上海市杨浦区2020届高三上学期期中质量调研数学试题

上海市杨浦区2020届高三上学期期中质量调研数学试题

杨浦区统考高三期中数学卷 一、填空题 ‎1.函数的定义域是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：要使有意义，则，即，即该函数的定义域为；故填．‎ 考点：函数的定义域．‎ ‎2.方程的解为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解对数方程，首先要注意对数真数要大于0，再解方程即可得解.‎ ‎【详解】解:解方程,可得,‎ 所以, 解得,即,‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了解对数方程，重点考查了对数函数的定义域，属基础题.‎ ‎3.如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】正方体中，连接交于点M，连接，‎ 由题可得：，,‎ 所以直线平面,‎ 所以直线与平面所成的角等于,‎ 设正方体的边长为，‎ 所以，，‎ 所以,‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。‎ ‎4.已知角终边经过点 (始边为轴正半轴)，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的定义可得：，，‎ 由正弦的二倍角公式可得：，再代入运算即可.‎ ‎【详解】解：因为角的终边经过点，‎ 由三角函数的定义可得，‎ 则，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的定义及正弦的二倍角公式，属基础题.‎ ‎5.在的展开式中，常数项等于_______.（结果用数值表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出二项式的展开式的通项公式为，再令，求解代入运算即可.‎ ‎【详解】解：由二项式的展开式的通项公式为，令，解得，‎ 即在的展开式中，常数项等于，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎6.若，且，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意，由于，且，‎ 那么可知1＝2x＋y≥2,‎ ‎∴xy≤,‎ 因此答案为.‎ 考点：均值不等式运用 点评：主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。‎ ‎7.已知幂函数的图象经过点，则它的反函数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为幂函数，设，将已知条件代入可得，,‎ 再用表示，从而求得函数的反函数.‎ ‎【详解】解：因为函数为幂函数，设，则，则，‎ 即幂函数解析式为，,‎ 即 ，即函数的反函数为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数及反函数的求法，属基础题.‎ ‎8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有________种.（用数值表示）‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，任取5个不同的数，中位数为4，则等价于应在1，2，3中取2个数，在5，6，7，8，9中取2个数，再结合组合知识求解即可.‎ ‎【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4，‎ 则应在1，2，3中取2个数，在5，6，7，8，9中取2个数，‎ 即不同的取法有，‎ 故答案为：30.‎ ‎【点睛】本题考查了排列、组合的有关知识，重点考查了中位数的概念，属基础题.‎ ‎9.已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为、面积为，则该圆锥的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由扇形的圆心角为、面积为，求出圆锥的母线长及底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可.‎ ‎【详解】解：由扇形的面积公式有：，解得 ，‎ 由弧长公式有，即，即该圆锥的母线长为，底面圆周长为 ，‎ 即底面圆半径为3，由勾股定理可得圆锥的高为，‎ 由圆锥的体积公式可得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式及圆锥的体积公式，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎10.在中，内角、、的对边分别为、、，若，，则的面积的最大值等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得，由余弦定理及重要不等式可得，再结合三角形面积公式即可得解.‎ ‎【详解】解：因为，由正弦定理可得，所以，又，所以，‎ 由余弦定理可得 可得，，即，当且仅当=2时取等号，‎ 即，又，所以，‎ 即的面积的最大值等于，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，重点考查了重要不等式，属中档题.‎ ‎11.在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图像，以下两个结论是正确的：① 偶函数在区间（）上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；② 周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先阅读题意，再将问题转化为求函数的值域，‎ 再利用辅助角公式求函数的值域即可得解.‎ ‎【详解】解：因为的周期为，且为偶函数，则由题意可得：‎ 的值域即为的值域，‎ 又，‎ 又因为，所以，‎ 则当时，函数取最大值，又 ，，‎ 则函数最小值为2，‎ 即函数的值域为，‎ 即函数的值域为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数性质的应用，考查了三角函数值域的求法，属中档题.‎ ‎12.定义在实数集上的偶函数满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知可得，再构造，然后可得函数的周期性和奇偶性，再利用函数的性质得，再求解即可.‎ ‎【详解】解：因为，所以，‎ 即，即，‎ 令，则，可得函数的周期为2，‎ 所以，‎ 又为偶函数，则为偶函数，‎ 又因为，所以，‎ 即，即，‎ 解得，‎ 又，‎ 即，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性及周期性，重点考查了函数性质的应用，属难度较大的题型.‎ 二、 选择题 ‎13.已知，则“” 是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的平方关系：运算即可得解.‎ ‎【详解】解：由，当 “”时 可得“”，当“”时可得“”，即“” 是“”的充分不必要条件，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了的平方关系，重点考查了充分必要条件的判定，属基础题.‎ ‎14.某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，‎ 分选出的5人为2女3男，和3女2男两种情况讨论即可.‎ ‎【详解】解：从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，‎ 当选出的5人为2女3男时，共有不同选法为种，‎ 当选出的5人为3女2男时，共有不同选法为种，‎ 即从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有种，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合中的分类原理，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.‎ ‎15.已知二面角是直二面角，为直线，为平面，则下列命题中真命题为（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则∥‎ C. 若∥，则 D. 若∥，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二面角是直二面角，则，再结合空间中的线面关系，线线关系，线面垂直、平行的性质定理，判定定理 判断即可得解.‎ ‎【详解】解：对于选项A，若，则与相交或或∥，即A错误；‎ 对于选项B，若，则∥或，即B错误；‎ 对于选项C，若∥，则与相交或或∥，即C错误；‎ 对于选项D，若∥，则，即D正确，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了空间线线、线面、面面关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.‎ ‎16.记有限集合中元素的个数为，且，对于非空有限集合、，下列结论：① 若，则；② 若，则；③ 若，则、中至少有个是空集；④ 若，则；其中正确结论的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先阅读题意，取特例 ,,可得①③错误，由集合中元素的互异性可得②④正确.‎ ‎【详解】解：对于①，取 ,,满足，但不满足，即①错误；‎ 对于②，因为，由集合中元素的互异性可得，即②正确；‎ 对于③，取 ,, 满足，但不满足、中至少有个是空集，即③错误；‎ 对于④，，则集合中无公共元素，则，即④正确；‎ 综上可得②④正确，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了对新定义的理解及集合元素的互异性，重点考查了集合交集、并集的运算，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17.在正三棱柱中，分别为棱，的中点，去掉三棱锥得到一个多面体，已知，.‎ ‎（1）求多面体的体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，再结合棱锥与棱柱的体积公式求解；‎ ‎（2）由平行线的传递性可得（或其补角）为异面直线与所成角，然后在中求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由图可知 ‎,‎ 故多面体的体积为； ‎ ‎（2）因为, ,所以,‎ 则（或其补角）为异面直线与所成角，‎ 在中， ,,‎ 则 ,‎ 即，‎ 故异面直线与所成角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查了棱锥与棱柱的体积公式及异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属中档题.‎ ‎18.《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本（元）与每月分类处理量（吨）之间的函数关系式可近似表示为，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.‎ ‎（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；‎ ‎（2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？‎ ‎【答案】（1）200吨；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先列出每吨垃圾分类处理的平均成本关于分类处理量的函数关系，再结合重要不等式求最值即可，再运算取等的条件；‎ ‎（2）先列出每月获利元与分类处理量的函数关系，再求解即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可知，每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量，‎ 即，‎ 又 ，当且仅当，即时取等号，‎ 故时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；‎ ‎ （2）设该小区每月获利为元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本，‎ ‎， ‎ 令，解得，又，‎ 即，‎ 故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在.‎ ‎【点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.‎ ‎19.已知是实常数，函数.‎ ‎（1）若，求证：函数是减函数；‎ ‎（2）讨论函数的奇偶性，井说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）当，偶函数；当，奇函数，当，非奇非偶函数.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义法，设，证明，即可得函数为减函数；‎ ‎（2）分别讨论的值，观察或是否恒成立.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，， ‎ 设， ‎ 则，‎ 又，‎ 即 ，‎ 即，‎ 即，‎ 故当时，函数是减函数；‎ ‎（2）由（1）可得，函数的定义域为，‎ ‎ 因为，‎ 所以，‎ 则，‎ 显然当时，，即，即函数为奇函数，‎ 则，‎ 显然当时，，即，即函数为偶函数，‎ 当且时，且，即函数为非奇非偶函数.‎ 故当时，即函数为奇函数，当时，函数为偶函数，当且时，函数为非奇非偶函数.‎ ‎【点睛】本题考查了利用定义法判断函数的增减性及判断函数的奇偶性，属中档题.‎ ‎20.如图是函数一个周期内的图象，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.‎ ‎（1）求函数和的解析式；‎ ‎（2）若，求的所有可能的值；‎ ‎（3）求函数（为正常数）在区间内的所有零点之和.‎ ‎【答案】（1），；（2）或1；（3）当时，；当时，；当时，171.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角函数图象求得，，，再由三角函数图象的平移可得；‎ ‎（2）由，解得或,再求解即可；‎ ‎（3）先解得，再讨论与1的大小关系，再解三角方程，结合正弦函数图象的对称性求各零点之和即可.‎ ‎【详解】解：（1）由图可知,,即，即，‎ 则，又，又，所以，‎ 故，‎ 将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数解析式为，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，‎ 即，；‎ ‎（2）当，即，解得即或,即或或（）‎ 当时，所以，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故的所有可能的值为或1；‎ ‎（3）令，即，即，‎ 解得，又因为，又，所以 ，‎ 当时，由函数的对称轴方程可得在，()有两个解，且两解之和,‎ 则在根之和为，‎ 当 ，即时，方程无解，‎ 当 ，即时，方程的解为 ，(),则在的根之和为，‎ 当 ，即时，方程在，()有两个解，且两解之和,‎ 则在的根之和为，‎ 综上可得：当时，函数在区间内的所有零点之和为. ‎ 当时，函数在区间内的所有零点之和为. ‎ 当时，函数在区间内的所有零点之和为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用三角函数图象求解析式、三角函数图象的平移及解三角方程，重点考查了三角函数图象的性质，属难度较大的题型.‎ ‎21.对于定义在上的函数，如果存在两条平行直线与，使得对于任意，都有恒成立，那么称函数是带状函数，若，之间的最小距离存在，则称为带宽.‎ ‎（1）判断函数 是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；‎ ‎（2）求证：函数（）是带状函数；‎ ‎（3）求证：函数（）为带状函数的充要条件是.‎ ‎【答案】（1）是，带宽；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先理解带状函数的特征，再求函数的值域即可得解；‎ ‎（2）由函数，（）的图像表示双曲线 在第一象限的部分，‎ 再结合双曲线的渐近线即可找出两平行直线；‎ ‎（3）由分段函数的图像特征，结合带状函数的定义，分别证明充分性及必要性即可.‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，‎ 取直线 ，则恒成立，‎ 即函数是带状函数，带宽为；‎ ‎（2）因为，（）表示双曲线 在第一象限的部分，又双曲线的渐近线方程为，故函数满足，则函数为有一个宽带为的带状函数；‎ ‎（3）函数 ，‎ 先证充分性，当时，，‎ 不妨设 ，则，即存在直线，，满足题意，即函数为带状函数，‎ 再证必要性，当函数（）为带状函数，‎ 则存在，又，当，则直线与两直线，中至少一条相交，故不满足，即不满足题意，即，‎ 故函数（）为带状函数的充要条件是.‎ ‎【点睛】本题考查了对带状函数的理解，重点考查了函数的值与及函数的特征，属难度较大的题型.‎ ‎ ‎