判断数列为等比数列的方法 ‎[失误与防范]‎ ‎1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．‎ ‎2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎4．等比数列性质中：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，不能忽略条件q≠－1.‎ ‎6.4数列求和 求数列的前n项和的方法 ‎(1)公式法 ‎①等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d.‎ ‎②等比数列的前n项和公式 ‎(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1； (ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．‎ ‎(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．‎ 常见的裂项公式 ‎①＝－； ②＝； ③＝－.‎ ‎(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．‎ ‎(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．‎ ‎(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.‎ ‎1．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎2．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)‎ A．200 B．－200 C．400 D．－400‎ ‎3．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为(　　)‎ A．120 B．70 C．75 D．100‎ ‎4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________.‎ ‎5．数列{an}的通项公式为an＝ncos ，其前n项和为Sn，则S2 017＝________.‎ 题型一　分组转化法求和 例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．‎ 引申探究 例1(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎　已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn.‎ 题型二　错位相减法求和 例2　(2015·湖北)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.‎ ‎(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2) 当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎　已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn＝a＋2an－3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)已知bn＝2n，求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的值．‎ 题型三　裂项相消法求和 命题点1　形如an＝型 例3　设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.‎ 命题点2　形如an＝型 例4　已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝________.‎ ‎　在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.‎ ‎(1)求Sn的表达式；‎ ‎(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[方法与技巧]‎ 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：‎ ‎(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；‎ ‎(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．‎ ‎2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．‎ ‎3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．‎ 第七章不等式 ‎7.1不等关系与不等式 ‎1．两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 (a，b∈R)；‎ ‎(2)作商法 (a∈R，b>0)．‎ ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>b c 注意c的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)‎ 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)‎ a，b同为正数 ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b，ab>0⇒<. ②a<0b>0,0. ‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0)． ②>；<(b－m>0)．‎ ‎1．设a B.> C．|a|>－b D.> ‎2．设00 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0‎ ‎4．已知0N B．Ma B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b ‎(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A．aac B．c(b－a)<0 C．cb20‎ ‎　若a>0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 题型三　不等式性质的应用 例3　已知a>b>0，给出下列四个不等式：‎ ‎①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为(　　)‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④‎ ‎　(1)若a B．a2bn ‎(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：‎ ‎①>；②acloga(b－c)．‎ 其中所有的正确结论的序号是(　　)‎ A．① B．①② C．②③ D．①②③‎ ‎7．不等式变形中扩大变量范围致误 典例　设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．用同向不等式求差的范围．‎ ⇒⇒a－d.‎ ‎3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．‎ ‎4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．a>b⇒ac>bc或ab⇒<或a，当ab≤0时不成立．‎ ‎3．a>b⇒an>bn对于正数a、b才成立． 4.>1⇔a>b，对于正数a、b才成立．‎ ‎5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a>b，b>c⇒a>c，其中a>c不能推出.‎ ‎6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．‎ ‎7.2一元二次不等式及其解法 ‎1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x≠－}‎ ‎{x|x∈R}‎ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ‎{x|x1< x0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab ‎(x－a)·(x－b)>0‎ ‎{x|xb}‎ ‎{x|x≠a}‎ ‎{x|xa}‎ ‎ (x－a)·(x－b)<0‎ ‎{x|a0的解集是(　　)‎ A．(－2,5) B．(5，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(5，＋∞)‎ ‎2．设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(　　)‎ A．(0,4] B．[0,4) C．[－1,0) D．(－1,0]‎ ‎3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　)‎ A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C. D.∪ ‎4．(教材改编)若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|10，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0,4) B．[0,4) C．(0，＋∞) D．(－∞，4)‎ 命题点2　在给定区间上恒成立 例4　设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．‎ 命题点3　给定参数范围的恒成立问题 例5　对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是________．‎ ‎　(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎13．转化与化归思想在不等式中的应用 典例　(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形．‎ ‎2．f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．‎ ‎3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．‎ ‎2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．‎ ‎3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．‎ ‎7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 ‎1．二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．‎ ‎(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．‎ ‎2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎3.重要结论 ‎(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：‎ ‎①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；‎ ‎②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．‎ ‎(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：‎ 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ‎①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎(3)最优解和可行解的关系：‎ 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．‎ ‎1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)‎ A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3)‎ ‎2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是(　　)‎ ‎ ‎ ‎3．若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是(　　)‎ A．3 B. C．2 D．2 ‎4．(2015·北京)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(　　)‎ A．0 B．1 C. D．2‎ 题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1　不含参数的平面区域问题 例1　(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(　　)‎ ‎(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. 命题点2　含参数的平面区域问题 例2　若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是__________________________________．‎ ‎　(1)不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为(　　)‎ A．(0,3] B．[－1,1] C．(－∞，3] D．[3，＋∞)‎ ‎(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　　)‎ A．1 B．－1 C．0 D．－2‎ 题型二　求目标函数的最值问题 命题点1　求线性目标函数的最值 例3　(2014·广东)若变量x，y满足约束条件 且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ 命题点2　求非线性目标函数的最值 例4　实数x，y满足 ‎(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；‎ ‎(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．‎ 引申探究 ‎1．若z＝，求z的取值范围．‎ 命题点3　求线性规划的参数 例5　已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.‎ ‎　(1)(2015·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于(　　)‎ ‎ A．3 B．2 C．－2 D．－3‎ ‎(2)(2014·安徽)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)‎ A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1‎ 题型三　线性规划的实际应用 例6　某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？‎ ‎　(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎8．含参数的线性规划问题的易错点 典例　已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.‎ ‎.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．‎ ‎2．求最值：求二元一次函数z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．‎ ‎3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．‎ ‎4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．‎ ‎2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．‎ ‎7.4基本不等式及其应用 ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)．‎ ‎(3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)．‎ 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)‎ ‎(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)‎ ‎1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)‎ A．80 B．77 C．81 D．82‎ ‎2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A.≤ B.＋≤1 C.≥2 D．a2＋b2≥8‎ ‎3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ A．1＋ B．1＋ C．3 D．4‎ ‎4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．‎ ‎5．(教材改编)已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．‎ 题型一　利用基本不等式求最值 命题点1　配凑法求最值 例1　(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．‎ ‎(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．‎ ‎(3)函数y＝的最大值为________．‎ 命题点2　常数代换或消元法求最值 例2　(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．‎ ‎(2)(高考改编)设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．‎ ‎　(1)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m等于(　　)‎ A．2 B．2 C．3 D．4‎ ‎(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．‎ 题型二　基本不等式与学科知识的综合 命题点1　用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题 例3　(1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)‎ A．9 B．8 C．4 D．2‎ ‎(2)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 命题点2　求参数的值或取值范围 例4　已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)‎ A．9 B．12 C．18 D．24‎ ‎　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________________________________________________________________________．‎ ‎9．忽视最值取得的条件致误 典例　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．‎ ‎(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．‎ ‎2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤()2≤，≤≤ (a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．‎ ‎3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．‎ ‎2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．‎ 第八章立体几何 ‎8.1空间几何体的结构、三视图和直观图 ‎1．空间几何体的结构特征 ‎(1)多面体 ‎①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．‎ ‎②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．‎ ‎③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．‎ ‎(2)旋转体 ‎①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．‎ ‎②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．‎ ‎③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．‎ ‎④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．‎ ‎2．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．‎ ‎3．空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：‎ ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎4．常用结论 ‎(1)常见旋转体的三视图 ‎①球的三视图都是半径相等的圆．‎ ‎②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．‎ ‎③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．‎ ‎④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．‎ ‎(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”‎ ‎“三变” ‎“三不变” ‎1．(教材改编)下列说法正确的是(　　)‎ A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 ‎2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于(　　)‎ A. B. C．5 D．2 ‎3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 ‎4．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ A．48 cm3 B．98 cm3 C．88 cm3 D．78 cm3‎ ‎5.正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．‎ ‎ ‎ 题型一　空间几何体的结构特征 例1　(1)给出下列命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；‎ ‎③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；‎ ‎④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎(2)下列结论：‎ ‎①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；‎ ‎②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；‎ ‎⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎(3)设有以下四个命题：‎ ‎①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体；‎ ‎③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎　给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ ‎②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；‎ ‎③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎④存在每个面都是直角三角形的四面体．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 题型二　空间几何体的三视图 命题点1　由空间几何体的三视图还原出几何体的形状 例2　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)‎ ‎ ‎ 命题点2　由空间几何体的直观图判断三视图 例3　一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 命题点3　由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 例4　如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是(　　)‎ ‎　(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，‎ 该几何体的侧视图为(　　)‎ 题型三　空间几何体的直观图 例5　(1)下图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(　　)‎ A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC ‎(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)‎ ‎ ‎ ‎　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，‎ C′D′＝2 cm，则原图形是(　　)‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎10．三视图识图中的易误辨析 典例　将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．三视图的画法特征 ‎“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．‎ ‎2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图．‎ ‎3．由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：‎ ‎(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．‎ ‎[失误与防范]‎ 画三视图应注意的问题 ‎(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．‎ ‎(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．‎ ‎8.2空间几何体的表面积与体积 ‎1．多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．‎ ‎2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l ‎3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎4.常用结论 ‎(1)与体积有关的几个结论 ‎①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．‎ ‎②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．‎ ‎(2)几个与球有关的切、接常用结论 a．正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.‎ ‎1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)‎ A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm ‎2．(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．12 B．18 ‎ C．24 D．30‎ ‎3．(教材改编)一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________ cm3.‎ ‎4．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4‎ ‎5．(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. ‎ 题型一　求空间几何体的表面积 例1　(1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　)‎ A．1＋ B．1＋2 C．2＋ D．2 ‎ ‎ ‎(2)(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎(3)(2014·山东)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎　(2015·福建)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)‎ A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15‎ 题型二　求空间几何体的体积 命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积 例2　(2015·课标全国Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. 命题点2　求简单几何体的体积 例3　(2015·山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A. B. C．2π D．4π ‎　(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于(　　)‎ A. B. C．36π D. ‎(2)(2014·课标全国Ⅱ)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)‎ A．3 B. C．1 D. 题型三　与球有关的切、接问题 例4　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎　如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1‎ 是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)‎ A. B．1 C. D. ‎14．巧用补形法解决立体几何问题 典例　如图：△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.‎ 则此几何体的体积为________．‎ ‎[方法与技巧]‎ 求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法 ‎(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．‎ ‎(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎[失误与防范]‎ 求空间几何体的表面积应注意的问题 ‎(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．‎ ‎(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．‎ ‎8.3空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎1．下列命题正确的个数为(　　)‎ ‎①梯形可以确定一个平面； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 ‎3．(教材改编)两两平行的三条直线可确定________个平面．‎ ‎4. (教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．‎ ‎5.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AC的公垂线，则直线PQ与BD1的位置关系为________(填序号)．‎ 题型一　平面基本性质的应用 例1　如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E、C、D1、F四点共面；‎ ‎(2)CE、D1F、DA三线共点．‎ ‎ 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G、H分别为FA、FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？‎ 题型二　判断空间两直线的位置关系 例2　(1)(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A． l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(　　)‎ A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 ‎(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)‎ ‎　如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N 分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎ ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线；‎ ‎ ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ 题型三　求两条异面直线所成的角 例3　(1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________________________________________________．‎ ‎　(1)(2014·大纲全国)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎15．构造模型判断空间线面位置关系 典例　已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；‎ ‎③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.‎ 其中所有正确的命题是(　　)‎ A．①④ B．②④ C．① D．④‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．主要题型的解题方法 ‎(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．‎ ‎(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．‎ ‎2．判定空间两条直线是异面直线的方法 ‎(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ ‎3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．‎ ‎2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．‎ ‎3．两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．‎ ‎8.4直线、平面平行的判定与性质 ‎1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅‎ a⊂α，b⊄α，a∥α a∥b a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅‎ a∥b ‎2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅‎ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α ‎1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)‎ A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α ‎2．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．‎ ‎①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.‎ 可以填入的条件有(　　)‎ A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③‎ ‎3．(教材改编)下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α ‎4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．‎ ‎5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．‎ 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 例1如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：GH∥平面PAD.‎ 命题点2　直线与平面平行性质定理的应用 例2　(2014·安徽）如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎　(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，AB＝1，‎ 求证：CE∥平面PAB；‎ ‎(2)如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．‎ 题型二　平面与平面平行的判定与性质 例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 引申探究 ‎1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.‎ ‎2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.‎ ‎　如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC.‎ 题型三　平行关系的综合应用 例4　如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？‎ ‎　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.‎ 5． 立体几何中的探索性问题 典例　(12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝.‎ ‎(1)求四棱锥S－ABCD的体积；‎ ‎(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．‎ 解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论．‎ 第二步：证明探求结论的正确性．‎ 第三步：给出明确答案．‎ 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．‎ 温馨提醒　(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设．‎ ‎(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．平行问题的转化关系 ‎2．直线与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．‎ ‎3．平面与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．‎ ‎2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．‎ ‎3．解题中注意符号语言的规范应用．‎ ‎8.5直线、平面垂直的判定与性质　　　　　　　　‎ ‎1．直线与平面垂直 图形 条件 结论 判定 a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)‎ a⊥α a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α b⊥α 性质 a⊥α，b⊂α a⊥b a⊥α，b⊥α a∥b ‎2.平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α ‎1．(教材改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　)‎ A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内任意一条直线垂直 ‎2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)‎ A．α⊥β且m⊂α B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n，n⊂α且α∥β ‎4．(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________________________________对．‎ ‎5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，‎ ‎(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．‎ ‎(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．‎ 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　(1)(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．‎ ‎①求证：EF⊥平面BCG；‎ ‎②求三棱锥D－BCG的体积．‎ ‎(2)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，‎ 且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.‎ 求证：PA⊥CD.‎ 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ 证明：(1)CD⊥AE；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2　(1)(2015·山东)如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．‎ ‎①求证：BD∥平面FGH；‎ ‎②若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH. ‎ ‎(2)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.‎ 求证：①CD⊥平面PBD.‎ ‎②平面PBC⊥平面PDC.‎ ‎　(2015·重庆)如图，三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.‎ ‎(1)证明：AB⊥平面PFE；‎ ‎(2)若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长．‎ 题型三　垂直关系中的探索性问题 例3　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.‎ ‎(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；‎ ‎(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎　如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)所示．‎ ‎(1)求证：DE∥平面A1CB；‎ ‎(2)求证：A1F⊥BE；‎ ‎(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．‎ ‎16．立体几何证明问题中的转化思想 典例　(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．‎ 求证：(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．三类论证 ‎(1)证明线线垂直的方法 ‎①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法；‎ ‎③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.‎ ‎(2)证明线面垂直的方法 ‎①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α； ②判定定理1：⇒l⊥α；‎ ‎③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；‎ ‎⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎(3)证明面面垂直的方法 ‎①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎2．转化思想：垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．‎ ‎2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．‎ 第九章平面解析几何 ‎9.1直线的方程 ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎1．直线x－y＋a＝0的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．60° C．150° D．120°‎ ‎2．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________．‎ ‎4．(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为________．‎ ‎5．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________．‎ 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________．‎ 引申探究 ‎1．若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．‎ ‎2．将题(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．‎ ‎　(1)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)‎ A.∪ B.∪ C. D. ‎(2)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________．‎ 题型二　求直线的方程 例2　根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.‎ ‎　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．‎ 题型三　直线方程的综合应用 命题点1　与基本不等式相结合求最值问题 例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．‎ 命题点2　由直线方程解决参数问题 例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．‎ ‎　(1)(2014·四川)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ (2) ‎(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．‎ ‎11．求直线方程忽视零截距致误 典例　(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ ‎[方法与技巧]‎ 直线的倾斜角和斜率的关系：‎ ‎(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．‎ ‎(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：‎ α ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎[失误与防范]‎ 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：‎ ‎(1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．‎ ‎(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．‎ ‎(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．‎ ‎9.2两直线的位置关系 ‎1．两条直线的位置关系 ‎(1)两条直线平行与垂直 ‎①两条直线平行：‎ ‎(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎②两条直线垂直：‎ ‎(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎2．几种距离 ‎(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ‎|P1P2|＝.‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.‎ ‎(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.‎ ‎2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2.‎ ‎3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：‎ ‎(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．‎ ‎(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．‎ ‎1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 (　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)‎ A. B．2－ C.－1 D.＋1‎ ‎3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为(　　)‎ A．－7 B．－1 C．－1或－7 D. ‎4．(2014·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0‎ ‎5．(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.‎ 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　(1)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)‎ A．－1 B．2 C．0或－2 D．－1或2‎ ‎(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.‎ ‎　已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：‎ ‎(1)l1∥l2；‎ ‎(2)l1⊥l2.‎ 题型二　两条直线的交点与距离问题 例2　(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．‎ ‎(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________________________________________________________________．‎ ‎　(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．‎ ‎(2)正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．‎ 题型三　对称问题 命题点1　点关于点中心对称 例3　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l的方程为________________．‎ 命题点2　点关于直线对称 例4　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为____________．‎ 命题点3　直线关于直线的对称问题 例5　已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．‎ ‎　在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)‎ A．2 B．1 C. D. ‎17．妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．‎ 典例1　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．‎ 二、垂直直线系 由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．‎ 典例2　求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．‎ 三、过直线交点的直线系 典例3　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．‎ ‎2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．‎ ‎2．在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．‎ ‎9.3圆的方程 ‎1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．‎ ‎2．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．‎ ‎3．圆的标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．‎ ‎4．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝.‎ ‎5．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 ‎(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；‎ ‎(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；‎ ‎(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．‎ ‎6．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．‎ 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)‎ ‎(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；‎ ‎(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；‎ ‎(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 B．－r⇔相离．‎ ‎(2)代数法： ‎2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，‎ 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).‎ 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2‎ 无解 外切 d＝r1＋r2‎ 一组实数解 相交 ‎|r1－r2|0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．‎ 命题点2　由直线与圆相交求参数问题 例4　(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.‎ 命题点3　直线与圆相切的问题 例5　(1)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________________；‎ ‎(2)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．‎ ‎①与直线l1：x＋y－4＝0平行；‎ ‎②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；‎ ‎③过切点A(4，－1)．‎ ‎　(1)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．‎ ‎(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．‎ ‎7．高考中与圆交汇问题的求解 一、与圆有关的最值问题 典例1　(1)(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎(2)(2014·北京)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ 二、直线与圆的综合问题 典例2　(1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．2 ‎(2)(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)‎ A.π B.π C．(6－2)π D.π ‎[方法与技巧]‎ ‎1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．‎ ‎2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．‎ ‎3．圆的弦长的常用求法 ‎(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2；‎ ‎(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：‎ ‎|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．‎ ‎2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．‎ ‎9.5椭圆 ‎1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．‎ 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：‎ ‎(1)若a>c，则集合P为椭圆；‎ ‎(2)若a＝c，则集合P为线段；‎ ‎(3)若ab>0)‎ ＋＝1 (a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎－b≤y≤b ‎－a≤y≤a ‎－a≤x≤a ‎－b≤x≤b 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1)‎ a，b，c的关系 a2＝b2＋c2‎ ‎【知识拓展】‎ 点P(x0，y0)和椭圆的关系 ‎(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.‎ ‎(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.‎ ‎(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.‎ ‎1．(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)‎ A．4 B．8 C．4或8 D．12‎ ‎2．(2015·广东)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于(　　)‎ ‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．‎ ‎5．(教材改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．‎ 题型一　椭圆的定义及标准方程 命题点1　椭圆定义的应用 例1　如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 命题点2　利用待定系数法求椭圆方程 例2　(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________________________________________________________________________．‎ ‎(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为____________________________________．‎ ‎　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________________________________________________________．‎ ‎(3)(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，‎ 则椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则椭圆的离心率的取值范围为______．‎ 题型三　直线与椭圆的综合问题 命题点1　由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 例4　(2015·重庆) 如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.‎ ‎(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．‎ 命题点2　由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质 例5　(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎　(2015·北京)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；‎ ‎(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ ‎8．高考中求椭圆的离心率问题 典例　(1)(2015·福建)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2014·江西)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．‎ ‎2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1 (m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1 (A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便．‎ ‎3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：‎ ‎(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；‎ ‎(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小．‎ ‎2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1 (a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．‎ ‎9.6双曲线 ‎1．双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．‎ 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；‎ ‎(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；‎ ‎(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0)‎ －＝1 (a>0，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)‎ ‎【知识拓展】‎ 巧设双曲线方程 ‎(1)与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t (t≠0)．‎ ‎(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1 (mn<0)．‎ ‎1．(教材改编)若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B．5 C. D．2‎ ‎2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1‎ ‎3．(2014·广东)若实数k满足00)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为________．‎ ‎5．(教材改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．‎ 题型一　双曲线的定义及标准方程 命题点1　双曲线定义的应用 例1　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．‎ 命题点2　利用待定系数法求双曲线方程 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程：‎ ‎(1)虚轴长为12，离心率为；‎ ‎(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；‎ ‎(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．‎ ‎　(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________________．‎ ‎(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．‎ 题型二　双曲线的几何性质 例3　(1)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎(2)(2015·山东)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．‎ ‎　(1)(2015·重庆)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)‎ A．± B．± C．±1 D．± ‎(2)(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(　　)‎ A．对任意的a，b，e1b时，e1e2‎ C．对任意的a，b，e1>e2 D．当a>b时，e1>e2；当a0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1 (AB<0)，这种形式在解题时更简便；‎ ‎(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；‎ ‎(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.‎ ‎2．双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．‎ ‎3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.‎ ‎4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．‎ ‎5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．‎ ‎9.7抛物线 ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0)‎ y2＝－2px(p>0)‎ x2＝2py(p>0)‎ x2＝－2py(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 ‎【知识拓展】‎ ‎1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．‎ ‎2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎1．(2015·陕西)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)‎ A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)‎ ‎2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 ‎4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________．‎ ‎5．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．‎ 题型一　抛物线的定义及应用 例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．‎ 引申探究 将本例中点A的坐标改为(3,4)，求|PA|＋|PF|的最小值．‎ ‎　(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.‎ ‎(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．‎ 题型二　抛物线的标准方程和几何性质 命题点1　求抛物线的标准方程 例2　已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 命题点2　抛物线的几何性质 例3　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．‎ ‎　(1)(2015·陕西)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝____________.‎ ‎(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎①y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎②＋为定值；‎ ‎③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ 题型三　直线与抛物线的综合问题 命题点1　直线与抛物线的交点问题 例4　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.‎ 命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题 例5　(2014·浙江) 如图，已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.‎ ‎(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；‎ ‎(2)求△ABP面积的最大值．‎ ‎　已知过点M的直线l与抛物线y2＝2px (p>0)交于A，B两点，且·＝－3，其中O为坐标原点．‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程．‎ ‎6．直线与圆锥曲线问题的求解策略 典例　(12分)(2014·山东)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，‎ ‎①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；‎ ‎②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：‎ 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；‎ 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；‎ 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；‎ 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．‎ 温馨提醒　(1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系．‎ ‎(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化．‎ ‎(3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．认真区分四种形式的标准方程 ‎(1)区分y＝ax2与y2＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程．‎ ‎(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx (m≠0)或x2＝my(m≠0)．‎ ‎2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．‎ 抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．‎ ‎2．注意应用抛物线的定义解决问题．‎ ‎3．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．‎ ‎9.8圆锥曲线的综合问题 ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．‎ ‎(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ‎①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；‎ ‎②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；‎ ‎③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．‎ ‎(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，‎ ‎①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；‎ ‎②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ ‎2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，‎ 则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.‎ ‎【知识拓展】‎ 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 ‎(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．‎ ‎(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. ‎ ‎(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．‎ ‎1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎2．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D.∪ ‎3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎4．(2014·山东)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．‎ 第十章统计与统计案例 ‎10.1随机取样 ‎1.简单随机抽样 ‎(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.‎ ‎(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.‎ ‎2.系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.‎ ‎(1)先将总体的N个个体编号；‎ ‎(2)确定分段间隔k，对编号进行分段.当(n是样本容量)是整数时，取k＝；‎ ‎(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤k)；‎ ‎(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.‎ ‎3.分层抽样 ‎(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.‎ ‎(2)分层抽样的应用范围：‎ 当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.‎ ‎1.(教材改编)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)‎ A.33人，34人，33人 B.25人，56人，19人 C.20人，40人，30人 D.30人，50人，20人 ‎2.(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)‎ A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法 ‎3.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为(　　)‎ A.700 B.669 C.695 D.676‎ ‎4.(教材改编)某公司共有1 000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了4个员工，则广告部门的员工人数为________.‎ ‎5.(2014·天津 ‎)某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.‎ 题型一　简单随机抽样 例1　(1)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B.07 C.02 D.01‎ ‎(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________.‎ ‎①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.‎ ‎②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.‎ ‎③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.‎ ‎④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.‎ ‎　下列抽样试验中，适合用抽签法的有(　　)‎ A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 题型二　系统抽样 例2　(1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示 ‎13‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎14‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ 引申探究 ‎1.本例(2)中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是________.‎ ‎2.本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________.‎ ‎　将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(　　)‎ A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9‎ 题型三　分层抽样 命题点1　求总体或样本容量 例3‎ ‎　某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(　　)‎ A.9 B.10 C.12 D.13‎ 命题点2　求某层入样的个体数 例4　(2015·福建)某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.‎ ‎　(1)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)‎ A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10‎ ‎(2)(2014·湖北)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.‎ 五审图表找规律 典例　(12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：‎ 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 ‎40‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎200‎ 中年 ‎80‎ ‎120‎ ‎160‎ ‎240‎ ‎600‎ 青年 ‎40‎ ‎160‎ ‎280‎ ‎720‎ ‎1 200‎ 共计 ‎160‎ ‎320‎ ‎480‎ ‎1 040‎ ‎2 000‎ ‎(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？‎ ‎(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？‎ ‎(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距.‎ ‎2.系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样.‎ ‎3.分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.‎ ‎[失误与防范]‎ 进行分层抽样时应注意以下几点：‎ ‎(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.‎ ‎(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.‎ ‎10.2用样本估计总体 ‎1.作频率分布直方图的步骤 ‎(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).‎ ‎(2)决定组距与组数.‎ ‎(3)将数据分组.‎ ‎(4)列频率分布表.‎ ‎(5)画频率分布直方图.‎ ‎2.频率分布折线图和总体密度曲线 ‎(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.‎ ‎(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.‎ ‎3.茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.‎ ‎4.标准差和方差 ‎(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.‎ ‎(2)标准差：‎ s＝ .‎ ‎(3)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数).‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.频率分布直方图的特点 ‎(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.‎ ‎(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比.‎ ‎(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观.‎ ‎2.平均数、方差的公式推广 ‎(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.‎ ‎(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.‎ ‎①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；‎ ‎②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.‎ ‎1.(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(　　)‎ A.93 B.123 C.137 D.167‎ ‎2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)‎ A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92‎ ‎3.一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ ‎[11.5,15.5)　2　[15.5,19.5)　4　[19.5,23.5)　9　[23.5,27.5)　18　[27.5,31.5)　11　[31.5,35.5)　12‎ ‎[35.5,39.5)　7　[39.5,43.5)　3‎ 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4.(教材改编)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为________.‎ ‎5.(教材改编)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下：‎ 甲　4　7　10　9　5　6　8　6　8　8‎ 乙　7　8　6　8　6　7　8　7　5　9‎ 试问10次射靶的情况较稳定的是________.‎ 题型一　频率分布直方图的绘制与应用 例1　(2015·课标全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 图①‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可).‎ B地区用户满意度评分的频率分布直方图 图②‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.‎ ‎　(1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)‎ A.6 B.8 C.12 D.18‎ ‎(2)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎①求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎②统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分.‎ 题型二　茎叶图的应用 例2　(1)(2015·山东)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；‎ ‎④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(　　)‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ ‎(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).‎ 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ 引申探究 ‎1.本例(2)中条件不变，试比较甲、乙两组哪组成绩较好.‎ ‎2.在本例(2)条件下：①求乙组数据的中位数、众数；②求乙组数据的方差.‎ ‎　(2014·课标全国Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：‎ 甲部门 乙部门 ‎3‎ ‎59‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎0448‎ ‎97‎ ‎5‎ ‎122456677789‎ ‎97665332110‎ ‎6‎ ‎011234688‎ ‎98877766555554443332100‎ ‎7‎ ‎00113449‎ ‎6655200‎ ‎8‎ ‎123345‎ ‎632220‎ ‎9‎ ‎011456‎ ‎10‎ ‎000‎ ‎(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；‎ ‎(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；‎ ‎(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.‎ 题型三　用样本的数字特征估计总体的数字特征 例3　甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.‎ ‎(1)分别求出两人得分的平均数与方差；‎ ‎(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.‎ ‎　(2015·广东)某工厂36名工人的年龄数据如下表.‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎　1　　40‎ ‎　10　　36‎ ‎　19　　27‎ ‎　28　　34‎ ‎　2　　44‎ ‎　11　　31‎ ‎　20　　43‎ ‎　29　　39‎ ‎　3　　40‎ ‎　12　　38‎ ‎　21　　41‎ ‎　30　　43‎ ‎　4　　41‎ ‎　13　　39‎ ‎　22　　37‎ ‎　31　　38‎ ‎　5　　33‎ ‎　14　　43‎ ‎　23　　34‎ ‎　32　　42‎ ‎　6　　40‎ ‎　15　　45‎ ‎　24　　42‎ ‎　33　　53‎ ‎　7　　45‎ ‎　16　　39‎ ‎　25　　37‎ ‎　34　　37‎ ‎　8　　42‎ ‎　17　　38‎ ‎　26　　44‎ ‎　35　　49‎ ‎　9　　43‎ ‎　18　　36‎ ‎　27　　42‎ ‎　36　　39‎ ‎(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；‎ ‎(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；‎ ‎(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?‎ ‎9.高考中频率分布直方图的应用 典例　(12分)(2015·广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图.‎ ‎(1)求直方图中x的值；‎ ‎(2)求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致.通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计.‎ ‎2.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作.‎ ‎3.若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.‎ ‎[失误与防范]‎ 频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.‎ ‎10.3变量间的相关关系、统计案例 ‎1.两个变量的线性相关 ‎(1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.‎ ‎(2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.‎ ‎(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.‎ ‎2.回归方程 ‎(1)最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.‎ ‎(2)回归方程 方程 ＝ x＋ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中 ， 是待定参数.‎ ‎3.回归分析 ‎(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.‎ ‎(2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心.‎ ‎(3)相关系数 当r>0时，表明两个变量正相关；‎ 当r<0时，表明两个变量负相关.‎ r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.‎ ‎4.独立性检验 ‎(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量.‎ ‎(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 ‎2×2列联表 y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a b a＋b x2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量.‎ ‎(3)独立性检验 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.‎ ‎1.(2015·湖北)已知变量x和y满足关系 ＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是(　　)‎ A.x与y正相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y负相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关 ‎2.下面是2×2列联表：‎ y1‎ y2‎ 合计 x1‎ a ‎21‎ ‎73‎ x2‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎47‎ 合计 b ‎46‎ ‎120‎ 则表中a，b的值分别为(　　)‎ A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52‎ ‎3.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是(　　)‎ A.有99%的人认为该电视栏目优秀 B.有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C.有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D.没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 ‎4.某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：‎ x ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ y ‎50‎ ‎34‎ ‎41‎ ‎31‎ 由上表可得线性回归方程 ＝ x＋ 中的 ＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为(　　)‎ A.51个 B.50个 C.49个 D.48个 ‎5.(教材改编)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填“有关”或“无关”).‎ 题型一　相关关系的判断 例1　(1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)‎ A.－1 B.0 C. D.1‎ ‎(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.‎ ‎①x，y是负相关关系；‎ ‎②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关系数的平方为r，用＝x＋拟合时的相关系数的平方为r，则r>r；‎ ‎③x、y之间不能建立线性回归方程.‎ ‎　(1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎①y与x负相关且 ＝2.347x－6.423； ②y与x负相关且 ＝－3.476x＋5.648；‎ ‎③y与x正相关且 ＝5.437x＋8.493； ④y与x正相关且 ＝－4.326x－4.578.‎ 其中一定不正确的结论的序号是(　　)‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎(2)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)‎ A.r2＜r1＜0 B.0＜r2＜r1 C.r2＜0＜r1 D.r2＝r1‎ 题型二　线性回归分析 例2　(2015·课标全国Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ (xi－)2‎ (wi－)2‎ (xi－)·‎ ‎(yi－)‎ (wi－)·‎ ‎(yi－)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1 469‎ ‎108.8‎ 表中wi＝，＝i.‎ ‎(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：‎ ‎①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝，＝－　.‎ ‎　某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；‎ ‎(3)试预测加工10个零件需要多少小时？‎ ‎(注：＝，＝－ )‎ 题型三　独立性检验 例3　大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查他们对莫言作品的了解程度，结果如下：‎ 阅读过莫言的作品数(篇)‎ ‎0～25‎ ‎26～50‎ ‎51～75‎ ‎76～100‎ ‎101～130‎ 男生 ‎3‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎18‎ ‎12‎ 女生 ‎4‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎(1)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；‎ ‎(2)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”.根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关？‎ 非常了解 一般了解 合计 男生 女生 合计 附：K2＝ P(K2≥‎ k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎　某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)‎ ‎(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：‎ 主食蔬菜 主食肉类 合计 ‎50岁以下 ‎50岁以上 合计 ‎(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析.‎ ‎20.求线性回归方程的方法技巧 典例　(12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：‎ 年份 ‎2006‎ ‎2008‎ ‎2010‎ ‎2012‎ ‎2014‎ 需求量/万吨 ‎236‎ ‎246‎ ‎257‎ ‎276‎ ‎286‎ ‎(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x＋；‎ ‎(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.‎ ‎2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.‎ ‎2.独立性检验中统计量K2的观测值k的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错.‎ 第十一章概率 ‎1.概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A).‎ ‎2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 P(A)＋P(B)＝1‎ ‎3.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).‎ ‎【知识拓展】‎ 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.‎ ‎1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)‎ A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 ‎2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)‎ A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8‎ ‎3.(2015·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)‎ A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 ‎4.给出下列三个命题，其中正确的命题有________个.‎ ‎①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.‎ ‎5.(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为________.‎ 题型一　事件关系的判断 例1　某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.‎ ‎(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.‎ ‎　判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中 ‎①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生.‎ 题型二　随机事件的频率与概率 例2　(2015·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.‎ ‎　　 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ ‎　某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：‎ 抽取球数n ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ 优等品数m ‎45‎ ‎92‎ ‎194‎ ‎470‎ ‎954‎ ‎1 902‎ 优等品频率 ‎(1)计算表中乒乓球优等品的频率；‎ ‎(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)‎ 题型三　互斥事件、对立事件的概率 命题点1　互斥事件的概率 例3　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？‎ 命题点2　对立事件的概率 例4　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.‎ ‎　国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：‎ 命中环数 ‎10环 ‎9环 ‎8环 ‎7环 概率 ‎0.32‎ ‎0.28‎ ‎0.18‎ ‎0.12‎ 求该射击队员射击一次：‎ ‎(1)射中9环或10环的概率；‎ ‎(2)命中不足8环的概率.‎ ‎21.用正难则反思想求互斥事件的概率 典例　(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).‎ ‎2.从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.‎ ‎2.需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.‎ ‎11.2古典概型 ‎1.基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.‎ ‎2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性相等.‎ ‎3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4.古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎1.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎2.(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3.(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4.(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________.‎ ‎5.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________.‎ 题型一　基本事件与古典概型的判断 例1　袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.‎ ‎(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ ‎(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ ‎　下列试验中，是古典概型的个数为(　　)‎ ‎①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；‎ ‎②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；‎ ‎③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；‎ ‎④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 题型二　古典概型的求法 例2　(1)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)‎ A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1‎ ‎(2)(2015·江苏)‎ 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.‎ ‎(3)(2014·四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.‎ 引申探究 ‎1.本例(2)中，将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率.‎ ‎2.本例(2)中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率.‎ ‎　将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：‎ ‎(1)两数中至少有一个奇数的概率；‎ ‎(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.‎ 题型三　古典概型与统计的综合应用 例3　(2015·天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.‎ ‎①用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.‎ ‎　(2014·山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；‎ ‎(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.‎ 六审细节更完善 典例　(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.‎ ‎(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n？ B．s>？ C．s>？ D．s>？‎ 命题点3　辨析程序框图的功能 例5　(2014·陕西)根据下面框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是(　　)‎ A．an＝2n B．an＝2(n－1) C．an＝2n D．an＝2n－1‎ ‎　(1)(2015·课标全国Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n等于(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎ ‎ ‎(2)(2014·课标全国Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S等于(　　)‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ 题型三　基本算法语句 例6　根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)‎ A．25 B．30 C．31 D．61‎ ‎　设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是(　　)‎ ‎ ‎ A．13 B．13.5 C．14 D．14.5‎ ‎14．变量的含义理解不准致误 典例　执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ 思想方法 感悟提高 ‎[方法与技巧]‎ ‎1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：‎ 概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．‎ ‎2．在画算法框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．‎ ‎2．注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．‎ ‎3．循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序．‎ ‎4．关于赋值语句，有以下几点需要注意：‎ ‎(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．‎ ‎(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．‎ ‎(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“＝”．‎ 第十三章复数 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位)‎ ‎(2)分类：‎ 满足条件(a，b为实数)‎ 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0‎ a＋bi为虚数⇔b≠0‎ a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0‎ ‎(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R ‎(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.‎ ‎1．(2015·安徽)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于(　　)‎ A．3＋3i B．－1＋3i C．3＋i D．－1＋i ‎2．(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i ‎3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i ‎4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于(　　)‎ A．3－4i B．3＋4i C．4－3i D．4＋3i ‎5．(教材改编)已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.‎ 题型一　复数的概念 例1　(1)设i是虚数单位．若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎(2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)‎ A．1 B．i C. D．0‎ ‎(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 引申探究 ‎1．对本例(1)中的复数z，若|z|＝，求a的值．‎ ‎2．在本例(2)中，若为实数，则a＝________.‎ ‎　(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．－1或1‎ ‎(2)(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二　复数的运算 命题点1　复数的乘法运算 例2　(1)(2015·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)‎ A．i B．－i C．1 D．－1‎ ‎(2)(2015·北京)复数i(2－i)等于(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 命题点2　复数的除法运算 例3　(1)(2015·湖南)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎(2)()6＋＝________.‎ 命题点3　复数的运算与复数概念的综合问题 例4　(1)(2015·天津)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．‎ ‎(2)(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．‎ 命题点4　复数的综合运算 例5　(1)(2014·安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于(　　)‎ A．－2 B．－2i C．2 D．2i ‎(2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)‎ A．－4 B．－ C．4 D. ‎　(1)(2015·山东)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)‎ A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i ‎(2)2 016＝________.‎ ‎(3)＋2 016＝________.‎ 题型三　复数的几何意义 例6　(1)(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：‎ ‎①、所表示的复数；‎ ‎②对角线所表示的复数；‎ ‎③B点对应的复数．‎ ‎　(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)‎ A．A B．B C．C D．D ‎(2)已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ ‎23．解决复数问题的实数化思想 典例　(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．‎ ‎2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识．‎ ‎3．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ ‎2．两个虚数不能比较大小．‎ ‎3．注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数．‎ 第十四章系列四选讲 ‎14.1坐标系与参数方程 课时1　坐标系 ‎1.平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系 ‎(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：‎ 或.‎ 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.‎ ‎3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－≤θ<)‎ 圆心为(r，)，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)‎ 或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a(－<θ<)‎ 过点(a，)，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π)‎ ‎1.求在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线方程.‎ ‎2.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求△AOB(其中O为极点)的面积.‎ ‎3.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.‎ 题型一　极坐标与直角坐标的互化 例1　(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程.‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.‎ ‎　(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.‎ ‎(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程.‎ 题型二　求曲线的极坐标方程 例2　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出曲线C的方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎　在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.‎ 题型三　极坐标方程的应用 例3　(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.‎ ‎　(2015·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长.‎ 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.‎ 课时2　参数方程 ‎1.参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t ‎)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.‎ ‎2.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 双曲线 －＝1 ，(a>0，b>0)‎ (φ为参数)‎ 抛物线 y2＝2px (p>0)‎ (t为参数)‎ ‎1.直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率.‎ ‎2.已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值.‎ ‎3.已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求PF的值.‎ ‎4.已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长.‎ 题型一　参数方程与普通方程的互化 例1　(1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程.‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求AB的长.‎ ‎　(1)求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数.‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值.‎ 题型二　参数方程的应用 例2　.已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.‎ ‎　在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，求曲线C1与C2的交点坐标.‎ 题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用 例3　(2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值.‎ ‎　在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点.‎ ‎(1)求圆心的极坐标；‎ ‎(2)求△PAB面积的最大值.‎ ‎1.将参数方程化为普通方程是解决问题的一般思路，体现了化归思想.‎ ‎2.将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.‎ ‎14.2不等式选讲 ‎　绝对值不等式 ‎1.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎2.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.‎ ‎1.(2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.‎ ‎2.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围.‎ ‎3.(2014·重庆改编)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.‎ 题型一　绝对值不等式的解法 例1　(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ ‎　(1)(2014·广东改编)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集.‎ ‎(2)(2014·湖南改编)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为{x|－

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