长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案中考理科数学竞赛必备

长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案中考理科数学竞赛必备

长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷 注意：‎ ‎(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.‎ ‎(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.‎ 一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.‎ ‎1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )‎ ‎ (A) 直线y = –x上 (B) 抛物线 y =上 ‎ (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上 ‎2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( )‎ ‎(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20‎ ‎3．若－1＜＜0，则一定是 ( )‎ 第4题 ‎(A) 最小，最大 (B) 最小，最大 ‎ ‎ (C) 最小，a最大 (D) 最小， 最大 ‎ ‎4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）‎ ‎(A) AE⊥AF （B）EF：AF =：1‎ ‎(C) AF2 = FH·FE （D）FB ：FC = HB ：EC ‎ ‎5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ）‎ ‎ (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44‎ ‎6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） ‎ ‎ （A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 ‎ 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）‎ ‎7．若4sin‎2A – 4sinAcosA + cos‎2A = 0, 则tanA = ___ ___ .‎ ‎(第9题)‎ ‎8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.‎ ‎9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 .‎ ‎(第11题)‎ ‎10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为‎20cm，小球半径‎5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 ‎ cm.‎ ‎11．物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .‎ 第12题 ‎12．设… … 为一群圆, 其作法如下：是半径为a的圆, 在的圆内作四个相等的圆(如图), 每个圆和圆都内切, 且相邻的两个圆均外切, 再在每一个圆中, 用同样的方法作四个相等的圆, 依此类推作出…… , 则 ‎(1) 圆的半径长等于 (用a表示)；‎ ‎(2) 圆的半径为 ( k为正整数，用a表示，不必证明) ‎ 三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。‎ 第13题 ‎13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB.‎ ‎(1) 求证AD = AE；‎ ‎(2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M，‎ ‎(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；‎ ‎(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.‎ ‎15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：‎ 胜一场 平一场 负一场 积分 ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ 奖励（元/每人）‎ ‎1500‎ ‎700‎ ‎0‎ 当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。‎ ‎(1) 试判断A队胜、平、负各几场?‎ ‎(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.‎ ‎ ‎ ‎（第16题）‎ ‎16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =x－1经过这两个顶点中的一个.‎ ‎（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；‎ ‎（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2＋bx＋c的顶点是P点.‎ ‎① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；‎ ‎② 过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由. ‎ ‎2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准 一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B ‎ 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）‎ ‎7．. 8．2. 9． y = –x2 –x +. 10．20. 11．( –,–2). ‎ ‎12．(1) 圆的半径 ； (2)圆的半径 ( –1 )n – ‎1 a .‎ 三、解答题 ‎13.（本小题满分12分）‎ ‎（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上，‎ ‎ ∴∠ACD = 90°，即AC⊥DE.‎ ‎ 又∵OC∥AE，O为AD中点，‎ ‎ ∴AD = AE. 4分 证2 ∵O为AD中点，OC∥AE，‎ ‎ ∴2OC = AE， ‎ ‎ 又∵AD是圆O的直径，‎ ‎∴ 2OC = AD，‎ ‎ ∴AD = AE. 4分 ‎ ‎ （2）由条件得ABCO是平行四边形，‎ ‎∴BC∥AD，‎ 又C为中点，∴AB =BE = 4，‎ ‎∵AD = AE，‎ ‎∴BC = BE = 4， 4分 连接BD，∵点B在圆O上，‎ ‎∴∠DBE= 90°，‎ ‎∴CE = BC= 4，‎ 即BE = BC = CE= 4，‎ ‎ ∴ 所求面积为4. 4分 ‎14.（本题满分14分）‎ 解：(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,‎ ‎ ∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 ‎ (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),‎ 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2,‎ ‎∴|AB| = 2. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 .‎ 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .‎ 当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM = |AB||b|取最小值1 . 5分 ‎15 （本小题满分16分）‎ 解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，‎ 得，可得： 4分 依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数，‎ ‎∴ 解得：≤x≤ ，∴ x可取4、5、6 4分 ‎∴ A队胜、平、负的场数有三种情况： ‎ 当x=4时， y=7,z=1； ‎ 当x=5时，y= 4,z = 3 ； ‎ 当x=6时，y=1,z= 5. 4分 ‎（2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300‎ 当x = 4时，W最大，W最大值= – 60×4+19300=16900（元） ‎ 答略. 4分 ‎16（本小题满分18分）‎ 解：(1)如图，建立平面直有坐标系，‎ ‎∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，‎ 设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);‎ 若C点过y =x－1；则2=(m＋3)－1, ‎ m = －1与m＞0不合；‎ ‎∴C点不过y=x－1；‎ 若点D过y=x－1，则2=m－1, m=2, ‎ ‎∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5分 ‎（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，‎ 由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，‎ ‎∴ ∴ 2分 ‎∴y = ax2－7ax＋‎‎10a ‎( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋‎10a ) ‎ ‎∴y = a(x－)2－a； ‎ ‎∴抛物线顶点P(, －a) 2分 ‎∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,‎ ‎∴ ＜－a ＜ 2,∴－＜a＜–. 3分 ‎② 设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；‎ ‎ ∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在RtDDCF中，‎ ‎∵DF2＋DC2=CF2；‎ ‎∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=, ∴F(2, )‎ ‎∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴－a =，∴a = －; ‎ ‎∴抛物线的解析式为：y= －x2＋x－5 3分 抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），‎ 又直线y =x－1与y轴交点（ 0，－1）；‎ ‎∴Q在直线y=x－1下方. 3分 ‎2009年长郡中学高一招生数学试题（B）‎ 时间60分钟 满分100分 一.选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案)‎ ‎1. 下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）‎ 黄 红 黄 红 绿 绿 黄 红 绿 红 绿 黄 绿 红 红 绿 黄 黄 绿 红 黄 红 黄 绿 A． B． C． D．‎ ‎2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ）‎ A．2x％ B． 1+2x％ C．（1+x％）x％ D．（2+x％）x％‎ ‎3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）‎ A．a>b B．a

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