2021版高考数学一轮复习核心素养测评十二导数的概念及计算苏教版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评十二导数的概念及计算苏教版

核心素养测评十二 导数的概念及计算 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.下列求导运算正确的是 (　　)‎ A.′=1+‎ B.(log2x)′=‎ C.(5x)′=5xlog5x ‎ D.(x2cos x)′=-2xsin x ‎【解析】选B.A.′=1-,故错误;‎ B.符合对数函数的求导公式,故正确;‎ C.(5x)′=5xln 5,故错误;‎ D.(x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,故错误.‎ ‎2.若函数f(x)=,则f′(0)等于 (　　)‎ A.1 B.0 C.-1 D.-2‎ ‎【解析】选A.函数的导数 f′(x)=,‎ 则f′(0)==1.‎ ‎3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5), 那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 (　　)‎ - 7 -‎ A.8　　 B. C.-1　　　 D.-8‎ ‎【解析】选C.因为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),‎ ‎ 所以f′(x)=x2-2x=-1, ‎ 又0≤x≤5, 故当x=1时,f′(x)有最小值-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.‎ ‎4. (2020·无锡模拟)已知函数f(x)=x2+cos x,则其导函数f′(x)的图象大致 是 (　　)‎ ‎【解析】选A.因为f′(x)=x-sin x,这是一个奇函数,图象关于原点对称,故排除B,D两个选项.f′=×-<0,故排除C.‎ ‎5.(2020·新乡模拟)若曲线y=在点处的切线的斜率为,则n=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解析】选D.因为导函数为y′=,‎ 所以y′|x=1==,所以n=5.‎ ‎6.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= (　　)‎ A.2　　 B.　　 C.-　　 D.-2‎ - 7 -‎ ‎【解析】选D.y′==-,‎ ‎=-=-,又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,且直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2.‎ ‎7.(多选)已知曲线f=ex-2在点处的切线过点,则函数f的单调递增区间和a的值分别为 (　　)‎ A. B.‎ C.1 D.-1‎ ‎【解析】选A C.因为f(x)=(ax-1)ex-2,‎ f(2)=(‎2a-1)e0=‎2a-1,‎ 求导得f′(x)=aex-2+(ax-1)ex-2·1=‎ ‎(ax+a-1)ex-2,‎ k切=f′(2)=(‎3a-1)e0=‎3a-1,‎ 所以k切==4‎-2a=‎3a-1,‎ 解得a=1,f(x)=(x-1)ex-2,‎ 所以f′(x)=1·ex-2+(x-1)ex-2=xex-2,‎ 因为ex-2>0,则当x>0时,f′(x)>0.‎ 则f(x)的单调递增区间是(0,+∞).‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.(2019·南昌模拟)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且 f(ln x)=x+ln x,则f′(1)=________. ‎ ‎【解析】因为f(ln x)=x+ln x,‎ 所以f(x)=x+ex,‎ 所以f′(x)=1+ex,‎ 所以f′(1)=1+e1=1+e.‎ - 7 -‎ 答案:1+e ‎9.已知函数y=f(x)的图象在x=2处的切线方程是y=3x+1,则f(2)+f′(2)=________.  ‎ ‎【解析】由题意可知f(2)=3×2+1=7,‎ ‎ f′(2)=3,所以f(2)+f′(2)=10.‎ 答案:10‎ ‎【变式备选】‎ 如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=,‎ 则g′(4)=________. ‎ ‎【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为=,‎ 由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5.‎ 由g(x)=,‎ 得g′(x)=,‎ 故g′(4)==-.‎ 答案:-‎ ‎10.(2018·全国卷Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________________.  ‎ ‎【解析】y′=,k==2,‎ - 7 -‎ 所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.‎ 答案:y=2x ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)已知函数f(x)=x2+2xf′,则f与f的大小关系是 (　　)‎ A.f>f B.f=f C.ff.‎ ‎2.(5分) (2020·盐城模拟)已知点P是直线y=2x-4上的动点,点Q是曲线y=x+ex上的动点,则|PQ|的最小值为 (　　)‎ A.5 B.‎ C.e+3 D.‎ ‎【解析】选B.设曲线y=x+ex上切点为 M(x0,x0+),y=x+ex⇒y′=1+ex,k=1+=2⇒x0=0⇒M(0,1),M(0,1)到直线y=2x-4的距离为,即|PQ|的最小值为.‎ ‎3.(5分)(2020·重庆模拟)已知函数f=x3-2x,则曲线y=f在点(1,f(1))处的切线的倾斜角是________,切线方程为________. ‎ ‎【解析】根据题意,函数f(x)=x3-2x,设切线的斜率为k,其倾斜角是θ,‎ 则f′(x)=x2-2,则有k=f′(1)=-1,‎ 则tan θ=-1,‎ - 7 -‎ 又由0≤θ<π,得θ=,‎ f(1)=×13-2×1=-,‎ 所以在点(1,f(1))处的切线方程为y+=-1×(x-1),即3x+3y+2=0‎ 答案:　3x+3y+2=0‎ ‎4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点. ‎ ‎(1)在曲线y=x2上分别求过点P,Q的切线方程.‎ ‎(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.‎ ‎【解析】(1)因为y′=2x,‎ 所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,‎ 所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1);‎ 即y=-2x-1;‎ 过点Q的切线方程为:y-4=4(x-2);‎ 即y=4x-4.‎ ‎(2)设切点为,kPQ==1,‎ 因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0,‎ 所以2x0=1,所以x0=,‎ 所以切点为,‎ 所以切线方程为y-=x-,‎ 即y=x-.‎ ‎5.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). ‎ - 7 -‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.‎ ‎(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.‎ ‎【解析】f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).‎ ‎(1)由题意得 解得b=0,a=-3或a=1.‎ ‎(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,‎ 所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,‎ 所以Δ=4(1-a)2+‎12a(a+2)>0,‎ 即‎4a2+‎4a+1>0,所以a≠-.‎ 所以a的取值范围为 ‎∪.‎ - 7 -‎