【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版2-5指数与指数函数学案
§2.5 指数与指数函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.
1．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα，其中a>0，b>0，α，β∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0
0时，y>1；当x<0时，00时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
概念方法微思考
1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为 ．
提示 c>d>1>a>b>0
2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．
提示 当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当01的解集为{x|x<0}．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a(n∈N＋)．( × )
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．( × )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(4)若am0，且a≠1)，则m0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝ .
答案
解析 由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.
4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 ．
答案 c>0，
即a>b>1，
又c＝<0＝1，
∴c1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；
若00，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．＝
答案 D
解析 对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝，故D正确．
2．计算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝ .
答案 －
解析 原式＝－2＋－＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
3．化简：·(a>0，b>0)＝ .
答案
解析 原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
4．化简：＝ (a>0)．
答案 a2
解析 原式＝
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二 指数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
答案 A
解析 f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，
又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.
(2)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．
答案 (－∞，0]
解析 函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练1 (1)已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：
①0220，可知b15”连接)
答案 3a>a3>a
解析 易知3a>0，a<0，a3<0，又由－1a，因此3a>a3>a.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例3 (1)(2018·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为 ．
答案
解析 当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为 ．
答案 {x|x>4或x<0}
解析 ∵f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，
∴f(x)＝
当f(x－2)>0时，有或
解得x>4或x<0.
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
命题点3 指数函数性质的综合应用
例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是 ．
答案 (－∞，4]
解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是 ．
答案 [0，＋∞)
解析 设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，
所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．
(3)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝ .
答案 1
解析 令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)
的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
答案 A
解析 ∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称，
易知b＝2，c＝3，
当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，
当x>0时，3x>2x>1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)＝b，
∴f(a)>f(b)．
(3)若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是 ．
答案
解析 从已知不等式中分离出实数a，
得a≥－.∵函数y＝x＋x在R上是减函数，∴当x∈(－∞，1]时，x＋x≥＋＝，从而得－≤－.
故实数a的取值范围为.
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a1，所以b0，且ax0且a≠1，b>0且b≠1)，则a与b的大小关系是( )
A．b0，则必有0a，故选B.
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞)
答案 C
解析 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故选C.
5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.
6．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
答案 B
解析 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈，所以[－8,1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0.所以实数a的取值范围是[－3，0)．
7．若“m>a”是“函数f(x)＝x＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为 ．
答案 －1
解析 f(0)＝m＋，∴函数f(x)的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－，∵“m>a”是“m≥－”的必要不充分条件，∴a<－，则实数a能取的最大整数为－1.
8．不等式2>x＋4的解集为 ．
答案 (－1,4)
解析 原不等式等价于>2－x－4，
又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，
即x2－3x－4<0，∴－1g(0)＝0，
所以函数g(x)的最小值是0.
11．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝x－1－4x＋2的最大值和最小值．
解 由9x－10·3x＋9≤0，得(3x－1)(3x－9)≤0，
解得1≤3x≤9，即0≤x≤2.
令x＝t，则≤t≤1，y＝4t2－4t＋2＝42＋1.
当t＝，即x＝1时，ymin＝1；
当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.
12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
所以所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
13．(2018·呼和浩特调研)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0,1] C. D．[1，＋∞)
答案 C
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2t.
当t<1时，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，则g′(t)＝3－2tln 2，当t<1时，g′(t)>0，g(t)在(－∞，1)上单调递增，即g(t)f(c)，则2a＋2c 4.(选填“>”“<”“＝”)
答案 <
解析 f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，
即2c－1＋2a－1<2，即2a＋2c<4.
综上知，总有2a＋2c<4.
16．已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．
解 (1)f(x)＝－＋4
＝2x－2λ·x＋4(－1≤x≤2)．
设t＝x，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4
＝2＋.
所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2)．
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.
∴函数φ(x)的值域为.
故实数λ的取值范围是.
