甘肃省武威市第十八中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

甘肃省武威市第十八中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2019—2020学年第一学期期末考试试卷 高三 理科数学 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若集合M={y|y=}，N={x|y=}，那么M∩N=（　　）‎ A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．[0，+∞）‎ ‎2. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4. 下列四个命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎(1)“”是“”的充分不必要条件 ‎(2)命题“，”的否定是“，”‎ ‎(3)“若，则”的逆命题为真命题 ‎(4)命题，，命题，，则为真命题 A． B． C． D．‎ ‎5. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项an等于(　　)‎ A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n ‎6．已知直线 ，，则“”是“”的（   ）‎ A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ A．511 ‎ B．512‎ C．1022 ‎ D．1024‎ ‎8.已知，，，则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 函数的图象大致为（ ）‎ ‎12.已知 ，若互不相等，且，则的取值范围为（　　）‎ A. （1，15） B. （10，15） C. （15，20） D. （10，12）‎ 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.)‎ ‎13.已知向量，，，若，则_______．‎ ‎14. 已知，则__________．‎ ‎15. 若，满足约束条件则的最大值为________. ‎ ‎16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是__________‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. (本题满分10分)等差数列{}中，‎ ‎（I）求{}的通项公式；‎ ‎(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2‎ ‎18. (本题满分12分)‎ 设函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（a∈R）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）当时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．‎ ‎　‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2=b2+c2+bc．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，b=2，求c的值．‎ ‎20.P A B C D E （本小题12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．‎ ‎（1）证明：∥平面；‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积，‎ 求到平面的距离．‎ ‎21. (本题满分12分)‎ 在等比数列{an}中，公比q＞1，且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2与a4的等差中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=log2an+5，且数列{bn}的前n项的和为Sn，求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎22. (本题满分12分)‎ 已知函数f（x）=ex+ax﹣1（e为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．‎ 高三数学答案 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D D D B C B C D A B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)（段希爱，祁成宏）‎ ‎13. 4 14. ; 15. 1; 16. ‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17. (本题满分10分) ‎ ‎【解析】 (Ⅰ)设数列的公差为d，‎ 由题意有，‎ 解得，‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，‎ 当n=1,2,3时，；‎ 当n=4,5时，；‎ 当n=6,7,8时，；‎ 当n=9,10时，，‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎18.(本题满分12分) ‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+1+a，‎ ‎∵ω=2，∴T=π，‎ ‎∴f（x）的最小正周期π；‎ 当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）时f（x）单调递增，‎ 解得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），‎ 则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）当x∈[0，]时，≤2x+≤，‎ 当2x+=，即x=时，sin（2x+）=1，‎ 则f（x）max=+1+a=2，‎ 解得：a=1﹣，‎ 令2x+=kπ+（k∈Z），得到x=+（k∈Z）为f（x）的对称轴．‎ ‎19. (本题满分12分) ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+bc，‎ ‎∴根据余弦定理，得cosA=．…‎ ‎∵0＜A＜π，∴．…‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理，得 ‎．…‎ ‎∵，0＜B＜π，‎ ‎∴．可得．…‎ ‎∴B=C，可得c=b=2．…‎ ‎　‎ ‎20. (本题满分12分) ‎ ‎（1）设BD与AC 的交点为O，连结EO，‎ ‎∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．‎ EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；————————-—————5分 ‎（2）AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，‎ ‎∴V==，∴AB=，PB==．‎ 作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，‎ 故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：‎ A到平面PBC的距离———————————————12分 ‎21. (本题满分12分) ‎ ‎【解答】解：（1）∵a2+a3+a4=28，∴a1q+a1q2+a1q3=28①；又a3+2是a2、a4的等差中项得到2（a1q2+2）=a1q+a1q3②．‎ 由①得：a1q（1+q+q2）=28③，由②得：a1q2=8，a1q+a1q3=20即a1q（1+q2）=20④‎ ‎③÷④得 ‎∴2q2﹣5q+2=0‎ ‎∴q=2或q=‎ ‎∵q＞1，∴q=2‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=a3qn﹣3=2n；‎ ‎（2）∵an=2n，∴bn=log2=n+5，∴b1=6‎ ‎∴数列{bn}是以6为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴Sn=‎ ‎∴=‎ ‎∴数列{}是以6为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴Tn==．‎ ‎22.(本题满分12分) ‎ ‎【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=ex+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=ex+1，f'（1）=e+1，‎ 函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1，‎ 设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，‎ ‎∴A，B（0，﹣1），‎ ‎∴，‎ ‎∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．‎ ‎（II）由f（x）≥x2得，‎ 令h（x）=，，‎ 令k（x）=x+1﹣ex…k'（x）=1﹣ex，‎ ‎∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，‎ ‎∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．‎ 因为x﹣1＜0，x2＞0，所以，‎ ‎∴h（x）在（0，1）上是增函数．‎ 所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e…‎