数学卷·2018届北京市海淀区高二上学期期末数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届北京市海淀区高二上学期期末数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．直线x﹣y=0的斜率是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．‎ ‎2．圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（　　）‎ A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），1‎ ‎3．若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4‎ ‎4．双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±3x B． C． D．‎ ‎5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（　　）‎ A． ⇒α∥β B． ⇒m∥n C． ⇒l∥β D． ⇒m⊥γ ‎6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）‎ A． B．﹣1 C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.‎ ‎9．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是　　．‎ ‎10．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是　　．‎ ‎11．实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为　　．‎ ‎12．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为　　．‎ ‎13．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为　　．‎ ‎14．若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：‎ ‎①； ‎ ‎②；‎ ‎③y2=4x； ‎ ‎④|x|+|y|=1．‎ 存在“双胞点”的曲线序号是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．‎ ‎（Ⅰ）求圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．‎ ‎16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；‎ ‎（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．‎ ‎17．顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．‎ ‎18．已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．直线x﹣y=0的斜率是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】直接化直线方程为斜截式得答案．‎ ‎【解答】解：由x﹣y=0，得y=x，‎ ‎∴直线x﹣y=0的斜率是1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（　　）‎ A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），1‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程可以直接得到圆心和半径．‎ ‎【解答】解：由圆的标准方程（x﹣1）2+y2=1可以得到该圆的圆心是（1，0），半径是1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：∵两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，∴2a+2=0，‎ 解得a=﹣1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±3x B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．‎ ‎【解答】解：双曲线中a=3，b=1，焦点在x轴上，‎ 故渐近线方程为y=±x，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（　　）‎ A． ⇒α∥β B． ⇒m∥n C． ⇒l∥β D． ⇒m⊥γ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．‎ ‎【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：‎ 在A中， ⇒α与β相交或平行，故A错误；‎ 在B中， ⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；‎ 在C中， ⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；‎ 在D中， ⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．‎ ‎【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．‎ 则三棱锥的体积V==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），‎ 则直线l过（2，0），是充分条件，‎ 若直线l经过点（2，0），‎ 则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），‎ 比如直线：x=0，故不是必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）‎ A． B．﹣1 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，c=1， =，从而a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小，由此能求出其离心率的最大值．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），‎ ‎∴由题意，c=1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小 设椭圆为+=1，‎ 把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2a2﹣1）x2+6a2x+10a2﹣a4=0‎ 由△=0，解得：a2=5，‎ 于是a=，‎ emax==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.‎ ‎9．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．‎ ‎【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，‎ ‎∴焦点到准线的距离是1+1=2‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎10．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是　∃x＞1，x2﹣2x+1≤0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．‎ ‎【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，‎ 即∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，‎ 故答案为：∃x＞1，x2﹣2x+1≤0‎ ‎　‎ ‎11．实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为　﹣3　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出满足的可行域，进而可得当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值．‎ ‎【解答】解：满足的可行域如下图所示：‎ 当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值﹣3，‎ 故答案为：﹣3‎ ‎　‎ ‎12．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1‎ 的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为　2　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，‎ 且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，长度为2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎13．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为　　．‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】取AC的中点，连结OB，OD，求出OB，OD，利用勾股定理的逆定理得出OB⊥OD，结合OD⊥AC得出OD⊥平面ABC，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：解：取AC的中点O，连结OB，OD，‎ ‎∵AD=CD=2，∠ADC=90°，‎ ‎∴AC=2，OD=AC=，OD⊥AC．‎ 同理OB=，‎ ‎∵BD=2，‎ ‎∴OD2+OB2=BD2，∴OB⊥OD，‎ 又AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，AC∩OB=O，‎ ‎∴OD⊥平面ABC，‎ ‎∴三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为OD=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：‎ ‎①； ‎ ‎②；‎ ‎③y2=4x； ‎ ‎④|x|+|y|=1．‎ 存在“双胞点”的曲线序号是　①③④　．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】利用新定义，分别验证，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意①，在第一、三象限，单调递减，满足题意；‎ ‎②，在第一象限，单调递减，第三象限单调递增，不满足题意；‎ ‎③y2=4x，存在“双胞点”比如（1，﹣1），（4，﹣4），满足题意；‎ ‎④|x|+|y|=1，存在“双胞点”比如（0，1），（1，0），满足题意；‎ 故答案为①③④．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．‎ ‎（Ⅰ）求圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0），又因为|AM|=2，即可求圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，分类讨论，即可求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，‎ 则圆心M的坐标为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又因为|AM|=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．‎ 设N为DE中点，则MN⊥l，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，此时|MN|=1，符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 故直线l的方程为，即3x﹣4y+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 综上，直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；‎ ‎（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接MO，推导出MO∥PC，由此能证明PC∥平面BDM．‎ ‎（Ⅱ）连接PO，推导出PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PA，再推导出MO⊥PA，由此能证明PA⊥平面BDM．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，‎ 连接AC，设AC∩BD=O，连接MO．‎ 因为ABCD为正方形，则O为AC中点．‎ 又因为M为侧棱PA的中点，所以MO∥PC．‎ 又因为PC⊄面BDM，MO⊂面BDM，‎ 所以PC∥平面BDM．‎ ‎（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，‎ PO⊥平面ABCD，‎ BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．‎ 又因为BD⊥AC，‎ AC∩PO=O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 又因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA．‎ 由（Ⅰ）得MO∥PC，又因为PA⊥PC，则MO⊥PA．‎ 又MO∩BD=O，且MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，‎ 所以PA⊥平面BDM．‎ ‎　‎ ‎17．顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由抛物线经过P（1，2）可得p，即可写出该抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求出|AB|，点P到直线y=x的距离，即可求△ABP的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称，‎ 可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由抛物线经过P（1，2）可得p=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以抛物线方程为y2=4x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 准线方程为x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 可得）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 点P到直线y=x的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆经过D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D．当直线AB与x轴垂直时，D在圆上；当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为，由，得9（2k2+1）x2﹣12kx﹣16=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积公式，结合已知条件能推导出点D在圆上．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆 经过D（0，1），‎ ‎∴b=1．‎ ‎∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，∴a=．‎ 所以椭圆C的方程为=1．‎ ‎（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D，理由如下：‎ 当直线AB与x轴垂直时，由题意知D在圆上，‎ 当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由，‎ 得9（2k2+1）x2﹣12kx﹣16=0，‎ ‎△=144k2+64×9（2k2+1）＞0，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=（1+k2）x1x2﹣（x1+x2）+‎ ‎=（1+k2）[﹣]﹣•+=0，‎ ‎∴DA⊥DB，∴点D在圆上．‎ 综上所述，点D一定在以AB为直径的圆上．‎ ‎　‎ ‎2017年1月29日