四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二第四学月考试 理科数学 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数满足，则复数的虚部为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“”的否定形式是 ‎ A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 ‎3．如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是 ‎ A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3‎ C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2=1<σ3‎ ‎4．双曲线上点到左焦点的距离是，则到右焦点的距离是 ‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为 ‎ A．200吨 B．300吨 C．400吨 D．600吨 ‎6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ b 乙班 c ‎30‎ 总计105‎ 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是 参考公式：附表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50‎ C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”‎ D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”‎ ‎7．“”是“函数为奇函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．圆上的点到直线的距离的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎9．在直角坐标平面内，由曲线，，和所围成的封闭图形的面积为 A． B． C． D．‎ ‎10．某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项。有下列两种完成所有科研项目的计划：‎ A计划：第一年完成5项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成为止；‎ B计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好5年完成所有项目。‎ 那么，按照A计划和B计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量 A．按照A计划完成的方案数量多 B．按照B计划完成的方案数量多 C．按照两个计划完成的方案数量一样多 D．无法判断哪一种计划的方案数量多 ‎11．设，是抛物线上两点，抛物线的准线与轴交于点，已知弦的中点的横坐标为3，记直线和的斜率分别为和，则的最小值为 A． B．2 C． D．1‎ ‎12．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则 A．2014 B．2013 C． D．1007‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若函数在处取得极值，则实数______．‎ ‎14．有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为，乙获得正品甲不是正品的概率为，且每台获得正品的概率均大于，则甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是____.‎ ‎15．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（，）‎ ‎16．已知点，抛物线：（）的准线为，点在上，作于，且，，则__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）已知函数（），.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数， ，求的单调区间和最小值.‎ ‎18．(12分)某企业有，两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：‎ ‎（1）填写列联表，并根据列联表判断有多大的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？‎ 优质品 非优质品 合计 合计 ‎（2）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；‎ ‎（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为，求的数学期望.‎ 附：，.‎ ‎ ‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．（12分）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设二面角的正切值为，，，求 异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知直线，椭圆分别为椭圆的左、右焦点.‎ ‎(1)当直线过右焦点时，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，若点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.‎ ‎21．（12分）已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，对任意的，都有，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎（1）求曲线C和直线的直角坐标系方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求证：； （2）求不等式的解集．‎ ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．A 10．C 11．D 12．A ‎13． 14． 15．6 16．‎ ‎17．（1）因为，由即，得，‎ 则的解析式为，即有， ‎ 所以所求切线方程为.‎ ‎（2）∵，∴，由，得或，‎ 由，得，∵，‎ ‎∴的单调增区间为，减区间为，∵，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎18．（1）分厂的质量指标值的众数的估计值为，‎ 设分厂的质量指标值的中位数的估计值为，则 ‎，解得．‎ ‎（2）列联表：‎ 优质品 非优质品 合计 ‎5‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ 合计 ‎25‎ ‎175‎ ‎200‎ 由列联表可知的观测值为：‎ ‎ ，‎ 所以有的把握认为两个分厂的产品质量有差异．‎ ‎（3）（i）依题意，厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，‎ 设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件，则，‎ 所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是．‎ ‎（ii）用频率估计概率，从分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量服从二项分布，即，则．‎ ‎19．：（1）证明：取的中点，连接，，‎ ‎∵侧面为平行四边形，∴为的中点，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，则.‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）解：过作于，连接，‎ 则即为二面角的平面角.‎ ‎∵，，∴.‎ 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，‎ 则，，.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎20．解：(1)由已知可得直线与轴的交点坐标，所以①，‎ 又②，由①②解得，，所以椭圆C的方程为．‎ ‎(2)设，，‎ 由得，‎ 由，又，解得 ①，‎ 由根与系数关系，得，‎ 由，可得，，，‎ 设是的中点，则，‎ 由已知可得，即，‎ 整理得， ‎ 又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，即，所以 ②，‎ 综上所述，由①②得a的取值范围为．‎ ‎21．（1）定义域为，，‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，由解得，由解得，‎ 即在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；‎ 当时，的单调增区间为，减区间为 ‎（2），即，‎ 令，则可知函数在上单调递增，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，只需，而函数在单调递增，‎ 所以，综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎22．（1）由题知，，消去有，‎ 即曲线，因为，‎ 即直线；‎ ‎（2）易知点在直线上，且直线的倾斜角为，‎ 则直线的参数方程为（t为参数），‎ 因为直线与曲线C相交于A，B两点，‎ 所以有，解得，，‎ 根据参数的几何意义有，,‎ 有，，.‎ ‎23．（1）证明：．‎ ‎（2）所以或或 解得，故解集为．‎