数学卷·2018届辽宁省辽河油田二中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届辽宁省辽河油田二中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年辽宁省辽河油田二中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共12道题，满分60分）‎ ‎1．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i ‎2．取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知p：|x|＜2；q：x2﹣x﹣2＜0，则q是p的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若y=，则y′=（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分如图所示，则甲、乙两运动员得分的中位数分别是（　　）‎ A．26 33.5 B．26 36 C．23 31 D．24.5 33.5‎ ‎7．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，则对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球 C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球 ‎8．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）‎ ‎10．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：‎ x ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ y ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程： =﹣x+2.8；但现在丢失了一个数据，该数据应为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．2‎ ‎12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎　‎ 二、填空题（每道小题5分，共4道，满分20分）‎ ‎13．已知复数z1=3+4i，z2=t+i，，且z1•是实数，则实数t等于 　　．‎ ‎14．所给命题：‎ ‎①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；‎ ‎②{x|x2+1=0，x∈R}=∅或{0}=∅；‎ ‎③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；‎ ‎④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．‎ 其中为真命题的序号为　　．‎ ‎15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB的面积为　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（满分70分）‎ ‎17．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．‎ ‎（1）求事件“x+y≤3”的概率；‎ ‎（2）求事件“|x﹣y|=2”的概率．‎ ‎18．已知复数z=（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是：‎ ‎（1）零；‎ ‎（2）虚数；‎ ‎（3）纯虚数；‎ ‎（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．‎ ‎19．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；‎ ‎（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．‎ ‎20．已知双曲线C1：．‎ ‎（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；‎ ‎（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．‎ ‎21．设函数f（x）=x3﹣x2+6x﹣a．‎ ‎（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；‎ ‎（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省辽河油田二中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共12道题，满分60分）‎ ‎1．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】复数方程两边同乗1﹣2i，化简即可．‎ ‎【解答】解：∵（1+2i）z=4+3i，‎ ‎∴（1﹣2i）（1+2i）z=（4+3i）（1﹣2i）‎ ‎5z=10﹣5i，‎ z=2﹣i，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出豆子落入正方形外对应图形的面积，及满足条件“外接圆”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：设正方形的边长为1，‎ 由已知易得：S正方形=1‎ S外接圆=‎ 故豆子落入正方形外的概率P==‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知p：|x|＜2；q：x2﹣x﹣2＜0，则q是p的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出不等式的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由|x|＜2，得﹣2＜x＜2，‎ 由x2﹣x﹣2＜0得﹣1＜x＜2，‎ 则q是p的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，‎ 而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，‎ ‎∴由古典概型公式得到P==，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．若y=，则y′=（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】导数的乘法与除法法则．‎ ‎【分析】因为的导数为，对于函数的导数，直接代入公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵，∴y′=‎ ‎=‎ 故选A ‎　‎ ‎6．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分如图所示，则甲、乙两运动员得分的中位数分别是（　　）‎ A．26 33.5 B．26 36 C．23 31 D．24.5 33.5‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数，乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36．‎ ‎【解答】解：由茎叶图知甲的数据有11个，中位数是中间一个数字26．‎ 乙的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数=33.5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，则对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球 C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】对立事件是在互斥的基础之上，在一次试验中两个事件必定有一个要发生．根据这个定义，对各选项依次加以分析，不难得出选项B才是符合题意的答案．‎ ‎【解答】解：对于A，至少有1个白球和都是白球能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了，‎ 对于B，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个红球”也会发生，‎ 比如恰好一个白球和一个红球，故B不对立；‎ 对于C，恰有1个白球，恰有2个白球是互斥事件，它们虽然不能同时发生 但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立；‎ 对于D，“至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，‎ 而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，‎ 这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；‎ 故选：D ‎　‎ ‎8．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算并输出S=++的值 ‎∵S=++=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．‎ ‎【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定．‎ ‎【分析】由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，‎ ‎∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，‎ ‎∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），‎ ‎∴=，即e2=，‎ ‎∴e=，即此椭圆的离心率为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：‎ x ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ y ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程： =﹣x+2.8；但现在丢失了一个数据，该数据应为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．2‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出的值，代入方程，求出的值，从而求出丢失了的数据．‎ ‎【解答】解：设该数据是a，‎ ‎=0，故=﹣x+2.8=2.8，‎ ‎∴（5+a+2+2+1）=2.8，‎ 解得：a=4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1．利用，即可求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x ‎∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，‎ ‎∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴a2=4b2‎ ‎∴a2=20，b2=5‎ ‎∴椭圆方程为： +=1‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每道小题5分，共4道，满分20分）‎ ‎13．已知复数z1=3+4i，z2=t+i，，且z1•是实数，则实数t等于 　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】首先写出复数的共轭复数，再进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式的标准形式，根据是一个实数，得到虚部为0，得到关于t的方程，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵复数z1=3+4i，z2=t+i，‎ ‎∴z1•=（3t+4）+（4t﹣3）i，‎ ‎∵z1•是实数，‎ ‎∴4t﹣3=0，‎ ‎∴t=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．所给命题：‎ ‎①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；‎ ‎②{x|x2+1=0，x∈R}=∅或{0}=∅；‎ ‎③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；‎ ‎④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．‎ 其中为真命题的序号为　③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形“，对角线互相平分的四边形不一定是菱形；‎ ‎②，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有；‎ ‎③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假；‎ ‎④，满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°．‎ ‎【解答】解：对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错 对于②，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有，故错；‎ 对于③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假，故正确；‎ 对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°，故正确．‎ 故答案为：③④‎ ‎　‎ ‎15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB的面积为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设∠AFx=θ（0＜θ＜π，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．‎ ‎【解答】解：设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，‎ ‎∵|AF|=3，‎ ‎∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3‎ ‎∴2+3cosθ=3‎ ‎∴cosθ=，‎ ‎∵m=2+mcos（π﹣θ）‎ ‎∴‎ ‎∴△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为 ‎　f（x）=x3+x2﹣8x+6　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】求出f′（x），由函数在x=﹣2处取得极值得到f′（﹣2）=0，又∵函数与直线在点 （1，0 ）处相切，∴f′（1）=﹣3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，又由函数过点（1，0），代入求出c的值，则函数f（x）的表达式可求．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=3x2+2ax+b，‎ ‎∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0，‎ 化简得：12﹣4a+b=0 ①‎ 又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②‎ 联立①②得：a=1，b=﹣8‎ 又f（x）过点（1，0）‎ ‎∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6．‎ ‎∴f（x）=x3+x2﹣8x+6．‎ 故答案为：f（x）=x3+x2﹣8x+6．‎ ‎　‎ 三、解答题（满分70分）‎ ‎17．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．‎ ‎（1）求事件“x+y≤3”的概率；‎ ‎（2）求事件“|x﹣y|=2”的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）列出基本事件，求出基本事件数，找出满足“x+y≤3”的种数，再根据概率公式解答即可；‎ ‎（2）从基本事件中找出满足条件“|x﹣y|=2”的基本事件，再根据古典概型的概率公式解之即可．‎ ‎【解答】解：设（x，y）表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），（6，6），共36个基本事件．‎ ‎（1）用A表示事件“x+y≤3”，‎ 则A的结果有（1，1），（1，2），（2，1），共3个基本事件．‎ ‎∴．‎ 答：事件“x+y≤3”的概率为．‎ ‎（2）用B表示事件“|x﹣y|=2”，‎ 则B的结果有（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（6，4），（5，3），（4，2），（3，1），共8个基本事件．‎ ‎∴．‎ 答：事件“|x﹣y|=2”的概率为．‎ ‎　‎ ‎18．已知复数z=（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是：‎ ‎（1）零；‎ ‎（2）虚数；‎ ‎（3）纯虚数；‎ ‎（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】首先把复数进行整理，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数化成代数形式的标准形式，（1）当这个数字是0时，需要实部和虚部都等于0，（2）当复数是一个虚数时，需要虚部不等于0，（3）当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0，（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数，得到实部和虚部的和等于0．解方程即可．‎ ‎【解答】解：复数z=（2+i）m2﹣﹣2（1﹣i）=2‎ ‎=2m2﹣3m﹣2+（m2﹣3m+2）i ‎（1）当这个数字是0时，‎ 有2m2﹣3m﹣2=0，‎ m2﹣3m+2=0，‎ ‎∴m=2 ‎ ‎（2）当数字是一个虚数，‎ m2﹣3m+2≠0，‎ ‎∴m≠1 m≠2 ‎ ‎（3）当数字是一个纯虚数 有2m2﹣3m﹣2=0，‎ m2﹣3m+2≠0，‎ ‎∴m=﹣‎ ‎（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数 有2m2﹣3m﹣2+m2﹣3m+2=0，‎ ‎∴m=0或m=2‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；‎ ‎（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f'（x），因为函数在x=±1处取得极值，即得到f'（1）=f'（﹣1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到f（1）和f（﹣1）分别是函数f（x）的极小值和极大值；‎ ‎（Ⅱ）先判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y0），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依 题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，‎ 即 解得a=1，b=0．‎ ‎∴f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．‎ 令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．‎ 若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），‎ 则f'（x）＞0，‎ 故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ 若x∈（﹣1，1），‎ 则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数．‎ 所以，f（﹣1）=2是极大值；f（1）=﹣2是极小值．‎ ‎（Ⅱ）解：曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上．‎ 设切点为M（x0，y0），‎ 则点M的坐标满足y0=x03﹣3x0．‎ 因f'（x0）=3（x02﹣1），‎ 故切线的方程为y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）‎ 注意到点A（0，16）在切线上，有16﹣（x03﹣3x0）=3（x02﹣1）（0﹣x0）‎ 化简得x03=﹣8，‎ 解得x0=﹣2．‎ 所以，切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．‎ ‎　‎ ‎20．已知双曲线C1：．‎ ‎（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；‎ ‎（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）先确定双曲线C1：的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，），建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；‎ ‎（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵双曲线C1：，‎ ‎∴焦点坐标为（，0），（，0）‎ 设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），‎ ‎∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）‎ ‎∴，解得 ‎∴双曲线C2的标准方程为 ‎（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x 由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）‎ 由，可得x=﹣m，y=m，∴B（﹣m， m）‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴m2=3‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=x3﹣x2+6x﹣a．‎ ‎（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；‎ ‎（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】（1）先求函数f（x）的导数，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）min≥m成立即可．‎ ‎（2）若欲使方程f（x）=0有且仅有一个实根，只需求出函数的极大值小于零，或求出函数的极小值大于零即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），‎ 因为x∈（﹣∞，+∞），f′（x）≥m，‎ 即3x2﹣9x+（6﹣m）≥0恒成立，‎ 所以△=81﹣12（6﹣m）≤0，‎ 得，即m的最大值为 ‎（2）因为当x＜1时，f′（x）＞0；‎ 当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0；‎ 所以当x=1时，f（x）取极大值；‎ 当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2﹣a；‎ 故当f（2）＞0或f（1）＜0时，‎ 方程f（x）=0仅有一个实根、解得a＜2或 ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，‎ 点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1，‎ 所以a2=b2+c2=2‎ 所以椭圆C1的方程为．‎ ‎（2）直线l的斜率显然存在，‎ 设直线l的方程为y=kx+m，‎ 由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，‎ 因为直线l与椭圆C1相切，‎ 所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0‎ 整理得2k2﹣m2+1=0①‎ 由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0‎ 因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0‎ 整理得km=1②‎ 综合①②，解得或 所以直线l的方程为或．‎ ‎　‎ ‎2017年1月18日