【数学】北京市通州区2019-2020学年高一上学期期末考试试题 （解析版）

【数学】北京市通州区2019-2020学年高一上学期期末考试试题 （解析版）

北京市通州区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 一、选择题 ‎1.函数是（ ）‎ A. 上的增函数 B. 上的减函数 C. R上的增函数 D. R上的减函数 ‎【答案】A ‎【解析】的定义域为,‎ 又,故在上为增函数,‎ 故选:A ‎2.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】选项A中不是周期函数,故排除A;‎ 选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;‎ 故选:C.‎ ‎3.函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数在其定义域上单调递增，‎ ‎（2），（1），‎ ‎（2）（1）．‎ 根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，‎ 故选B．‎ ‎4.在范围内，与角终边相同的角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】与角终边相同的角的集合是:,,‎ 当时,,‎ 在范围内,与角终边相同的角是,‎ 故选:D.‎ ‎5.若角的终边经过点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】】角的终边经过点,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选:C.‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，‎ 可得.‎ 故选C．‎ ‎7.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由可得，‎ 由，得到或，，不能得到，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选A.‎ ‎8.已知函数 若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出的图像如下图所示:‎ 因为(a)(b)(c),且,不妨设,‎ 结合函数图象可知,,,‎ 且即,‎ ‎,‎ 故选:C.‎ 二、填空题 ‎ ‎9.函数的最小正周期为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的周期为 ‎10.函数的最小值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ 的最小值是,‎ 故答案为:.‎ ‎11.三个数，，按由小到大的顺序排列是________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】,,,‎ 三个数,,按由小到大的顺序排列为:,‎ 故答案为:.‎ ‎12.已知函数在上的最大值与最小值的和是2，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】①当时,在上为增函数,‎ 所以在,上最大值为,最小值为;‎ ‎②当,时,在上为减函数,‎ 所以在,上最大值为,最小值为.‎ 故有,即,解得,‎ 又,所以,‎ 故答案为:2.‎ ‎13.能说明“若是奇函数，则的图象一定过原点”是假命题的函数是 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意,所求函数只需满足是奇函数,同时不过原点即可,‎ 显然,函数满足条件.‎ 故答案为:.‎ ‎14.已知函数，（其中，，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为_______，的取值范围是_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】函数在,上为偶函数,且函数有且仅有3个零点,‎ 故必有一个零点为,‎ ‎,‎ ‎;‎ 所以函数,,的零点个数,‎ 等价于函数与直线的图象在,上交点的个数,‎ 而函数相当于函数纵坐标不变,横坐标扩大(或缩小)为原来的倍,‎ 当时,函数与直线在,上仅有一个交点,则;‎ 当时,函数与直线在,上恰有3个零点,如下图所示,故;‎ 当时,函数与直线在,上恰有5个零点,如下图所示,故;‎ 综上所述,的取值范围是,.‎ 故答案为:;,.‎ 三、解答题 ‎15.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)设集合,,,分别指出2,3,4是,,中哪个集合的元素;‎ ‎(Ⅱ)若,,当时,都有,求实数的取值范围.‎ 解：(Ⅰ)函数,‎ 若,解得或,‎ 则或,或,;‎ 所以,,;‎ ‎(Ⅱ)因为二次函数的图象是开口朝上的抛物线,且对称轴是,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 因为,,当时,都有,‎ 所以函数在上单调递增,‎ 所以,‎ 所以,即的取值范围是.‎ ‎16.已知函数， ‎ ‎（Ⅰ）求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值（精确到0.01）.‎ 解：(Ⅰ)函数, ‎ 则有,解得,‎ 即函数的定义域是;‎ ‎(Ⅱ)因为的定义域是,关于原点对称,‎ 且,‎ 所以是偶函数,‎ 所以.‎ ‎17.已知是第二象限角,且,‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求值.‎ 解：(Ⅰ)因为是第二象限角,且,‎ 所以,‎ 所以;‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎18.已知函数的部分图象如图所示. ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对任意都有，求实数m的取值范围.‎ 解：(Ⅰ)设函数最小正周期为,‎ 由图可知,,所以,‎ 又,,所以;‎ 又,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以,即;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,‎ 因为当时,,‎ 所以当,即时,单调递增;‎ 当,即 时,单调递减;‎ 当,即时,单调递增.‎ 所以函数单调递增区间为和,单调递减区间为;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函数在的最大值为,最小值为,‎ 所以对任意,都有,‎ 且当,时,取到最大值,‎ 又因为对任意,都有成立,‎ 所以,即的取值范围是.‎ ‎19.下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).‎ 阶梯 户年用水量 ‎（立方米）‎ 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 ‎0-180（含）‎ ‎5.00‎ ‎2.07‎ ‎1.57‎ ‎1.36‎ 第二阶梯 ‎181-260（含）‎ ‎7.00‎ ‎4.07‎ 第三阶梯 ‎260以上 ‎9.00‎ ‎6.07‎ ‎（Ⅰ）试写出水费(元)与用水量(立方米)之间的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）若某户居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少？‎ 解：(Ⅰ)由北京市居民用水阶梯水价表(单位:元立方米)得到水费(元与用水量(立方米)之间的函数关系式为:‎ ‎;‎ ‎(Ⅱ)由于函数在各区间段为单调递增函数,‎ 所以当时,,‎ 当时,,‎ 所以,‎ 令,解得,‎ 即该用户当年用水量为200立方米,‎ 自来水费为(元),水资源费为(元),污水处理费(元).‎ ‎20.如图，半圆的直径，为圆心，，为半圆上的点.‎ ‎（Ⅰ）请你为点确定位置,使的周长最大，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）已知，设，当为何值时，‎ ‎（ⅰ）四边形的周长最大，最大值是多少? ‎ ‎（ⅱ）四边形的面积最大，最大值是多少?‎ 解：(Ⅰ)点在半圆中点位置时,周长最大.理由如下:‎ 法一:因为点在半圆上,且是圆的直径,‎ 所以,即是直角三角形,‎ 设,,,显然a,b,c均为正数,则,‎ 因为,当且仅当时等号成立,‎ 所以,‎ 所以, ‎ 所以的周长为,当且仅当时等号成立,‎ 即为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点是半圆的中点.‎ 法二:因为点在半圆上,且是圆的直径,‎ 所以,即是直角三角形,‎ 设,,,,‎ 则,,‎ ‎,‎ 因为,所以,‎ 所以当,即时,‎ 周长取得最大值,此时点是半圆的中点.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)因为,所以,‎ 所以,,‎ 设四边形的周长为,‎ 则 ‎,‎ 显然,所以当时,取得最大值;‎ ‎(ⅱ)过作于,‎ 设四边形的面积为,四边形的面积为,的面积为,则 ‎,‎ 所以 ‎;‎ 当且仅当,即时,等号成立,‎ 显然,所以,所以此时,‎ 所以当时,,即四边形的最大面积是.‎