2017-2018学年辽宁省抚顺市六校高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省抚顺市六校高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省抚顺市六校高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据并集的定义，求出，再根据补集的定义，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 集合，全集，‎ ‎ ，，‎ 集合.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的混合运算，解题的关键是理解集合并和补的意义.‎ ‎2．若复数满足（为虚数单位），则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的除法运算和模的计算，复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.‎ ‎3．函数的单调增区间为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 先确定函数的定义域为，再根据复合函数同增异减的原则，即可求出单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 由，解得，‎ 所以函数的定义域为.‎ 令，，‎ 则，函数在定义域内为单调递减函数，‎ 又在上的单调递减区间为，‎ 单调递增区间为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数单调性，考查对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题.‎ 复合函数单调性求法：‎ ‎（1）确定函数的定义域；‎ ‎（2）设内层函数为，外层函数为，遵循“同增异减”‎ ‎，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.‎ ‎4．命题“， 且”的否定形式是（ ）‎ A． ， 且 B． ， 或 C． ， 且 D． ， 或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：含有全称量词的命题的否定为：全称量词改为存在量词，并否定结论.因此原命题的否定为“.故本题正确答案为D.‎ ‎【考点】全称量词，存在量词.‎ ‎5．若幂函数在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（　　）‎ A． B． C． D． 或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据幂函数的系数为1和函数（0，+∞）上为增函数，建立关于的不等式组，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 幂函数在（0，+∞）上为增函数，‎ ‎，解得，（舍去）‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义和幂函数的单调性，属于基础题.‎ ‎6．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（ ）‎ A． 三个内角都不大于 B． 三个内角都大于 C． 三个内角至多有一个大于 D． 三个内角至多有两个大于 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：命题的反面是：三个内角都大于，故选B.‎ ‎【考点】反证法.‎ ‎7．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：‎ 年 份（届）‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数 ‎51‎ ‎49‎ ‎55‎ ‎57‎ 被清华、北大等世界名校录取的学生人数 ‎103‎ ‎96‎ ‎108‎ ‎107‎ 根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故，即，将代入上式，求得，所以选. ‎ ‎【点睛】本小题主要考查变量间的相关关系，考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程过样本中心点这个性质，并用哦个回归直线方程进行预测. 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．‎ ‎8．函数的大致图象为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用函数的奇偶性排除选项C和D，再利用函数的特殊点排除选项B即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，解得 函数定义域为关于原点对称.‎ 函数在定义域上为偶函数，排除C和D.‎ 当时，，排除B.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的判断，常利用函数的奇偶性、单调性以及特殊值进行判断.‎ ‎9．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，（如下图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推.例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则用算筹可表示为，故选C.‎ ‎10．已知p：函数在上是增函数，q：函数是减函数，则p是q的（ ）‎ A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 命题p：可得，命题q：可得，根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 函数在上是增函数，‎ ‎ ;‎ 函数是减函数，‎ ‎ ，‎ ‎ ，，即p是q的必要不充分条件 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值函数和指数函数的基本性质和单调性，考查了必要条件、充分条件的定义，属于基础题.‎ 充要关系的几种判断方法：‎ ‎（1）定义法：若，，则是的充分而不必要条件；‎ 若，，则是的必要而不充分条件；‎ 若，，则是的充要条件； ‎ 若，，则是的既不充分也不必要条件。‎ ‎（2）等价法：利用与、与、与 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．‎ ‎（3）集合关系法：即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.‎ ‎11．若函数的零点为，若,则的值满足（ ）‎ A． B． C． D． 的符号不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知条件，确定函数为减函数，又有，利用函数单调性可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，y=在区间都是减函数，‎ 在区间都是减函数，‎ 函数的零点为，即 当时，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点的定义和函数单调性的应用，利用基本初等函数的性质判断函数单调性的方法如下：‎ ‎（1）函数与函数的单调性相反；‎ ‎（2）时，函数与的单调性相反（）；‎ 时，函数与的单调性相同（）.‎ ‎（3）在公共区间上，增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数.‎ ‎12．已知函数任意，都有图象关于点（1,0）对称，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据图象关于点（1,0）对称，得到函数是奇函数，然后求出，再利用函数的周期性,即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 图象关于点（1,0）对称，‎ 函数的图象关于（0,0）对称，即函数是奇函数，‎ 令，得，即，解得，‎ ‎，，即函数的周期为12，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查运用函数的周期性和对称性求值的方法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.‎ 求抽象函数周期常用方法：‎ ‎（1）递推法：若，则，所以周期.‎ ‎（2）换元法：若，令，，则，所以周期．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎ ，解得，‎ 函数的定义域为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域，考查对数函数和二次根式的性质.‎ ‎1、函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，求函数定义域的步骤：‎ ‎（1）写出使函数有意义的不等式（组）；‎ ‎（2）解不等式（组）；‎ ‎（3）写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）‎ ‎2、求函数定义域的主要考虑如下：‎ ‎（1）不为零：即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零；‎ ‎（2）非负：即偶次方根的被开方式其值非负；‎ ‎（3）大于零：对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.‎ ‎（4）特殊位置：正切函数，‎ ‎（5）实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；‎ ‎（6）复合函数定义域，本着内层函数的值域为外层函数定义域的原则求得定义域；‎ ‎（7）组合函数：取各个基本函数定义域的公共部分.‎ ‎14．设是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据偶函数定义域关于对称，求出，即可求出的定义域，再由上为增函数，确定函数的单调性，则等价于，从而得到不等式组 ‎，解不等式即可得出解集.‎ ‎【详解】‎ 是定义在上的偶函数，且在上为增函数，‎ ‎，解得，‎ 的定义域为，且在上为增函数，‎ 在上为减函数；‎ 则等价于，‎ ‎，解得；‎ 原不等式的解集为;‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查偶函数的定义，利用函数的奇偶性和单调性解不等式的问题，考查学生转化思想和计算能力.‎ 已知函数的单调性和奇偶性，解形如的不等式的解法如下：‎ 奇偶性 单调性 转化不等式 奇函数 区间上单调递增 区间上单调递减 偶函数 对称区间上左减右增 对称区间上左增右减 简言之一句话，将函数值不等式问题转化为自变量不等式问题，‎ ‎15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是__________．‎ ‎【答案】跑步 ‎【解析】由题意得， 由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，丙是最高的，参加了跑步比赛。‎ ‎16．已知函数在上单调递增，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由分段函数在各子区间单调递增，衔接点处满足递增，可得关于的不等式组，，由此求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数在上单调递增，‎ 又函数的对称轴；‎ 解得；‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数单调性，已知分段函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：‎ ‎（1）若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上都是单调的；‎ ‎（2）在分段函数的衔接点的取值也满足单调性.‎ 三、解答题 ‎17．已知是复数，与均为实数.‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)； （2）.‎ ‎【解析】分析：（1）利用复数的运算法则化简，由复数为实数的充要条件可得出，从而可得结果；（2）利用复数的运算法则可得，由几何意义列不等式可得结果.‎ 详解：（1）设（，），‎ ‎∴，由题意得， ‎ ‎∴，‎ 由题意得， ‎ ‎∴， ‎ ‎（2）∵，‎ 根据条件得， ‎ 解得，∴实数的取值范围为. ‎ 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算以及复数的几何意义，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎18．已知命题p：关于的方程有实根；命题q：关于的函数在是增函数，若为真，为假，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 命题p：，解得的范围；命题q：对称轴，解得的范围；若为真，‎ 为假，则命题p与命题q一真一假，分类讨论求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：命题p：关于x的方程有实根，则，‎ 解得； ‎ 命题q：关于的函数在是增函数，‎ 所以对称轴，解得.‎ 若为真，为假，则p与q必然一真一假，‎ 所以.，或，‎ 解得，‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的单调性，一元二次方程根与判别式的关系，简单逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力.‎ ‎19．已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为.‎ ‎（1）求的值，并求出在上的解析式；‎ ‎（2）若对任意的，总有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题可知，奇函数在处有意义，得，求出的值，再利用奇函数的定义求出解析式.‎ ‎（2）在上总有，等价于，将问题转化为求函数最小值，通过换元法，设，将函数转化为二次函数求解，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为函数为定义在上的奇函数，‎ 当时，函数解析式为.‎ 所以，解得，‎ 即当时的解析式，‎ 当时，，所以 又因为，所以 ‎（2）由（1）得：当时，，‎ 令，则，‎ 令，则易得出当时，y有最小值-2，即在上的最小值为-2，‎ 因为对任意的，总有，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性、单调性以及函数的最值问题，考查了复合函数问题求解的换元法，不等式恒成立的问题一般转化为函数的最值问题来解.‎ 函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：‎ ‎①存在解；恒成立；‎ ‎②存在解；恒成立；‎ ‎③存在解；恒成立；‎ ‎④存在解；恒成立.‎ ‎20．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：‎ API ‎[0,100]‎ ‎(100,200]‎ ‎(200,300]‎ ‎＞300‎ 空气质量 优良 轻污染 中度污染 重度污染 天数 ‎17‎ ‎45‎ ‎18‎ ‎20‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为.当时，企业没有造成经济损失；当对企业造成经济损失成直线模型（当时造成的经济损失为，当时，造成的经济损失）；当时造成的经济损失为2000元；‎ ‎（1）试写出的表达式；‎ ‎（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有12天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ P(k2≥k0)‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）根据已知，时对企业没有造成经济损失；当时经济损失成直线模型，斜率为，则；当时造成的经济损失为2000元；可得函数关系式；‎ ‎（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎（2）根据以上数据得到如下列联表：‎ 则计算可得 所以有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的应用和分类变量的独立性检验，考查学生计算能力.‎ ‎21．函数对任意的都有，并且时，恒有.‎ ‎（1）求证：在R上是增函数；‎ ‎（2）若解不等式.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）利用函数单调性的定义，设，且，得，由，得，所以是R上的增函数.‎ ‎（2）由，通过递推法求得，进而将等价于，因为在R上为增函数，则，即可求得不等式得解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设，且，则，所以，‎ ‎，‎ 即，所以是R上的增函数.‎ ‎（2）因为，不妨设，所以,即，，所以.‎ 等价于，‎ 因为在R上为增函数，所以得到，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的应用，函数单调性的证明及应用，以及抽象不等式的求解，考查转化思想和计算能力，抽象函数的单调性常用定义法证明，抽象不等式的求解往往通过函数的性质转化为具体不等式处理.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点坐标为，直线交曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t的二次，再由韦达定理得到.‎ 解析：‎ ‎（1）由消去参数，得直线的普通方程为 又由得，‎ 由得曲线的直角坐标方程为 ‎（2）其代入得，‎ 则 所以.‎ ‎23．已知函数．‎ ‎(1)当时，求关于x的不等式的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式有解，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）将代入函数，根据零点分段法去掉绝对值，分别建立不等式组，解不等式组取并集；‎ ‎（2）根据不等式有解等价于，又根据三角不等式得，即函数的最小值为，将问题转化为，求解即可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，不等式为.‎ 若，则即；‎ 若，则舍去；‎ 若，则即；‎ 综上，不等式的解集为 ‎（2）因为，得到的最小值为，‎ 所以，得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，考查绝对值的三角不等关系的应用和不等式存在解问题的求解方法.‎ 函绝对值的不等式的解法：‎ ‎（1）定义法；即利用去掉绝对值再解 ‎（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；‎ ‎（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；‎ ‎（4）图象法或数形结合法；‎ ‎（5）不等式同解变形原理.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎