【数学】2019届一轮复习人教A版（理）专题15椭圆、双曲线、抛物线教案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理）专题15椭圆、双曲线、抛物线教案

椭圆、双曲线、抛物线 圆锥曲线的方程与性质 ‎[师说考点]‎ 圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝‎2a(‎2a>|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝‎2a(‎2a<|F‎1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎[典例]　(1)(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[解析]　选A　由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)(2016·沈阳模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.‎ ‎[解析]　法一：令l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝.设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.‎ 法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，‎ 又|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形，‎ 而|AF|＝＝，∴|PF|＝＝.‎ ‎[答案]　 求解圆锥曲线标准方程的思路方法 ‎(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．‎ ‎(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．　　　　 ‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选A　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 由点(2，)在椭圆上得＋＝1　①.‎ 又|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，‎ 则|PF1|＋|PF2|＝2|F‎1F2|，‎ 即‎2a＝2·‎2c，＝　②.‎ 又∵c2＝a2－b2　③，联立①②③得a2＝8，b2＝6.‎ 即椭圆方程为＋＝1.‎ ‎2．(2016·广州模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________．‎ 解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵，∴xA＋1＝2(xB＋1)，又xAxB＝1，∴xA＝2，xB＝，弦AB的中点到抛物线准线的距离为＋1＝＋1＝.‎ 答案： ‎[师说考点]‎ ‎1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 ‎(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ ；‎ ‎(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．‎ ‎[典例]　(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ ‎[解析]　选B　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎∵|AB|＝4，|DE|＝2，‎ 抛物线的准线方程为x＝－，‎ ‎∴不妨设A，D.‎ ‎∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.‎ ‎(2)(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF‎2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎[解析]　选A　法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，‎ 由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.‎ 法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.‎ 又sin∠MF‎2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得‎2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝‎2a2，所以离心率e＝＝.‎ 应用圆锥曲线性质的2个注意点 ‎(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．‎ ‎(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．　　　　 ‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2016·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋y2＝1 D.＋y2＝1‎ 解析：选A　依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.故选A.‎ ‎2．(2016·广州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为(　　)‎ A．2x±y＝0 B．x±2y＝0‎ C．4x±3y＝0 D．3x±4y＝0‎ 解析：选C　双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a＋c，右焦点到渐近线y＝±x的距离为＝b，则a＋c＝2b，c＝2b－a，a2＋b2＝c2＝(2b－a)2，所以3b＝‎4a，＝，所以所求渐近线方程为4x±3y＝0.‎ ‎3．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ 解析：如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝‎2c.‎ 又2|AB|＝3|BC|，‎ ‎∴2×＝3×‎2c，即2b2＝‎3ac，‎ ‎∴2(c2－a2)＝‎3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．‎ 答案：2‎ ‎[师说考点]‎ 判断直线与圆锥曲线公共点的2种常用方法 ‎(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．‎ ‎(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．‎ ‎[典例]　(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ ‎[解]　(1)如图，由已知得M(0，t)，P.‎ 又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为y＝x，‎ 将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，‎ 解得x1＝0，x2＝.因此H.‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．‎ 理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，‎ 即直线MH与C只有一个公共点，‎ 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．‎ 求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项 ‎(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.‎ ‎(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程； 若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．　　　　 ‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2016·重庆模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点．若线段AB的垂直平分线与x轴交于点M(11，0)，则p＝(　　)‎ A．2 B．‎3 C．6 D．12‎ 解析：选C　由题意可得直线AB的方程是y＝，代入抛物线方程y2＝2px(p>0)中，化简得3x2－5px＋p2＝0，则AB中点坐标是，则＝－，解得p＝6.‎ ‎2．(2016·云南模拟)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若，求m2的取值范围．‎ 解：(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为‎2c，‎ 由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.‎ ‎∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，‎ ‎∴4＝‎2a＝4，‎ ‎∴a＝2，b＝1.‎ ‎∴椭圆E的方程为＋x2＝1.‎ ‎(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，‎ 由得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.‎ 由已知得Δ＝‎4m2‎k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，‎ 即k2－m2＋4>0，‎ 且x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由得x1＝－3x2.‎ ‎∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0.‎ ‎∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.‎ 当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，‎ ‎∴k2＝.‎ ‎∵k2－m2＋4>0，‎ ‎∴－m2＋4>0，即>0.‎ ‎∴10，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．‎ 解析：不妨设|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义，|PF1|－|PF2|＝‎2a，因为△F1PF2的三边长成等差数列，∠F1PF2＝120°，∴F‎1F2为最大边，∴‎2c＋|PF2|＝2|PF1|，解得|PF1|＝2(c－a)，|PF2|＝2(c－‎2a)．由余弦定理，(‎2c)2＝4(c－a)2＋4(c－‎2a)2－2×4(c－a)(c－‎2a)cos 120°，化简得‎7a2－‎9ac＋‎2c2＝0，即2e2－9e＋7＝0.∵e≠1，∴e＝.‎ 答案： 一、选择题 ‎1．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)　　　　‎ A．(－1，3) B．(－1，)‎ C．(0，3) D．(0，)‎ 解析：选A　由题意得(m2＋n)(‎3m2‎－n)>0，解得－m20)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为(　　)‎ A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x 解析：选B　依题意，不妨设M(x，y)，y>0，因为|OF|＝，所以|MF|＝2p，即x＋＝2p，解得x＝，y＝p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎4．设双曲线＋＝1的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，则此双曲线的方程为(　　)‎ A.x2－5y2＝1 B．5y2－x2＝1‎ C．5x2－y2＝1 D.y2－5x2＝1‎ 解析：选D　因为x2＝4y的焦点为(0，1)，所以双曲线的焦点在y轴上．因为双曲线的一条渐近线为y＝－2x，所以设双曲线的方程为y2－4x2＝λ(λ>0)，即－＝1，则λ＋＝1，λ＝，所以双曲线的方程为－5x2＝1，故选D.‎ ‎5．(2016·福建质检)已知过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点的直线l与C交于A，B两点，且使|AB|＝‎4a的直线l恰好有3条，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 解析：选A　不妨设直线l过双曲线的右焦点，由题意及双曲线的对称性可得，直线l必有一条过右焦点且与x轴垂直，因为|AB|＝‎4a，所以可取点A(c，‎2a)，所以解得＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选A.‎ ‎6．(2016·江西两市联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与x轴所成角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　∵e∈[，2]，∴2≤≤4，又c2＝a2＋b2，∴2≤≤4，∴1≤≤3，∴1≤≤，设所求角为θ，则tan θ＝，∴1≤tan θ≤，∴≤θ≤.‎ 二、填空题 ‎7．(2016·唐山模拟)焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．‎ 解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ ‎8．(2016·江西景德镇二模)已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，P是Γ的准线上一点，Q是直线PF与Γ的一个交点．若，则直线PF的方程为________．‎ 解析：由抛物线y2＝4x可得焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1，设P(－1，yP)，Q(xQ，yQ)，由，得又因为y＝4xQ，则易知yP＝±2，即P(－1，2)或P(－1，－2)．当P点坐标为(－1，2)时，直线PF的方程为x＋y－＝0，当P 点坐标为(－1，－2)时，直线PF的方程为x－y－＝0，所以直线PF的方程为x＋y－＝0或x－y－＝0.‎ 答案：x＋y－＝0或x－y－＝0‎ ‎9．(2016·兰州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF‎1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是________．‎ 解析：设椭圆的长轴长为‎2a，双曲线的实轴长为‎2m，则‎2c＝|PF2|＝‎2a－10，‎2m＝10－‎2c，所以a＝c＋5，m＝5－c，所以e1e2＝×＝＝，又由三角形的性质知‎2c＋‎2c>10，由已知‎2c<10，c<5，所以.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．(2016·郑州质检)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p＝(x1，y1)，q＝(x2，y2)，且p·q＝0，若直线MN过点，求直线MN的斜率．‎ 解：(1)由题可得解得m＝4，n＝1.‎ ‎∴曲线C的方程为y2＋4x2＝1.‎ ‎(2)设直线MN的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程y2＋4x2＝1得：(k2＋4)x2＋kx－＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴p·q＝(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0，‎ ‎∴＋＋＋＝0，‎ 即k2－2＝0，k＝±，故直线MN的斜率为±.‎ ‎11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1，0)，若＝1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切．‎ 解：(1)依题意有＝，c－＝，‎ ‎∵a2＋b2＝c2，∴c＝‎2a，‎ ‎∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，‎ ‎∴双曲线C的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，‎ 由得2x2－2mx－m2－3＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，‎ 又∵＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，‎ ‎∴m＝0(舍)或m＝2，‎ ‎∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，‎ ‎∵＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，‎ ‎∴AD⊥AB，‎ ‎∴过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，‎ ‎∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，‎ ‎∴过A，B，D三点的圆与x轴相切．‎ ‎12．如图，圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M任作一条直线与椭圆Γ：＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.‎ 解：(1)设圆C的半径为r(r>0)，依题意得，圆心坐标为(r，2)．‎ ‎∵|MN|＝3，∴r2＝＋22，∴r＝，‎ ‎∴圆C的方程为＋(y－2)2＝.‎ ‎(2)证明：把y＝0代入方程＋(y－2)2＝，解得x＝1或x＝4，即点M(1，0)，N(4，0)．‎ ‎①当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM＝∠BNM.‎ ‎②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)．‎ 联立消去y得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.‎ 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ ‎∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，‎ ‎∴kAN＋kBN＝＋＝＋ ‎＝.‎ ‎∵(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝－＋8＝0，‎ ‎∴kAN＋kBN＝0，∴∠ANM＝∠BNM.‎ 综上所述，∠ANM＝∠BNM.‎