【数学】2018届一轮复习人教A版等差数列等比数列学案

【数学】2018届一轮复习人教A版等差数列等比数列学案

第一讲 等差数列、等比数列 ‎ 考情分析]‎ 等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题；等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点.‎ 年份 卷别 考查角度及命题位置 ‎2017‎ Ⅰ卷 等差、等比数列的综合应用·T17‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 等差数列的通项公式及前n项和公式·T7‎ 等比数列的概念及前n项和公式·T13‎ Ⅱ卷 等差数列的通项公式、性质及前n项和公式·T5‎ 等比数列的通项公式及性质·T9‎ ‎ 真题自检]‎ ‎1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A．5 B．7‎ C．9 D．11‎ 解析：法一：∵a1＋a5＝‎2a3，∴a1＋a3＋a5＝‎3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝‎5a3＝5.‎ 法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝‎3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，‎ ‎∴S5＝‎5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5.‎ 解析：A ‎2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A. B. C．10 D．12‎ 解析：∵公差为1，∴S8＝‎8a1＋×1＝‎8a1＋28，S4＝‎4a1＋6.‎ ‎∵S8＝4S4，∴‎8a1＋28＝4(‎4a1＋6)，解得a1＝，‎ ‎∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.‎ 答案：B ‎3．(2015·高考全国卷Ⅰ改编)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，求n的值．‎ 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.‎ 等差数列、等比数列的基本运算 ‎ 方法结论]‎ ‎1．两组求和公式 ‎(1)等差数列：Sn＝＝na1＋d；‎ ‎(2)等比数列：Sn＝＝(q≠1)．‎ ‎2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2017·贵阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a9＝16，则S11＝(　　)‎ A．88 B．48‎ C．96 D．176‎ 解析：依题意得S11＝＝＝＝88，选A.‎ 优解：依题意，可考虑将题目中的等差数列特殊化为常数列(注意慎用此方法)，即an＝8，因此S11＝88，选A.‎ 答案：A ‎2．(2017·海口模拟)已知数列{an}，an＞0, 它的前n项和为Sn，且‎2a2是‎4a1与a3的等差中项．若{an}为等比数列，a1＝1，则S7＝________.‎ 解析：设数列{an}的公比为q，依题意有a1＝1,‎4a2＝‎4a1＋a3，即4q＝4＋q2，故q＝2，则S7＝＝127.‎ 答案：127‎ ‎3．(2017·长沙模拟)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝‎3a2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}中，b1＝1，b2＝2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和．‎ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意有，解得a1＝1，d＝2，‎ 从而{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N .‎ ‎(2)c1＝ab1＝a1＝1，c2＝ab2＝a2＝3，‎ 从而等比数列{cn}的公比为3，‎ 因此cn＝1×3n－1＝3n－1.‎ 另一方面，cn＝a＝2bn－1，‎ 所以2bn－1＝3n－1，‎ 因此bn＝.‎ 记{bn}的前n项和为Sn，‎ 则Sn＝＝.‎ ‎ 误区警示]‎ 在运用等比数列前n项和公式时，一定要注意判断公比q是否为1，切忌盲目套用公式导致失误．‎ 等差数列、等比数列的性质 ‎ 方法结论]‎ ‎1．等差数列、等比数列常用性质：‎ 等差数列 等比数列 性质 ‎(1)若m，n，p，q∈N ，且m＋n＝p＋q，‎ 则am＋an＝ap＋aq；‎ ‎(2)an＝am＋(n－m)d；‎ ‎(3)Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…仍成等差数列 ‎(1)若m，n，p，q∈N ，且m＋n＝p＋q，‎ 则am·an＝ap·aq；‎ ‎(2)an＝amqn－m；‎ ‎(3)Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…仍成等比数列(Sm≠0)‎ ‎2.等差数列中利用中项求和：‎ ‎(1)若n为奇数，则Sn＝na.‎ ‎(2)若n为偶数，则Sn＝(a＋a)．‎ ‎3．在等差数列中，当项数为偶数2n时，有S偶－S奇＝nd，＝；当项数为奇数2n－1时，‎ 有S奇－S偶＝an，＝.‎ ‎4．在等比数列中，当项数为偶数2n时，＝q.‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2017·洛阳模拟)等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．9 D．10‎ 解析：依题意得(a1＋a10)2－‎2a1a10＝(a5＋a6)2－‎2a1a10＝121－‎2a1a10＝101，∴a‎1a10＝10，‎ 又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1＜a10，∴a1＝1，a10＝10，d＝＝1，选A.‎ 答案：A ‎2．(2017·江西红色七校联考)等比数列{an}满足an>0，q>1，a3＋a5＝20，a‎2a6＝64，则公比q为(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ 解析：通解：由已知可得aq6＝64，即a1q3＝8，得a4＝8，所以＋8q＝20，化简得2q2－5q＋2＝0，‎ 解得q＝2或q＝(舍去)，故q＝2，选C.‎ 优解：由已知可得，解得或(舍去)，故＝＝4＝q2，故q＝2，选C.‎ 答案：C ‎3．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是(　　)‎ A．1 B. C．－ D．－ 解析：{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝()3,3b6＝7π，‎ ‎∴a6＝，b6＝，∴tan＝tan＝tan＝tan(－)＝tan(－2π－)＝－tan＝－.‎ 答案：D ‎ 误区警示]‎ 在等比数列中，Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m…仍成等比数列的前提是Sm≠0，易忽视这一条件．‎ 等差数列、等比数列的判定与证明 ‎ 方法结论]‎ ‎1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：‎ ‎(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N )为一常数；‎ ‎(2)利用等差中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．‎ ‎2．证明{an}是等比数列的两种基本方法：‎ ‎(1)利用定义，证明(n∈N )为一常数；‎ ‎(2)利用等比中项性质，即证明a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)．‎ ‎ 典例]　(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．‎ 已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ 解析：(1)设{an}的公比为q.‎ 由题设可得解得q＝－2，a1＝－2.‎ 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.‎ ‎(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.‎ 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2 －＋(－1)n]＝2Sn，‎ 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．‎ ‎ 类题通法]‎ 等价转化思想在解决an与Sn关系问题中的应用 在已知an与Sn的关系问题中，通常利用an与Sn的关系转化为{an}中an与an－1或an＋1与an的关系，然后求解其他问题．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎1．(2017·华南师大附中测试)在数列{an}中，a1＝p，an＋1＝qan＋d(n∈N ，p，q，d是常数)，则d＝0是数列{an}是等比数列的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当d＝0，p＝0时，an＝0，数列{an}不是等比数列，所以充分性不成立；当q＝0，p＝d，d≠0时，an＝d，则数列{an}为公比为1的等比数列，所以必要性不成立．综上所述，d＝0是数列{an}是等比数列的既不充分也不必要条件，故选D.‎ 答案：D ‎2．(2017·临川一中模拟)已知数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝an＋2n＋2.‎ ‎(1)证明：数列{}是等差数列；‎ ‎(2)证明：＋＋＋…＋＜1.‎ 证明：(1)由an＋1＝an＋2n＋2得＝＋2，即－＝2，‎ ‎∴数列{}是首项为3，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知，＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，‎ ‎∴an＝n(2n＋1)，‎ ‎∴＝＜＝－，‎ ‎∴＋＋＋…＋＜(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＜1，‎ ‎∴＋＋＋…＋＜1.‎ 等差、等比数列与其他知识的交汇 ‎1．交汇点　数列与其他知识的交汇 数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．‎ ‎ 典例1]　(2017·宜昌月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a2 016，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 016等于(　　)‎ A．1 007 B．1 008‎ C．2 015 D．2 016‎ 解析：∵A，B，C三点共线，∴a1＋a2 016＝1，∴S2 016＝＝1 008，故选B.‎ 答案：B ‎ 类题通法]‎ 本题巧妙地将三点共线条件(＝x＋y且A，B，C三点共线⇔x＋y＝1)与等差数列的求和公式结合，解决的关键是抓住整体求值思想．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎1．(2017·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{an}中，若a‎3a4a5＝3π，则sin(log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a7)的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．－ 解析：因为a‎3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3，即log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a7＝log3(a‎1a2…a7)＝log‎3a＝7log33＝，所以sin(log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a7)＝.‎ 答案：B ‎2．创新点　新定义下数列的创新问题 ‎ 典例2]　设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N )是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________.‎ 解析：由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝，前2n项和为S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因为数列{cn}是“和等比数列”，即为非零常数，所以d＝4.‎ 答案：4‎ ‎ 类题通法]‎ 解决新定义下数列问题一般是直接扣定义进行求解．本例的关键是抓住为非零常数 确定参数值．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎2．在数列{an}中，n∈N ，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：‎ ‎①k不可能为0； ②等差数列一定是“等差比数列”；‎ ‎③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0.‎ 其中所有正确判断的序号是________．‎ 解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{an}是等比数列，且公比q＝1时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．‎ 答案：①④‎