2017-2018学年福建省三明市德化一中、永安一中、漳平一中高二下学期第一次联考(4月)数学(理)试题 Word版

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2017-2018学年福建省三明市德化一中、永安一中、漳平一中高二下学期第一次联考(4月)数学(理)试题 Word版

‎“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 ‎2017-2018学年第二学期第一次月考 高二数学(理科)试卷 ‎(考试时间:120分钟 总分:150分)‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分 第I卷(选择题,共60分)‎ 一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)‎ ‎1.已知复数满足,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为函数在处的导数值,所以,是函数的极值点.以上推理中( )‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 ‎3.已知,,若,则( )‎ A. B. C. , D.,‎ ‎4.已知函数,若,则实数的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设复数在复平面内对应的点为,则点关于虚轴对称的点为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知,‎ 则( )‎ ‎ A、70 B、68 C、69 D、71‎ ‎7.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )‎ A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度 C.假设三内角至多有一个大于60度 D.假设三内角至多有两个大于60度 ‎8.在长方体中,已知,,则异面直线与 所成角的余弦值( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.,则实数等于( )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎10.在直棱柱中,底面是等腰三角形,,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,则点到平面的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数的图象大致是( )‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎12.已知函数,若,则正数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡相应位置)‎ ‎13. .‎ ‎14.已知(为虚数单位,),则 . ‎ ‎15.某节晚自习课堂上,小明向值班老师报告说:有同学在玩手机游戏,四名可疑同学被请到数学组办公室,四人陈述如下: ‎ 甲:我们四人都没有玩; 乙:我们四人中有人玩; ‎ 丙:乙和丁至少有一人没玩; 丁:我没有玩. 若四人中有两人说的是真话,有两人说的是假话,则说真话的是 .‎ ‎16.在平面几何中有如下结论:正三角形的内切圆面积为,外接圆面积为,则,推广到空间中可以得到类似结论:已知正四面体的内切球体积为,外接球体积为,则= .‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎ 17.(本题满分10分)设为坐标原点,已知复数分别对应向量,为复数的共轭复数,,其中,且为纯虚数.‎ ‎(Ⅰ)判断复数在复平面上对应的点在第几象限;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎18. (本题满分12分) 已知函数在处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)求的值; ‎ ‎(Ⅱ)求函数在处的切线方程.‎ ‎19. (本题满分12分)如图,在中,,点、分别在线段、上,且,将沿折起到的位置,使得二面角的大小为.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)当时,求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.(本题满分12分) “世界陶瓷之都”德化县,最有名的就是陶瓷了,然而德化特产也是丰富多彩的。德化人用它们天然的色彩进行归类,变得像口诀一样好记,三黑“黑鸡、黑兔、黑羊”,三黄“德化梨、黄花菜、山茶油”,三白“大米、淮山、白萝卜”,三红“‎ 红米、红菇、红酒”。为了提高经济效益,某食品厂进行淮山的深加工,每公斤淮山的成本20元,并且每公斤淮山的加工费为元(为常数,且,设该食品厂每公斤淮山的出厂价为元(),销售量,且(为自然对数的底)。根据市场调查,当每公斤淮山的出厂价为30元时,日销售量为100公斤。‎ ‎(Ⅰ)求该工厂的每日利润元与每公斤淮山的出厂价元的函数关系式;‎ ‎(Ⅱ)若,当每公斤淮山的出厂价为多少元时,该工厂的利润最大,并求最大值.‎ ‎ 21. (本题满分12分)观察下列不等式: ,…,‎ ‎(Ⅰ)请写出第五个不等式,你能归纳推理出第n个不等式的一般形式吗? (Ⅱ)用数学归纳法证明你的推论.‎ ‎22. (本题满分12分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若,设函数有唯一零点,求的值.‎ ‎‎ ‎“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 ‎2017-2018学年第二学期第一次月考 高二数学(理科)试卷 参考答案及评分标准 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D D A D B A B B C A 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13. 0 14. -1 15. 乙和丙 16.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分 ‎17.(本题满分10分)‎ 解:(Ⅰ)由题意,得,‎ 则.........................2分 因为为纯虚数,‎ 所以, ..............................3分 解得或...............................4分 又因为,所以,.......................5分 所以 在复平面上对应的点在第四象限 ................6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,‎ 所以...........................8分 ‎..........................10分 ‎18. (本题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由已知得 …………………………………1分 因为函数在处取得极值 所以,即 …………………………………4分 解得 …………………………………6分 经检验,当时,函数在处取得极值 ……………7分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,……………………8分 ‎ 切线斜率 …………………………………9分 又切点为 切线方程为,即 …………………………………12分 ‎19.(本题满分12分)‎ 证明:(Ⅰ)‎ ‎,翻折后垂直关系没变,仍有,‎ ‎ …………4分 ‎(Ⅱ) ,二面角的平面角,…………5分 ‎,又,由余弦定理得,‎ ‎,,两两垂直……………………6分 以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图直角坐标系。‎ 则 ‎ ……8分 设平面的法向量 由可得…………10分 ‎ ‎ 故与平面所成的角的正弦值为 …………12分 ‎20. (本题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)设由已知得 …………………………………2分 ‎ 日销量 …………………………………………………………………3分 ‎ . …………………………………………6分 ‎(Ⅱ)当时, ……………………………………………7分 ‎ …………………………………………………………………8分 ‎ ,‎ ‎ ………………………10分 ‎ ………………………………………………………11分 ‎ 当每公斤淮山的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为元. ……12分 ‎21.(本题满分12分)‎ 解:(Ⅰ) ……1分 根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式,即一般不等式为:‎ ‎ ……4分 ‎(Ⅱ)用数学归纳法证明如下:‎ ‎(1)当,猜想成立 …………5分 ‎(2)假设当时,猜想成立,即, …………6分 则当时,‎ ‎,‎ 即当时,猜想也正确, …………11分 由(1),(2)知对任意的,不等式都成立. ……12分 ‎22.(本题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由题可知函数为 ‎ …………………………………1分 ‎①当时,在上恒成立 此时函数在上单调递增 …………………………………2分 ‎②当时,令,则或(舍去)‎ 当时,, 当时,‎ 此时函数在上单调递减,在上单调递增 …………………………4分 ‎(Ⅱ)由题可知, .‎ 令,即,‎ 因为,所以 (舍去), . …………5分 当时,,在上单调递减,‎ 当时,,在上单调递增, …………………………6分 所以的最小值为. …………………………………7分 因为函数有唯一零点,所以, …………………………………8分 由即 …………………………………9分 可得,因为,所以,‎ 设函数,因为当时该函数是增函数,‎ 所以至多有一解. …………………………………10分 因为当时,, …………………………………11分 所以方程的解为,即,解得. …………………………12分
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