2017-2018学年吉林省榆树市第一高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年吉林省榆树市第一高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

‎ 2017-2018学年吉林省榆树市第一高级中学高二下学期期末考试数学试卷（理）‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。‎ 试卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1）、开始答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名。‎ ‎2）、将选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案答在答题卡上对应的答题区域内，在试卷上作答无效。‎ ‎3）、考生必须保持答题卡的整洁。‎ 第I卷 一、选择题（本大题包括12题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知函数且，则的值为 ( )‎ A 1 B ‎2 ‎ C D -2‎ ‎2.已知函数是可导函数，且，则( )‎ A B C D ‎ ‎3.已知复数，则共轭复数 ( )‎ A B C D ‎ ‎4. 设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<‎2a-3)=P(ξ>a+2)，‎ 则a的值为( )‎ ‎ A B C 5 D 3‎ ‎5. 若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)=24，则p的值是( )‎ A B C D ‎ ‎6. 若实数满足，则( )‎ A 都小于0 B 都大于0‎ C 中至少有一个大于0 D 中至少有一个小于0‎ ‎7.设,，…， 是变量和的个样本点，‎ 直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，‎ 以下结论中正确的是( )‎ A 和的相关系数为直线l的斜率 B 和的相关系数在0到1之间 C 当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 D 直线过点()‎ ‎8. ( )‎ A B C D ‎ ‎9.某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有多少种。 （ ）‎ A 60 B ‎90 C 120 D 150‎ ‎10. 设则Sk+1=( )‎ A B ‎ C D ‎ ‎11.如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )‎ A B C D ‎12.已知函数的导数是，若，都有成立，则( )‎ A B ‎ C D ‎ 第II卷 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 展开式中不含x4项的系数的和为 ‎14. 两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是　　　　．‎ ‎15.甲、乙、丙三名同学在考试中只有一名同学得了满分。当他们被问到考试谁得了满分时，‎ 回答如下。‎ 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话。事实证明，在这三名同学中，‎ 只有一人说的是假话，那么满分同学是 ‎ ‎16.已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：‎ 在y2＝2px两边同时求导，得：2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率：.‎ 试用上述方法求出双曲线在P处的切线方程为_________.‎ 三、解答题（本大题包括6小题，共70分）‎ ‎17. （本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线与曲线的两个交点分别为，直线与轴的交点为，求的值．‎ ‎18. (满分10分)已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间．‎ ‎19. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是和. 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. ‎ ‎（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；‎ ‎（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望. ‎ ‎20. 已知函数 ‎ （1） 讨论的单调性。‎ （2） 如果，求的取值范围。‎ 21. 在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：‎ 几何证 明选讲 极坐标与 参数方程 不等式 选讲 合计 男同学 ‎12‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎22‎ 女同学 ‎0‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎12‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎42‎ (1) 在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选 讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.‎ 几何类 代数类 合计 男同学 ‎16‎ ‎6‎ ‎22‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎24‎ ‎18‎ ‎42‎ 能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？‎ (1) 在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随 机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．‎ ‎①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；‎ ‎②记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．‎ 下面临界值表仅供参考：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎22. 已知函数 ‎(1)若 求实数a的取值范围；‎ ‎(2)证明：‎ 高二联考数学试卷（理）答案 ‎ 考试时间：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题（本大题包括12题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知函数且，则的值为( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C) (D)-2‎ ‎【解析】选D.因为f′(x)=acos x，‎ 所以f′(π)=acos π=-a=2,‎ 所以a=-2，故选D.‎ ‎2.已知函数是可导函数，且，则( )‎ A B C D ‎ ‎【解析】选C ‎ ‎3.已知复数，则共轭复数( )‎ A B C D ‎ ‎【解析】选B ‎ ‎4. 设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<‎2a-3)=P(ξ>a+2)，则a的值为( )‎ ‎ (A) (B) (C)5 (D)3‎ ‎【解析】选A.正态曲线关于直线x=3对称，而概率表示它与x轴所围成的面积，‎ ‎∴， ∴a=.‎ ‎5. 若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)=24，则p的值是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】选C．∵X～B(100,p),∴E(X)=100p.‎ 又∵E(X)=24,∴24=100p,‎ ‎6. 若实数a,b满足a+b<0，则( )‎ ‎(A)a,b都小于0 (B)a,b都大于0‎ ‎(C)a,b中至少有一个大于0 (D)a,b中至少有一个小于0‎ ‎【解析】选D.假设a,b都不小于0，即a≥0,b≥0，则a+b≥0，这与a+b<0相矛盾，因此假设错误，即a,b中至少有一个小于0.‎ ‎7.设(x1,y1),(x2,y2)，…，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )‎ ‎(A)x和y的相关系数为直线l的斜率 ‎(B)x和y的相关系数在0到1之间 ‎(C)当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的 个数一定相同 ‎(D)直线l过点()‎ ‎【思路点拨】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心、相关系数、线性回归方程的意义等进行判断．‎ ‎【解析】选D.在A中，相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度，它们的计算公式也不相同，故A不正确；在B中，相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在-1到0之间时，两个变量负相关，故B不正确；在C中， l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布，故C不正确；由回归直线方程的计算公式可知直线l必过点()，故D正确.‎ ‎8. ( )‎ A B C D ‎ ‎【解析】选B 利用定积分几何意义和积分性质。‎ ‎9.某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有多少种。（）‎ A 60 B ‎90 C 120 D 150‎ ‎【解析】选D. ‎ ‎10. 设则Sk+1=( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 选C.由已知得 因此 ‎11.如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )‎ ‎【解析】选A.观察可知：该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁，故下一个呈现出来的图形是A.‎ ‎12.已知函数的导数是，若，都有成立，则( )‎ A B ‎ C D ‎ ‎【解析】选D ‎ 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.展开式中不含x4项的系数的和为 ‎【解析】选B.∵展开式中各项的系数的和为 展开式的通项为 ‎∴x4项为即x4项的系数为1.‎ ‎∴不含x4项的系数的和为1-1=0.‎ ‎14. 两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是　　　　．‎ ‎【解析】答案：乙 利用数学期望验证.‎ ‎15.甲、乙、丙三名同学在考试中只有一名同学得了满分。当他们被问到考试谁得了满分时，‎ 回答如下。‎ 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话。事实证明，在这三名同学中，‎ 只有一人说的是假话，那么满分同学是 ‎【解析】答案：甲 可发现乙说的是假话.‎ ‎16.已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时求导，得：‎ ‎2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率：.‎ 试用上述方法求出双曲线在P处的切线方程为_________.‎ ‎【解析】用类比的方法对两边同时求导得，‎ ‎∴切线方程为 答案:‎ 三、解答题（本大题包括6小题，共70分）‎ ‎17. （本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线与曲线的两个交点分别为，直线与轴的交点为，求的值．‎ 解　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去参数t，得x＋y－1＝0．‎ 曲线C的参数方程为(θ为参数)，‎ 利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．‎ 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．‎ ‎(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．‎ 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，‎ ‎∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．‎ 由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．‎ ‎18.(满分10分)已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间．‎ ‎（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为，‎ 即。‎ ‎（2）由（1）得，‎ 令，解得或。‎ ‎∴函数的单调递减区间为。‎ ‎19. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是和. 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. ‎ ‎（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；‎ ‎（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望. ‎ 解： 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题可知 ‎ , ，，.‎ 且事件E与F，E与，与，与都相互独立.‎ ‎(1) 记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则，于是 ‎，故所求概率为.‎ ‎（2）设企业可获利润为（万元），则的可能取值为0，100，120，220. 又因 ‎，，‎ ‎，.‎ 故所求分布列为 X ‎0‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎220‎ P 数学期望为 .‎ ‎20. 已知函数 （1） 讨论的单调性。‎ （2） 如果，求的取值范围。‎ 解：（1）求导得：‎ 当时，恒成立，所以在上是增函数，‎ 当时，令，则 ‎ ①当时，，所以在上是减函数；②时，，所以在上是增函数。‎ ‎ （2）由（1）可知，时，‎ ‎，解得 又由于 综上所述：‎ ‎21.在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：‎ 几何证 明选讲 极坐标与 参数方程 不等式 选讲 合计 男同学 ‎12‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎22‎ 女同学 ‎0‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎12‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎42‎ ‎(1)在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.‎ 几何类 代数类 合计 男同学 ‎16‎ ‎6‎ ‎22‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎24‎ ‎18‎ ‎42‎ 能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？‎ ‎(2)在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．‎ ‎①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；‎ ‎②记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．‎ 下面临界值表仅供参考：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【解析】‎ 解：(1)由题意知K2的观测值k＝＝≈4.582>3.841，‎ 所以有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．‎ ‎②由题意知X的可能取值为0，1，2.‎ 依题意P(X＝0)＝＝；‎ P(X＝1)＝＝；‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P P (X＝2)＝＝.‎ 从而X的分布列为 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎22. 已知函数 ‎(1)若 求实数a的取值范围；‎ ‎(2)证明：‎ ‎(1)因为 所以由 得 令 则 当时， 当时，‎ 所以是最大值点， 故 即a的取值范围是 ‎(2)由(1)知 故 当时，‎ 当时，‎ 综上，‎