2020年高中数学第三章函数的应用3

2020年高中数学第三章函数的应用3

‎3.1.1‎‎ 方程的根与函数的零点 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　　)‎ A．若f(a)·f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0‎ B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0‎ C．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0‎ D．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0‎ 解析：由零点存在性定理可知选项A不正确；‎ 对于选项B，可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)·f(2)<0，但其存在三个零点：－1,0,‎1”‎推翻；选项C可通过反例“f(x)＝(x－1)·(x＋1)在区间[－2,2]上满足 f(－2)·f(2)>0，但其存在两个零点：－1,‎1”‎推翻．‎ 答案：D ‎2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)‎ A．(－2，－1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1,2)‎ 解析：因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数的一个零点在(0,1)．‎ 答案：C ‎3．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点(　　)‎ A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个 解析：在R上单调的函数最多有一个零点．‎ 答案：B ‎4．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1)‎ B．(－2,2)‎ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 解析：一元二次方程有两个不相等的实根，所以Δ＝m2－4>0，‎ 解得m>2或m<－2.‎ 答案：C ‎5．若函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则(　　)‎ 5‎ A．f(0)＞0，f(2)＜0‎ B．f(0)·f(2)＜0‎ C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0‎ D．以上说法都不正确 解析：函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，‎ x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)＜0，故A、B、C都是错误的，故选D.‎ 答案：D ‎6．函数f(x)＝2－(x∈[－1,1])的零点个数为________．‎ 解析：令2－＝0解得x＝0，所以函数仅有一个零点．‎ 答案：1‎ ‎7．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围为________．‎ 解析：解法一：由题设，令f(x)＝y＝x2＋2px＋1，则有f(1)<0，‎ 即12＋2p＋1<0，∴p<－1，‎ ‎∴p的范围为(－∞，－1)‎ 解法二：设y＝x2＋2px＋1的零点为x1，x2‎ 则∴ ‎∴　得p<－1.‎ ‎∴p的范围为(－∞，－1)．‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎8．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是________(填序号)．‎ ‎① (－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)‎ 解析：∵f(x)＝ex＋x－2，∴f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0.‎ ‎∴函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1)．‎ 答案：③‎ ‎9．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．‎ 解析：解法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2>0，由零点存在性定理，f(x)在(0,2)上存在实根 又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f(x)有且只有一个零点．‎ 解法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g(x)＝2－2x和h(x)＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f(x)有且只有一个零点．‎ ‎10．关于x的方程2x2－3x＋‎2m＝0有两实根均在[－1,1]内，求m的取值范围．‎ 解析：方程有两实根，所以Δ≥0，‎ 5‎ 即9－2×‎2m×4≥0，‎ 所以m≤.‎ 因为两根均在[－1,1]内，‎ 所以⇔ 即m≥，‎ 综上：≤m≤.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　)‎ A．0 B．1‎ C．－1 D．不能确定 解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.‎ 答案：A ‎2．函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：因为y＝x在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－x在定义域内有唯一零点．‎ 答案：B ‎3．若函数f(x)＝，则g(x)＝f(4x)－x的零点是________．‎ 解析：∵f(x)＝，∴g(x)＝－x，令g(x)＝0，‎ 则有：－x＝0，解得x＝.‎ 答案： ‎4．下列说法正确的有________：‎ ‎①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．‎ ‎②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．‎ 5‎ ‎③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.‎ ‎④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．‎ 解析：①错，如图．‎ ‎②错，应有三个零点．‎ ‎③对，奇、偶函数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.‎ ‎④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.‎ 答案：③④‎ ‎5．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．‎ 解析：令2x＝t(t>0)，则在方程t2＋mt＋1＝0中，‎ ‎(1)Δ＝0，即m2－4＝0，m＝±2时，‎ t＝1或t＝－1(舍去)．‎ 由2x＝1，得x＝0，满足题意，即m＝－2时，有唯一的零点0.‎ ‎(2)Δ>0，即m>2或m<－2时，要使函数有一零点，即须满足方程t2＋mt＋1＝0有一正一负两根．‎ 而t1·t2＝1>0，故这一情况不会存在．‎ 综上所述，m＝－2时，f(x)有唯一的零点0.‎ ‎6．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．‎ ‎(1)求m的范围；‎ ‎(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．‎ 解析：(1)当m＋6＝0时，函数为y＝－14x－5显然有零点，‎ 当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－‎9m－5≥0，得m≤－.‎ ‎∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．‎ 综上，m≤－.‎ ‎(2)设x1、x2是函数的两个零点，则有 5‎ x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎∵＋＝－4，即＝－4，‎ ‎∴－＝－4，解得m＝－3.‎ 且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，‎ ‎∴m的值为－3.‎ 5‎