【数学】2019届一轮复习人教A版算法初步、复数、推理与证明学案
第十九单元 算法初步、复数、推理与证明
教材复习课“算法初步、复数、推理与证明”相关基础知识一课过
算法的三种结构
[过双基]
三种基本逻辑结构
名称
内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定 义
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体
程 序 框 图
1．(2018·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )
A．－ B．0
C. D．336
解析：选C 由框图知输出的结果
s＝sin＋sin＋…＋sin，
因为函数y＝sinx的周期是6，
所以s＝336＋sin＋sin＝336×0＋＋＝.
2．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－，则输入的角θ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由输出y＝－<0，排除A、C，又当θ＝－时，输出y＝－，故选D.
3．执行如图所示的程序框图，已知输出的s∈[0,4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n－m的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由程序框图得s＝作出s的图象如图所示．若输入的t∈[m，n]，输出的s∈[0,4]，则由图象得n－m的最大值为4.
4．某程序框图如图所示，若输出的p值为31，则判断框内应填入的条件是( )
A．n>2? B．n>3?
C．n>4? D．n>5?
解析：选B 运行程序：p＝1，n＝0；n＝1，p＝2；n＝2，p＝6；n＝3，p＝15；n＝4，p＝31，根据题意，此时满足条件，输出p＝31，即n＝3时不满足条件，n＝4时满足条件，故选B.
[清易错]
1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝________.
解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝1＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－
＝2－.
若该程序运行后输出的值是，
则2－＝， 解得a＝3.
答案：3
复数的基本运算
[过双基]
1．复数的有关概念
名称
内容
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为，虚部为
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为 ＝a＋bi，则向量的长度叫做复数 ＝a＋bi的模
| |＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
设 1＝a＋bi， 2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法： 1＋ 2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法： 1－ 2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法： 1· 2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝
(c＋di≠0)．
1．(2016·全国卷Ⅲ)若 ＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
解析：选D ∵ ＝4＋3i，∴＝4－3i，| |＝＝5，
∴＝＝－i.
2．若复数 满足(1＋i) ＝|＋i|，则在复平面内，对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 由题意，得 ＝＝＝1－i，所以＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．
3．复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选A 因为＝＝1＋i，所以复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为2.
4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则 ＝________.
解析：∵＝＝＝＝2－i，
∴ ＝2＋i.
答案：2＋i
[清易错]
1．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
2．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若 1， 2∈C， ＋ ＝0，就不能推出 1＝ 2＝0； 2<0在复数范围内有可能成立．
1．已知∈R，且m∈R，则|m＋6i|＝( )
A．6 B．8
C．8 D．10
解析：选D ＝＝，
因为复数∈R，故m＝8，
所以|m＋6i|＝|8＋6i|＝10.
2．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝______.
解析：＝＝－1＋2i，
由＝a＋bi，得－1＋2i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
答案：1
合情推理与演绎推理
[过双基]
1．合情推理
类型
定义
特点
归纳
推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比
推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
2．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
1．已知和都是无理数，试证：＋也是无理数，某同学运用演绎推理证明如下：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．以上都可能
解析：选A 大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误；
小前提：和都是无理数，正确；
结论：＋也是无理数，正确，
故只有大前提错误．
2.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与x轴，直线y＝h(h＞0)及渐近线y＝x所围成的阴影部分(如图)绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为________．
解析：由题意可知，该几何体的横截面是一个圆环，设圆环的外半径与内半径分别为R，r，
其面积S＝π(R2－r2)．
∵－＝1⇒R2＝a2＋y2，
同理：r2＝y2，
∴R2－r2＝a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积，为πa2h.
答案：πa2h
3．有如下等式：
以此类推，则2 018出现在第________个等式中．
解析：①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，
……
其规律为：各等式首项分别为2×1,2×(1＋3)，2×(1＋3＋5)，…，
所以第n个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n－1)]＝2×＝2n2,
当n＝31时，等式的首项为2×312＝1 922,
当n＝32时，等式的首项为2×322＝2 048,
所以2 018在第31个等式中．
答案：31
证明方法
[过双基]
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……，所以……
或由……，得……
要证……，只需证……，即证……
2．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
(2)用反证法证明的一般步骤：
①反设——假设命题的结论不成立；
②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；
③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
3．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝ ( ≥n0， ∈N*)时命题成立，证明当n＝ ＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
1．(2018·成都一模)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：选D a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
2．如果命题p(n)对n＝ ( ∈N*)成立，则它对n＝ ＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是( )
A．p(n)对所有正整数n都成立
B．p(n)对所有正偶数n都成立
C．p(n)对所有正奇数n都成立
D．p(n)对所有自然数n都成立
解析：选B 由题意n＝ 成立，则n＝ ＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立．
3．下列命题适合用反证法证明的是________．(填序号)
①已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；
②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，
求证：和中至少有一个小于2；
③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
解析：①是“否定”型命题，②是“至少”型命题，③是“唯一”型命题，且命题中条件较少，④中条件较少，不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．
答案：①②③④
一、选择题
1．若 ＝i(3－2i)(其中i为复数单位)，则＝( )
A．3－2i B．3＋2i
C．2＋3i D．2－3i
解析：选D 由 ＝i(3－2i)＝2＋3i，得＝2－3i.
2．已知i为虚数单位，a为实数，复数 ＝在复平面上对应的点在y轴上，则a为( )
A．－3 B．－
C. D．3
解析：选A ∵ ＝＝＝，
又复数 ＝在复平面上对应的点在y轴上，
∴解得a＝－3.
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：选C 0⇔(a－c)(2a＋c)>0
⇔(a－c)(a－b)>0.
4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝ ”变到“n＝ ＋1”时，左边应增乘的因式是( )
A．2 ＋1 B．2(2 ＋1)
C. D.
解析：选B 当n＝ ( ∈N*)时，
左式为( ＋1)( ＋2) ·…·( ＋ )；
当n＝ ＋1时，左式为( ＋1＋1)( ＋1＋2)·…·( ＋1＋ －1)( ＋1＋ )( ＋1＋ ＋1)，
则左边应增乘的式子是＝2(2 ＋1)．
5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C 运行该程序， ＝0，s＝1， <3；
＝0＋1＝1，s＝＝2， <3；
＝1＋1＝2，s＝＝， <3；
＝1＋2＝3，s＝＝，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为.
6．若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝
B．dn＝
C．dn＝
D．dn＝
解析：选D 因为数列{an}是等差数列，所以bn＝＝a1＋(n－1)·(d为等差数列{an}的公差)，{bn}也为等差数列，因为正项数列{cn}是等比数列，设公比为q，则dn＝＝＝c1q，所以{dn}也是等比数列．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内应填的内容是( )
A．n<98? B．n<99?
C．n<100? D．n<101?
解析：选B 由＝＝－，
可知程序框图的功能是计算并输出S＝＋＋…＋＝＝的值．
由题意令＝，解得n＝99,
即当n<99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S的值．
8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7,5) B．(5,7)
C．(2,10) D．(10,1)
解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
二、填空题
9．M＝＋＋＋…＋与1的大小关系为__________．
解析：因为M＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
<＋＋＋…＋＝1，
所以M<1.
答案：M<1
10．若复数 ＝(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝________.
解析：因为复数 ＝＝＝1－ai，
所以－a＝1，即a＝－1.
答案：－1
11．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝________.
解析：a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2.
答案：2
12．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析：∵f(21)＝，f(22)＞2＝，
f(23)＞，f(24)＞，
∴归纳得f(2n)≥(n∈N*)．
答案：f(2n)≥(n∈N*)
三、解答题
13．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，
求证：＋＜＋.
证明：要证＋＜＋，
只需证(＋)2＜(＋)2，
即证a＋d＋2＜b＋c＋2，
因为a＋d＝b＋c，所以只需证＜，即证ad＜bc，
设a＋d＝b＋c＝t，
则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，
故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得
所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)，得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，
则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因为p，q，r∈N*，所以
所以2＝pr，(p－r)2＝0.
所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
高考研究课(一)
算法与程序框图考查2类型——推结果、填条件
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
循环结构
5年10考
循环结构程序框图的输出功能及应用
程序框图补条件
5年1考
补全满足框图的条件
程序框图的推结果问题
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
[解析] (1)运行程序框图，
a＝－1，S＝0， ＝1， ≤6成立；
S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1， ＝2， ≤6成立；
S＝－1＋1×2＝1，a＝－1， ＝3， ≤6成立；
S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1， ＝4， ≤6成立；
S＝－2＋1×4＝2，a＝－1， ＝5， ≤6成立；
S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1， ＝6， ≤6成立；
S＝－3＋1×6＝3，a＝－1， ＝7， ≤6不成立，输出S＝3.
(2)当输入x＝7时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x成立，故a＝1，输出a的值为1.
当输入x＝9时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i.
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
[即时演练]
1．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；
运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，
输出x＝，y＝6.由于点在直线y＝4x上，故选C.
2．执行如图所示的程序框图，输出的s是________．
解析：第一次循环：i＝1，s＝1；第二次循环：i＝2，s＝－1；第三次循环：i＝3，s＝2；第四次循环：i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×(－2)＝－6，故输出s＝－6.
答案：－6
程序框图的补全及逆向求解问题
[典例] (1)《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为( )
A．4 B．5
C．7 D．11
(2)一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件为( )
A．i≤9? B．i≤6?
C．i≥9? D．i≤8?
[解析] (1)起始阶段有m＝2a－3，i＝1,
第一次循环：m＝2×(2a－3)－3＝4a－9，i＝2,
第二次循环：m＝2×(4a－9)－3＝8a－21，i＝3,
第三次循环：m＝2×(8a－21)－3＝16a－45，i＝4,
第四次循环：m＝2×(16a－45)－3＝32a－93,
跳出循环，输出m＝32a－93＝35，解得a＝4.
(2)由＝及题意知，该程序框图的功能是计算S＝1－＋－＋…＋－＋－＝－＋的值，由S＝，得i＝9.
故空白处应填入的条件为：i≤9.
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
程序框图的补全及逆向求解问题
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
[即时演练]
1．执行如图所示的程序框图，若输出 的值为16，则判断框内可填入的条件是( )
A．S<？ B．S>？
C．S>？ D．S<？
解析：选D 运行程序： ＝10，S＝1；S＝， ＝11；S＝， ＝12；S＝， ＝13；S＝， ＝14；S＝， ＝15；S＝＝， ＝16，此时不满足条件，循环结束，输出 ＝16，所以判断框内可填入条件是S<？.
2．运行如图所示的程序框图，若输出的y值的范围是[0,10]，则输入的x值的范围是________．
解析：该程序的功能是计算分段函数的值，
y＝
当x＜－1时，由0≤3－x≤10，可得－7≤x＜－1；
当－1≤x≤1时，0≤x2≤10成立；
当x＞1时，由0≤x＋1≤10，可得1＜x≤9，
综上，输入的x值的范围是[－7,9]．
答案：[－7,9]
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：选D 程序框图中A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n，所以判断框中应填入A≤1 000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋2.
2．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D 执行程序框图，S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2；S＝100－10＝90，M＝1，t＝3，S<91，输出S，此时，t＝3不满足t≤N，所以输入的正整数N的最小值为2.
3．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7 B．12
C．17 D．34
解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2， ＝1；
第二次运算：s＝2×2＋2＝6， ＝2；
第三次运算：s＝6×2＋5＝17， ＝3>2，
结束循环，s＝17.
4.(2016·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，
n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，
s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，
n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，
s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，
退出循环，输出n＝4.故选B.
5.(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
6．(2014·全国卷Ⅰ)执行如图所示程序框图，若输入的a，b， 分别为1,2,3，则输出的M＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 第一次循环：M＝，a＝2，b＝，n＝2；
第二次循环：M＝，a＝，b＝，n＝3；
第三次循环：M＝，a＝，b＝，n＝4.
则输出M＝.
7．(2014·全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 执行循环体，
第一次循环，M＝2，S＝5， ＝2；
第二次循环，M＝2，S＝7， ＝3.
故输出的S＝7.
一、选择题
1．(2017·山东高考)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )
A．x＞3 B．x＞4
C．x≤4 D．x≤5
解析：选B 当x＝4时，若执行“是”，则y＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y＝log24＝2，满足题意，故应执行“否”．故判断框中的条件可能为x＞4.
2．执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2，则输出的b的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．4
解析：选A 第一次循环，a＝，b＝1，i＝2；第二次循环，a＝－1，b＝－2，i＝3；第三次循环，a＝2，b＝4，i＝4；第四次循环，a＝，b＝1，i＝5；……；由此可知b的值以3为周期出现，且当i＝2 019时退出循环，此时共循环2 018次，又2 018＝3×672＋2，所以输出的b的值为－2.
3．某班有50名学生，在一次数学考试中，an表示学号为n
的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是( )
A．P表示成绩不高于60分的人数
B．Q表示成绩低于80分的人数
C．R表示成绩高于80分的人数
D．Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数
解析：选D P表示成绩低于60分的人数，Q表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R表示成绩不低于80分的人数．
4．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N＝＝8>3；
第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；
第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；
第四次循环，6能被3整除，N＝＝2<3，结束循环，
故输出N的值为2.
5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A．3 B．－6
C．10 D．－15
解析：选D 第一次执行程序，得到S＝0－12＝－1，i＝2；
第二次执行程序，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；
第三次执行程序，得到S＝3－32＝－6，i＝4；
第四次执行程序，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；
第五次执行程序，得到S＝10－52＝－15，i＝6，
结束循环，输出的S＝－15.
6．某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表：
组别(i)
睡眠时间
组中值( i)
频数
频率(Pi)
1
[4.5,5.5)
5
2
0.04
2
[5.5,6.5)
6
6
0.12
3
[6.5,7.5)
7
20
0.40
4
[7.5,8.5)
8
18
0.36
5
[8.5,9.5)
9
3
0.06
6
[9.5,10.5)
10
1
0.02
现根据如下程序框图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框①中应填入的条件是( )
A．i＞4? B．i＞5?
C．i＞6? D．i＞7?
解析：选B 根据题目中程序框图，用计算机统计平均睡眠时间，总共执行6次循环，则判断框①中应填入的条件是i>5(或i≥6？)．
7．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y的值为3，那么应输入x＝( )
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选B 该程序的作用是计算分段函数y＝的函数值，
由题意，若x＞6，则当y＝3时，x－3＝3，解得x＝6，舍去；
若x≤2，则当y＝3时，5－x＝3，解得x＝2，
故输入的x值为2.
8．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )
A．i≤30？；p＝p＋i－1
B．i≤29？；p＝p＋i＋1
C．i≤31？；p＝p＋i
D．i≤30？；p＝p＋i
解析：选D 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故①中应填写“i≤30？”．又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，故②中应填p＝p＋i.
二、填空题
9．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．
解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y＝所以当输入的x的值为时，y＝2＋log2＝2－4＝－2.
答案：－2
10．按下列程序框图来计算：
如果输入的x＝5，则应该运算________次才停止．
解析：由题意，该程序按如下步骤运行：
经过第一次循环得到x＝3×5－2＝13，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第二次循环得到x＝3×13－2＝37，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第三次循环得到x＝3×37－2＝109，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第四次循环得到x＝3×109－2＝325，因为325＞200，结束循环并输出x的值
因此，运算进行了4次后，输出x值而程序停止．故答案为4.
答案：4
11．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示. 执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始)，直到结束为止，则输出的s＝________.
解析：运行程序：
x＝3，n＝3， ＝0，s＝0；a＝2，s＝2， ＝1；a＝3，s＝9， ＝2；a＝5，s＝32， ＝3；a＝7，s＝103， ＝4，此时满足条件，循环结束，输出s＝103.
答案：103
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a＝________.
解析：运行程序，可得a＝10，i＝1，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝5，i＝2，不满足i≥5，满足a是奇数，a＝16，i＝3，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝8，i＝4，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝4，i＝5，满足i≥5，退出循环，输出a的值为4.
答案：4
13．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．
解析：第一次循环结束时，n＝2，x＝3，y＝1；
第二次循环结束时，n＝4，x＝9，y＝3；
第三次循环结束时，n＝6，x＝27，y＝3.
此时满足n>4，
结束循环，输出logyx＝log327＝3.
答案：3
14．(2018·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.
解析：第一次循环，得S＝2；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，结束循环，输出的n＝4.
答案：4
1．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，…，A16
，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )
图1
图2
A．6 B．7 C．10 D．16
解析：选C 由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，
所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，
因此输出结果为10.
2．如果执行程序框图，如果输出的S＝2 550，则判断框内应填入的条件是( )
A． ≤50? B． ≥51?
C． ＜50? D． ＞51?
解析：选A 根据题中的程序框图，可得
该程序经过第一次循环得到S＝2， ＝2；
经过第二次循环得到S＝2＋4， ＝3；
经过第三次循环得到S＝2＋4＋6， ＝4；
……
设经过第n次循环得到2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＝2 550，
解得n＝50，
由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S＝2 550，
∴判断框应填入的条件是 ≤50？.
高考研究课(二)
数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、运算、意义
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
复数的有关概念
5年4考
虚部、模等有关概念与运算结合考查
复数的几何意义
5年2考
与运算结合考查几何意义
复数的运算
5年6考
考查乘法、除法、幂的运算
复数的有关概念
[典例] (1)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知复数 满足＝|2－i|，则 的共轭复数对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)若复数 满足 (1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则| |＝( )
A．1 B．2
C. D.
[解析] (1)∵复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.
(2)∵＝|2－i|＝，∴ ＝＋i，
则 的共轭复数－i对应的点(，－)位于复平面内的第四象限.
(3)法一：设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则由 (1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以 ＝1＋i，故| |＝＝.
法二：由 (1＋i)＝2i，得 ＝＝＝i－i2＝1＋i，所以| |＝＝.
[答案] (1)D (2)D (3)C
[方法技巧]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
[即时演练]
1．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若 ＝a＋ i， ·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A 法一：由题意可知＝a－i，
∴ ·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二： ·＝| |2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
2．若复数(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位)，则复数 ＝a＋(a－3)i在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：∵＝＝＝＋i是纯虚数，
∴解得a＝2.
∴ ＝2－i，在复平面内对应的点(2，－1)位于第四象限．
答案：四
3．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴∴或
∴a2＋b2＝5，ab＝2.
答案：5 2
复数的代数运算
[典例] (1)i为虚数单位，则2 018＝( )
A．－i B．－1
C．i D．1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
[解析] (1)∵＝＝＝－i，
∴2 018＝(－i)2 018
＝(－i)2 016·(－i)2＝－1.
(2)＝＝＝2－i.
(3)(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
[答案] (1)B (2)D (3)B
[方法技巧]
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
[提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
[即时演练]
1．设复数 ＝1＋i(i是虚数单位)，则＋ 2＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A ＋ 2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
2．已知复数 ＝，是 的共轭复数，则 ·＝________.
解析：∵ ＝＝
＝
＝
＝＝－＋i，
故＝－－i，
∴ ·＝＝＋＝.
答案：
3．已知i是虚数单位，2 018＋6＝________.
解析：原式＝1 009＋6＝1 009＋i6＝i1 009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.
答案：－1＋i
复数的几何意义
[典例] (1)已知复数 ＝a＋i(a∈R)．若| |<，则 ＋i2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] (1)因为复数 ＝a＋i(a∈R)．若| |<，则<，解得－1＜a＜1，所以 ＋i2＝a－1＋i在复平面内对应的点(a－1,1)位于第二象限.
(2)复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
其在复平面内对应的点(a＋1,1－a)在第二象限，
故解得a＜－1.
[答案] (1)B (2)B
[方法技巧]
(1)复数 、复平面上的点 及向量相互联系，即 ＝a＋bi(a，b∈R)⇔ (a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[即时演练]
1.如图，若向量对应的复数为 ，则 ＋表示的复数为( )
A．1＋3i
B．－3－i
C．3－i
D．3＋i
解析：选D 由图可得 (1，－1)，即 ＝1－i，所以 ＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
2．若 ＝(a－2)＋(a＋1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ ＝(a－2)＋(a＋1)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴解得－1＜a＜2.
即实数a的取值范围是(－1,2).
答案：(－1,2)
1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数 满足∈R，则 ∈R；
p2：若复数 满足 2∈R，则 ∈R；
p3：若复数 1， 2满足 1 2∈R，则 1＝2；
p4：若复数 ∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选B 设复数 ＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴ ∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵ 2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设 1＝x＋yi(x，y∈R)， 2＝c＋di(c，d∈R)，则 1 2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx
＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取 1＝1＋2i， 2＝－1＋2i， 1≠2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵ ＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，
∴p4是真命题．
2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数 ＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数 ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝.
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知 ＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－30)，
则两边平方得，则3＋2＝m2,
即3＋2m＝m2，解得m＝3或m＝－1(舍去)．
2．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
归纳推理
[典例] (1)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放．从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________；f(n)＝________(答案用n表示)．
(2)(2016·山东高考)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
[解析] (1)由题意知，f(1)＝1，f(2)＝1＋1＋2，f(3)＝1＋1＋2＋1＋2＋3，…，
f(n)＝1＋1＋2＋1＋2＋3＋…＋1＋2＋3＋…＋n,
分析可得：f(n)－f(n－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝＝＋；
f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋[f(n－2)－f(n－3)]＋…＋f(2)－f(1)＋f(1)
＝(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3…＋n)＝n(n＋1)(2n＋1)＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)．
(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
[答案] (1)10 n(n＋1)(n＋2) (2)n(n＋1)
[方法技巧]
归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性
[即时演练]
1．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
……
照此规律，第n个等式为________________．
解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
2．已知结论“a1，a2∈R＋，且a1＋a2＝1，则＋≥4；若a1，a2，a3∈R＋，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋≥9”，请猜想若a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，则＋＋…＋≥________.
解析：由题意知，结论左端各项分别是和为1的各数ai的倒数(i＝1,2，…，n),
右端n＝2时为4＝22，n＝3时为9＝32,
故ai∈R＋，a1＋a2＋…＋an＝1时，结论为＋＋…＋≥n2(n≥2).
答案：n2
演绎推理
[典例] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
[方法技巧]
演绎推理的推理过程中的2个注意点
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
[即时演练]
已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2∈R，取x1x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x10，f(x2)>f(x1)．
∴y＝f(x)为R上的单调增函数．
1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：
选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
2．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析：选B 法一：取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，
③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
法二：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C，故选B.
3．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案：1和3
4．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
解析：选A 根据题意，依次分析4个推理：
对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；
对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；
对于③，不是合情推理，
对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.
2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )
A．正方形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．以上均不正确
解析：选C 由演绎推理三段论可得，
“平行四边形的对角线相等”为大前提，
“正方形是平行四边形”为小前提，
则结论为“正方形的对角线相等”．
3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
A．731 B．809
C．852 D．891
解析：选B 由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，
则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，
所以这个数是2×405－1＝809.
4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是( )
A．小赵、小谭 B．小马、小宋
C．小马、小谭 D．小赵、小宋
解析：选A 小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，
如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；
小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，
否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；
小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；
小谭说：“小赵说的对”，是假话；
这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，
且“迟到之星”是小赵和小谭．
5．将正整数排列如下：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则图中数2 018出现在( )
A．第44行第83列 B．第45行第83列
C．第44行第82列 D．第45行第82列
解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.
6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝( )
A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2
C．3n2－3n D．3n2－3n－1
解析：选A 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，
f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，
f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…
因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 … 2 015 2 016 2 017 2 018
3 5 7 9 ………… 4 031 4 033 4 035
8 12 16 ……………… 8 064 8 068
20 28 …………………… 16 132
………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A．2 019×22 015 B．2 019×22 016
C．2 018×22 017 D．2 018×22 016
解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；
当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；
当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；
当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；
归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.
8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )
A．S2＝S＋S＋S
B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3
D．S＝＋＋
解析：选A 如图，作OD⊥ BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2
＝S＋S＋S.
二、填空题
9．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
答案：
10．(2018·湛江一模)如图，已知点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO
，并延长交对边于A1，B1，C1则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则有____________．
解析：猜想：若O为四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则＋＋＋＝1.用等体积法证明如下：＋＋＋＝＋＋＋＝1.
答案：＋＋＋＝1
11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；
(ⅱ)女学生人数多于教师人数；
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x，y， ，
则 ＜y＜x＜2 .
①若教师人数为4，则4＜y＜x＜8，
当x＝7时，y取得最大值6.
②当 ＝1时，1＝ ＜y＜x＜2，不满足条件；
当 ＝2时，2＝ ＜y＜x＜4，不满足条件；
当 ＝3时，3＝ ＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件．
所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.
答案：6 12
12．已知cos＝，
coscos＝，
coscoscos＝，
……
(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；
(2)若数列{an}中，a1＝cos，a2＝coscos，
a3＝coscoscos，…，
前n项和Sn＝，则n＝________.
解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为
coscos·…·cos＝(n∈N*)．
(2)由(1)可知an＝，故Sn＝＝1－
＝＝，解得n＝10.
答案：(1)coscos·…·cos＝(n∈N*)
(2)10
三、解答题
13．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B＞，∴A＞－B，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求f(6)的值；
(2)求f(n)的表达式；
(3)求证：当n≥2时，＋＋＋…＋＜.
解：(1)f(1)＝1，
f(2)＝1＋4＝5，
f(3)＝1＋4＋8＝13，
f(4)＝1＋4＋8＋12＝25，
f(5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41，
f(6)＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)，
f(n－1)－f(n－2)＝4×(n－2)，
f(n－2)－f(n－3)＝4×(n－3)，
……
f(2)－f(1)＝4×1，
∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]
＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.
(3)证明：当n≥2时，＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－.
由于g(n)＝－为递增数列，
即有g(n)≥g(1)＝1，且g(n)＜，
故＋＋＋…＋＜.
1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：
(1)甲同学没有加入“楹联社”；
(2)乙同学没有加入“汉服社”；
(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；
(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；
(5)乙同学不在高三年级．
则甲同学所在的社团是( )
A．楹联社 B．书法社
C．汉服社 D．条件不足无法判断
解析：选C 假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾，
结合(5)知，乙在高二年级．根据(3)，可得乙加入“书法社”．
根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”，
可得甲同学所在的社团是汉服社.
2．已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C ∵13＋23＝32＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，
……
∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝.
∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，
∴＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，
∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.
高考研究课(四)
证明4方法 ——综合法、分析法、反证法、数学归纳法
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
直接证明与间接证明
5年6考
综合法、分析法、反证法证明问题
数学归纳法
未考查
分析法
[典例] 已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
[证明] a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.
只需证|a|＋|b|≤ |a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
[方法技巧]
分析法证明问题的思路与适用范围
(1)分析法的思路：
“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．
(2)分析法证明问题的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
[即时演练]
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC的三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立.
综合法
综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一．通常在解答题中出现．
常见的命题角度有：
(1)立体几何证明题；
(2)数列证明题；
(3)与函数、方程、不等式结合的证明题．
角度一：立体几何证明题
1.如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，EF∥BC，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
角度二：数列证明题
2．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2.解：(1)因为函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，
所以令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)·f(1)，
所以f(n＋1)＝f(n)·f(1)．
又因为f(1)＝，所以＝，
所以f(n)＝n(n∈N*)．
(2)证明：由(1)得an＝n·n，
设Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，则
Tn＝1×＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n，①
所以Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－2)n－1＋(n－1)×n＋n×n＋1，②
所以由①－②得
Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n－n·n＋1＝－n·n＋1＝1－n－n·n＋1＝1－，
所以Tn＝2－<2，
即a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an<2.
角度三：与函数、方程、不等式结合的证明题
3．已知定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a0.
∵f(x)的图象上有一点处的切线的斜率为－a，
∴方程ax2＋bx＋c＋a＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4a(a＋c)≥0，即b2－4a(－b)≥0，
整理得2＋4·≥0，解得≥0或≤－4.
由a＋b＋c＝0，b－.
由a0，∴b2－4ac>0，
故方程f′(x)＝0必有两个不相等的实数根，
设为x1，x2，且x1－2.
若f′(x)在区间(s，t)上恒非负，则有x1≤s0)，数列{an}满足a1＝(a＞0)，an＋1＝f(an)(n∈N*)
(1)求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解：(1)∵f(x)＝(x>0)，数列{an}满足a1＝(a＞0)，an＋1＝f(an)(n∈N*)，
∴an＋1＝，∴a2＝，a3＝，a4＝.
猜想an＝.
(2)利用数学归纳法证明：an＝.
①当n＝1时，由(1)可知成立．
②假设n＝ ( ≥1， ∈N*)时成立，即a ＝.
则n＝ ＋1时，
a ＋1＝＝，
因此n＝ ＋1时也成立，
综上可得，an＝对于n∈N*都成立．
[方法技巧]
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题．
1．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0.
(1)求a；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－21时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.
综上，a＝1.
(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－xln x(x>0)，
f′(x)＝2x－2－ln x.
设h(x)＝2x－2－ln x，则h′(x)＝2－.
当x∈时，h′(x)<0；
当x∈时，h′(x)>0.
所以h(x)在上单调递减，在上单调递增．
又h(e－2)>0，h<0，h(1)＝0，所以h(x)在上有唯一零点x0，在上有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0,1)时，h(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.
因为f′(x)＝h(x)，
所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．
由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，
故f(x0)＝x0(1－x0)．
由x0∈，得f(x0)<.
因为x＝x0是f(x)在(0,1)的最大值点，
由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0，得f(x0)>f(e－1)＝e－2.
所以e－20，证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；
解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.
(2)证明：因为a1>0，公比q>1，
所以a1，a2，…，an是递增数列．
因此，对i＝1,2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.
于是对i＝1,2，…，n－1，
di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.
因此di≠0且＝q(i＝1,2，…，n－2)，
即d1，d2，…，dn－1是等比数列．
4．(2014·安徽高考)设实数c>0，整数p>1，n∈N*.
(1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px；
(2)数列{an}满足a1>c，an＋1＝an＋a.
证明：an>an＋1>c.
证明：(1)用数学归纳法证明：
①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设p＝ ( ≥2， ∈N*)时，不等式(1＋x) >1＋ x成立．
当p＝ ＋1时，(1＋x) ＋1＝(1＋x)(1＋x) >(1＋x)·(1＋ x)＝1＋( ＋1)x＋ x2>1＋( ＋1)x.
所以p＝ ＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
(2)先用数学归纳法证明an>c.
①当n＝1时，由题设知a1>c成立．
②假设n＝ ( ≥1， ∈N*)时，不等式a >c成立．
由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*.
当n＝ ＋1时，＝＋a＝1＋.
由a >c>0得－1<－<<0.
由(1)中的结论得p＝p>1＋p·＝.
因此a>c，即a ＋1>c.
所以n＝ ＋1时，不等式an>c也成立．
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．
再由＝1＋可得<1，即an＋1an＋1>c，n∈N*.
一、选择题
1．设x＝，y＝－， ＝－，则x，y， 的大小关系是( )
A．x>y> B． >x>y
C．y> >x D．x> >y
解析：选D 由题意知x，y， 都是正数，又x2－ 2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴x> .
∵＝＝>1，∴ >y，∴x> >y.
2．对于定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对任意正实数ξ，∃x0∈D，使得0<|f(x0)－c|<ξ恒成立，则称函数y＝f(x)为“敛c函数”．现给出如下函数：
①f(x)＝x(x∈ )；②f(x)＝x＋1(x∈ )；
③f(x)＝log2x；④f(x)＝.
其中为“敛1函数”的有( )
A．①② B．③④
C．②③④ D．①②③
解析：选C 由题意知，函数f(x)为“敛1函数”等价于存在x0属于f(x)的定义域，使得f(x0)无限接近于1.对于①，f(x)＝x(x∈ )，当x＝1时，f(x)＝1，当x≠1时，|f(x)－1|≥1，故①中函数不是“敛1函数”；对于②③④中函数，作出函数图象，结合“敛1函数”的定义易知它们都是“敛1函数”．故选C.
3．(2018·大连一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)－
B.－<－
C.－＝－
D．不能确定
解析：选B 由题意知，(－)－(－)＝(＋)－ (＋)，
因为(＋)2－(＋)2
＝2[－]
＝2(－)<0，
所以－<－.
6．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a＋，b＋，c＋三个数( )
A．都大于6 B．至少有一个不大于6
C．都小于6 D．至少有一个不小于6
解析：选D 设a＋，b＋，c＋都小于6，
则a＋＋b＋＋c＋＜18,
利用基本不等式，可得a＋＋b＋＋c＋≥2 ＋2 ＋2 ＝8＋4＋6＝18，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以a＋，b＋，c＋三个数至少有一个不小于6.
二、填空题
7．(2018·太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设____________________．
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
答案：x≠－1且x≠1
8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．
解析：法一：(补集法)
令解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
法二：(直接法)
依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
得－0，即x1y1＋x1y2＋x1y3＋x1y4＋ x2y1＋x2y2＋x2y3＋x2y4＋x3y1＋x3y2＋x3y3＋x3y4＋x4y1＋x4y2＋x4y3＋x4y4>0，即T1＋T2＋T3＋T4>0，即T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数．选A.
2．设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2.
(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明．
解：(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则Fn(1)＝n－1＞0，
Fn＝1＋＋2＋…＋n－2
＝－2＝－＜0，
所以Fn(x)在内至少存在一个零点．
又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，
故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，
即－2＝0，故xn＝＋x.
(2)由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，
gn(x)＝，x＞0.
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)．
①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－(1－x)2＜0，
所以f2(x)＜g2(x)成立．
②假设n＝ ( ≥2， ∈N*)时，不等式成立，
即f (x)＜g (x)．
那么，当n＝ ＋1时，
f ＋1(x)＝f (x)＋x ＋1＜g (x)＋x ＋1＝＋x ＋1＝.
又g ＋1(x)－
＝，
令h (x)＝ x ＋1－( ＋1)x ＋1(x＞0)，
则h′ (x)＝ ( ＋1)x － ( ＋1)x －1
＝ ( ＋1)x －1·(x－1)．
所以当0＜x＜1时，h′ (x)＜0，h (x)在(0,1)上递减；
当x＞1时，h′ (x)＞0，h (x)在(1，＋∞)上递增．
所以h (x)＞h (1)＝0，
从而g ＋1(x)＞.
故f ＋1(x)＜g ＋1(x)，即n＝ ＋1时不等式也成立．
由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(x)．
阶段滚动检测(五)检测范围：第一单元至第十九单元(对应配套卷P357)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，设 ＝a＋2i(i是虚数单位)，若复数 2对应的点位于虚轴的正半轴上，则实数a的值为( )
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：选B 因为 ＝a＋2i，
所以 2＝a2－4＋4ai.
因为复数 2对应的点位于虚轴的正半轴上，
所以所以a＝2.
2．设U＝R，集合M＝{x|x2＋x－2>0}，N＝x2x－1≤，则(∁UM)∩N＝( )
A．[－2,0] B．[－2,1]
C．[0,1] D．[0,2]
解析：选A 由题意可得∁UM＝[－2,1]，N＝(－∞，0]，故(∁UM)∩N＝[－2,0]．
3．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝log2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )
解析：选B f(x)，g(x)均为偶函数，则F(x)也为偶函数，由此排除A，D.当x>2时，－x2＋2<0，log2|x|>0，所以F(x)<0，排除C，故选B.
4．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学
95
75
80
94
92
65
67
84
98
71
67
93
64
78
77
90
57
83
72
83
成绩
物理
成绩
90
63
72
87
91
71
58
82
93
81
77
82
48
85
69
91
61
84
78
86
若数学成绩90分(含90分)以上为优秀，物理成绩85(含85分)以上为优秀．参照公式，得到的正确结论是( )
附： 2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
P( 2≥ 0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有99.5 以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
B．没有99.5 以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
C．在犯错误的概率不超过0.1 的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩无关”
D．在犯错误的概率不超过0.1 的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
解析：选A 根据题意可得2×2列联表：
物理优秀
物理不优秀
总计
数学优秀
5
1
6
数学不优秀
2
12
14
总计
7
13
20
则 2＝≈8.802>7.879，因此有99.5 把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．
5．已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若数列{an}与{Sn＋2}都是公比为q的等比数列，则q的值为( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C 根据题意可得：＝q，即＝q，解得q＝.
6．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：当学生A最后一个出场时，有AA＝18种不同的安排方法；当学生A不是最后一个出场时，有AA＝36种不同的安排方法，所以满足“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的所有不同安排方法有18＋36＝54种．其中“C第一个出场”的结果有AA＝18种，则所求概率为＝.
法二：“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C第一个出场”的概率是.
7．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为10，则判断框中填入的条件可以是( )
A．i<10? B．i≤10?
C．i≤11? D．i≤12?
解析：选C 由程序框图知，其运行的功能是循环计算并输出s的值，由于s＝0＋dx＋dx＋…＋dx＝ln xe3e2＋ln xe4e3＋…＋ln xei＋1ei＝i－1＝10，解得i＝11，所以当i>11时，不满足判断框内的条件，退出循环，故判断框内应填i≤11？.
8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B 由题意可知，n>4时，5n的末四位数字以T＝4为周期，又因为2 018＝4×503＋6，所以52 018的末四位数字与56的末四位数字相同，即为5 625.
9．(x＋2y)7展开式中系数最大的项为( )
A．68y7 B．112x3y4
C．672x2y5 D．1 344x2y5
解析：选C (x＋2y)7展开式的通项为Tr＋1＝2rCx7－ryr，
设第r＋1项系数最大，
则解得r＝5，所以(x＋2y)7展开式中系数最大的项为T6＝25Cx2y5＝672x2y5.
10．如图， 格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为( )
A．4＋6π B．8＋6π
C．4＋12π D．8＋12π
解析：选B 由三视图可知，该几何体是组合体，下面是一个底面半径为2，高为3的圆柱的一半，上面是一个高为2，底面是一个边长为3,4的矩形的四棱锥，所以该几何体的体积V＝×π×22×3＋×4×3×2＝8＋6π.
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：选D 由题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得即点M(a，b)，
则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，
即－＝2，
－＝2，
化简得，e4－e2－1＝0，解得e2＝.
12．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，函数g(x)满足g′(x)＝f′(x)＋2f(x)，其中f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)和g(x)的导函数，若函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1] B.
C．(1，＋∞) D.
解析：选B 因为f′(x)＝，
所以g′(x)＝f′(x)＋2f(x)＝.
因为函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，
所以g′(x)≥0或g′(x)≤0.
当a＝0时，g′(x)>0，满足题意；
因为ex>0，所以当a<0时， 只需ax2＋2ax＋1≥0在[－1,1]上成立即可，所以a＋2a＋1≥0，则－≤a<0；
当a>0时，只需ax2＋2ax＋1≥0在[－1,1]上成立，所以a－2a＋1≥0，则0320)＝0.5－P(300－20<ξ<300＋20)＝2.275 ，则用电量在320度以上的户数约为1 000P(ξ>320)≈23.
答案：23
14．已知几何体O ABCD的底面ABCD是边长为的正方形，且该几何体体积的最大值为，则该几何体外接球的表面积为________．
解析：因为该几何体体积的最大值为，所以点O到平面ABCD的距离h＝，根据球的性质可得R2＝2＋2，所以R＝，因此该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝8π.
答案：8π
15．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是
＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________.
解析：＝＝8＋，＝＝6＋，回归直线一定经过样本点中心(，)，即6＋＝－3.2＋40，即3.2m＋n＝42.
又因为m＋n＝20，即解得故n＝10.
答案：10
16．设x，y满足约束条件若目标函数 ＝2x－y＋2a＋b(a>0，b>0)的最大值为3，则＋的最小值为________．
解析：
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数 与直线在y轴上的截距的关系可知，当目标函数 ＝2x－y＋2a＋b(a>0，b>0)过点A(1,0)时取得最大值3，即2a＋b＝1，则＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2a＝2－时，＋取得最小值3＋2.
答案：3＋2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，A＝，求△ABC的面积．
解：(1)∵2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C，
由正弦定理得，2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，
化简得，a2＋c2－b2＋ac＝0.
∴cos B＝＝＝－.
∵00时，由f′(x)>0，得xln a，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞)．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，而f(0)＝0，
∴f(x)≤0在R上不可能恒成立；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递增，在(ln a，＋∞)上单调递减，
f(x)max＝f(ln a)＝aln a－a＋1.
令g(a)＝aln a－a＋1，
依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，
∴g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.
(3)证明：由(2)知：a＝1时，f(ln x)＝ln x－x＋1≤0恒成立，所以有ln x≤x－1(x>0)．
则＝＝－1<－1＝－1，
又由ln x≤x－1知－ln x≥1－x在(0，＋∞)上恒成立，
∴＝－1＝－1>－1＝－1.
综上所述：对任意的0
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