黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期二模考试数学（文）试题 Word版含解析

黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期二模考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019年黑龙江省大庆实验中学高考数学二模试卷（文科）（二）（5月份）‎ 一、单选题（共12小题，共60分）‎ ‎1.设全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁UA的子集的个数是（　　）‎ A. 16 B. 8 C. 7 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，，所以，集合的子集的个数是 ，故选B.‎ ‎2.下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）‎ A. i（1+i）2 B. i2（1﹣i） C. （1+i）2 D. i（1+i）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ , , ,所以选C.‎ ‎3.数列{an}的通项公式为an＝3n2﹣28n，则数列{an}各项中最小项是（　　）‎ A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 二次函数的对称轴为，‎ 数列中的项为二次函数自变量为正整数时对应的函数值，‎ 据此可得：数列各项中最小项是第5项.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4.在矩形中，，，点为的中点，点在，若，则的值（　　）‎ - 24 -‎ A. B. 2 C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点建立直角坐标系，可以得到各点的坐标，然后表示出相应向量的坐标，再对向量进行坐标运算，得到结果.‎ ‎【详解】建立如图所示的坐标系，可得，，，，‎ ‎，，‎ 解得，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选A项．‎ ‎【点睛】本题考查通过建立直角坐标系，将向量问题坐标化后解决，考查了向量坐标的线性运算和数量积，属于中档题.‎ - 24 -‎ ‎5.已知函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像得到函数为偶函数，而且时，，通过排除法排除掉A、B选项，然后通过判断时，的值，排除D选项，从而得到答案.‎ ‎【详解】函数的图象如图所示，函数是偶函数，时，函数值为0．‎ 是偶函数，但是，‎ 是奇函数，不满足题意．‎ 是偶函数，满足题意；‎ 是偶函数，，时，，不满足题意．‎ 故选C项．‎ ‎【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题.‎ ‎6.某程序框图如图所示，若输出S＝3，则判断框中M为（　　）‎ - 24 -‎ A. k＜14？ B. k≤14？ C. k≤15？ D. k＞15？‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由框图程序可知，结合循环结构的终止条件可得解 ‎【详解】由框图程序可知 因为，‎ 所以 所以，解得，即当时程序退出，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎7.实数x，y满足，则z＝4x+3y的最大值为（　　）‎ A. 3 B. 4 C. 18 D. 24‎ - 24 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．‎ ‎【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：‎ ‎，‎ 由，解得A（3，4），‎ 由z＝4x+3y得l：yxz，平移l 结合图象得直线l过A（3，4）时，z最大，‎ z的最大值是24，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，准确画出可行域，确定最优解是关键，是一道中档题．‎ ‎8.在区间[﹣2，2]上随机取一个数b，若使直线y＝x+b与圆x2+y2＝a有交点的概率为，则a＝（　　）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线与圆有交点可得，利用几何概型概率公式列方程求解即可.‎ ‎【详解】因为直线与圆有交点，‎ 所以圆心到直线的距离，，‎ 又因为直线与圆有交点的概率为，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.‎ ‎9.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（　　）‎ A. 34π B. 32π C. 17π D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M - 24 -‎ 半径为r，球心到底面距离为设球心为O，根据勾股定理列出方程即可.‎ ‎【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，‎ 如图所示，‎ 截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，由勾股定理得到 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。‎ ‎10.若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简函数解析式为，利用函数平移法则可得 - 24 -‎ ‎，由奇偶性可得，从而可得结果.‎ 详解】化简函数 ‎ ，‎ 向左平移个单位可得，‎ 因为是偶函数，‎ ‎，，‎ 由可得 的最小正值是，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及三角函数图象的“平移变换”法则，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2） 时，是偶函数.‎ ‎11.设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（　　）‎ A. （16，32） B. （18，34） C. （17，35） D. （6，7）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 画出函数的图象如图所示．‎ - 24 -‎ 不妨令，则，则．‎ 结合图象可得，故．‎ ‎∴．选B．‎ 点睛：‎ 解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到；二是根据图象判断出c的取值范围，进而得到的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围．‎ ‎12.在平面直角坐标系中，点为椭圆的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性，得到、两点的坐标，从而得到，然后根据的范围，得到的范围，从而得到离心率的范围.‎ - 24 -‎ ‎【详解】在轴上，且平行四边形中，，‎ ‎、两点的横坐标相等，‎ 纵坐标互为相反数，即、两点关于轴对称，‎ 而，‎ 可设，，‎ 代入椭圆方程得：，得，‎ 为直线的倾斜角， ，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 而．‎ 椭圆的离心率的取值范围为 ．‎ 故选A项．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率的表示方法，通过几何关系得到的关系，从而求出离心率的范围，属于中档题.‎ 二、填空题（共4小题，共20分）‎ ‎13.曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：曲线在点处切线的斜率，所以切线方程为 - 24 -‎ 即.‎ 考点：导数的几何意义.‎ ‎14.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列正确命题序号是_____．‎ ‎（1）若，，则 ‎（2）若，则 ‎（3）若，且，则；‎ ‎（4）若，，则 ‎【答案】（3）（4）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过线面平行的关系，判断处（1）错误；通过线线垂直和线面垂直的关系，判断出（2）错误；通过线线垂直和线面垂直的关系，判断出（3）正确；通过面面平行的关系，判断出（4）正确.‎ ‎【详解】若，则与可能平行，相交或异面，故（1）错误；‎ 若则或，故（2）错误；‎ 若且，则，故（3）正确；‎ 若，由面面平行的性质可得，故（4）正确；‎ 故答案为：（3）（4）‎ ‎【点睛】本题考查线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直等性质，属于简单题.‎ ‎15.若圆上一点A（2，3）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1＝0相交的弦长为2则圆的方程是_____．‎ ‎【答案】(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y＝0中得到①；把A的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x﹣y+1＝0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程．‎ ‎【详解】设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，‎ ‎∵点A（2，3）关于直线x+2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，‎ ‎∴圆心（a，b）在直线x+2y＝0上，‎ ‎∴a+2b＝0，①‎ ‎（2﹣a）2+（3﹣b）2＝r2．②‎ 又直线x﹣y+1＝0截圆所得的弦长为2，‎ 圆心（a，b）到直线x﹣y+1＝0的距离为d，‎ 则根据垂径定理得：r2﹣（）2＝（）2③‎ 解由方程①、②、③组成的方程组得：‎ 或 ‎ ‎∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2＝52或（x﹣14）2+（y+7）2＝244．‎ 故答案为：(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.‎ ‎【点睛】此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用垂径定理及对称知识化简求值，是一道中档题．要注意解方程组时不要漏解，满足题意的圆方程有两个．‎ ‎16.已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 根据，设函数，得到的单调性和奇偶性，根据函数的性质将所求不等式转化成，从而解出的取值范围.‎ ‎【详解】由是偶函数，‎ 所以当时，由得，‎ 设，则，‎ 即当时，函数为减函数，‎ 由得，即，‎ 因为是偶函数，‎ 所以也是偶函数，‎ 则，等价为，‎ 即，得或，‎ 即的取值范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数与导数的关系，构造新函数，利用函数的性质解不等式，属于中档题.‎ 三.解答题 ‎17.已知向量，＝（sinx，cosx），f（x）＝．‎ ‎（1）求f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的取值集合M；‎ ‎（2）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边若且c＝1，求△ABC的周长的取值范围．‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ 试题分析：（1）利用平面向量数量积运算公式，通过降幂公式及辅助角公式可将化简为，利用三角函数的性质可得最值及集合；（2）由结合角的范围可得，利用余弦定理结合均值不等式可得，结合的值即可得周长的取值范围.‎ 试题解析：（1），，的最大值为，此时 即 ‎ ‎（2） ，, ‎ 由得 ‎ ‎ 又, 故，即周长的范围为.‎ ‎18.在边长为3的正方形中，点，分别在边，上（如左图），且，将，分别沿，折起，使，两点重合于点（如右图）．‎ ‎（1）求证：；‎ - 24 -‎ ‎（2）当时，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，通过线线垂直证明面，从而得到；（2）对三棱锥变换顶点和底面，分别求出的长度，和的面积，利用等体积转化，求出点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）由是正方形及折叠方式，得：，，‎ ‎，平面，‎ 平面，．‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎，‎ ‎，解得．‎ 点到平面的距离为．‎ ‎【点睛】本题考查图形的翻折，由线线垂直证线面垂直，等体积转化求点到面的距离，属于中档题.‎ ‎19.某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为1，2…，6）的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计，绘制得到下面的散点图．‎ - 24 -‎ ‎（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（2）建立y关于x的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年级代码为7）给父母洗脚的百分比．‎ 附注：参考数据： ‎ 参考公式：相关系数，若r＞0.95，则y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系．回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为＝ ，．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算得，代入计算公式求值即可判断与的线性相关程度；（2）由公式计算求带入回归直线求得进而求得回归方程，将x=7代入直线，即可确定百分比 ‎【详解】（1）因为 - 24 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为所以，‎ 所以 由于与相关系数约为，说明与的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎(2)‎ 因为，所以 所以回归方程为 将，代入回归方程可得，‎ 所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为.‎ ‎【点睛】本题考查相关系数r,回归直线方程，熟练运用公式计算是关键，是基础题 ‎20.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，过定点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB．‎ ‎【答案】（1）（2）证明过程详见解析 ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）依题意可知直线斜率存在，设方程，代入整理得 ‎ ， 与椭圆有两个交点，.‎ 设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明 即可.‎ ‎【详解】解：（1）依题意可设圆方程为，‎ 圆与直线相切，.，‎ 由解得，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得 ‎ ，‎ ‎ 与椭圆有两个交点，，即.‎ 设，，直线，的斜率分别为，‎ 则，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 24 -‎ ‎ ，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎21.已知函数f（x）＝x2﹣a2lnx（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上没有零点，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ求出，解不等式，，即可求出的单调区间；‎ Ⅱ用导数求出函数在区间上没有零点，只需在上或，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．‎ ‎【详解】Ⅰ，‎ 令，解得；‎ 令，解得，‎ 函数的单调增区间为，单调减区间为 Ⅱ要使在上没有零点，‎ 只需在上或，‎ 又，只需在区间上，．‎ 当时，在区间上单调递减，‎ - 24 -‎ 则，‎ 解得与矛盾．‎ 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ 当时，在区间上单调递增，‎ ‎，满足题意，‎ 综上所述，实数a的取值范围是：．‎ ‎【点睛】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 已知曲线的极坐标方程为，以极点为直角坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，将曲线向左平移个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线 ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线的参数方程为，（为参数），点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化为，利用变换得即可；（2）‎ 设，得求最大值即可 ‎【详解】（1）由得，‎ 所以曲线的方程为， ‎ 设曲线上任意一点，变换后对应的点为，‎ 则 即 ‎ 代入曲线的方程中，整理得,‎ 所以曲线的直角坐标方程为； ‎ ‎（2）设，则到直线：的距离为，‎ 其中为锐角，且， ‎ 当时，取得最大值为，‎ 所以点到直线l距离的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化，图像变换，点到直线距离，熟记图像变换原则，熟练计算点线距是关键，是中档题.‎ ‎23.已知函数，，，是常数．‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ - 24 -‎ ‎（2）若曲线与无公共点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原式等价于，由绝对值的几何意义得到解集；（2）依题意，无零点，，去掉绝对值得到该函数的最小值为4进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）依题意， ,‎ 由得，‎ ‎ ,‎ ‎，解得， ,‎ 解得，或 ,‎ 不等式的解集为 .‎ ‎（2）依题意，无零点 ‎ ,‎ 的最小值为4，所以，的取值范围是 .‎ ‎【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，一般可以采用零点分区间去掉绝对值的方法来解，也可以采用绝对值的几何意义来解.‎ ‎ ‎ - 24 -‎ - 24 -‎ ‎ ‎ - 24 -‎