2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第一次统测数学试题（解析版）

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第一次统测数学试题（解析版）

‎2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第一次统测数学试题 一、单选题 ‎1．在等差数列中，，，则(　　)．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，，选D.‎ ‎2．不等式的解集为 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：不等式等价于解得，所以选A.‎ ‎【考点】分式不等式的解法.‎ 视频 ‎3．等差数列中， ， ，则数列的公差为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题已知，则由等差数列可得； 。‎ ‎【考点】等差数列的性质。‎ ‎4．已知和均为非零实数，且，则下面式子正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，利用不等式的性质，可知选项A，不一定成立，例如-2<1,又因为，可知成立。选项B，D不成立，故选C.‎ ‎5．在米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为、，则塔高为（ ）‎ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎【答案】A ‎【解析】根据题意画出图形,其中,塔高为BC,在中，可得，所以，选A.‎ ‎6．已知等比数列前项和为，若,，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比求和公式可知,,所以,选A.‎ ‎7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎【答案】B ‎【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有： ，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．‎ 点睛:用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．‎ ‎8．已知在中，，那么这个三角形的最大角是( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理可知 ,所以c边最长，为最大角，设 ‎，，又因为，所以，选C.‎ ‎9．已知是等差数列，其公差为非零常数，前项和为，设数列的前项和为，当且仅当时， 有最大值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为.‎ ‎∴，‎ ‎∵数列{}的前n项和为当且仅当n=6时, 有最大值，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ 故选：C.‎ ‎10．数列满足 ，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】略 ‎11．边长为的三角形的最大角与最小角之和为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】不妨设5,7,8所对的边分别为a,b,c，所以最大角与最小角之和为A+C=，由余弦定理，又因为，所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 如果没有理解题意的人，会用余弦定理分别算出角A,C，再用和角公式的正余弦定理，这样的运算量特别大，而且还容易算错。所以我们需要注意三角形的内角和为，利用这个解题，只需求出B角，即可解决。‎ ‎12．已知数列，则是此数列中的(　　)‎ A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 ‎【答案】C ‎【解析】本题考查观察、分析、归纳推理的能力.‎ 把数列的项按一下规律分组：第1组: 1共1项；第2组： 共2项；第3组： 共3项；第4组： 共4项……;每一组的共同规律：分子连续的分母倒序的本组所含项数为；则应该是第10组中的第5个数；所以是此数列中的第项.故选C 二、填空题 ‎13．不等式的解集是___________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，所以解集为，填 ‎14．已知等比数列中， ，，则___________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得所以，解得（舍），而，填42.‎ ‎15．已知等差数列中, 其前项和为.令,则数列的前项和为________________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意可得，解得,,所以前20项和为，填112.‎ ‎【点睛】‎ 由于数列是等差数列，所以也是等差数列，而对于等差数列的绝对值求和，关键是要找到项正负的分界点，再分段求和。‎ ‎16．设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且， ，则为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 三、解答题 ‎17．在锐角△ABC中， 是角A，B，C的对边，且.‎ ‎（1）求角C的度数；‎ ‎（2）若，且△ABC的面积为，求的值。‎ ‎【答案】（1）60°（2）5‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，求出sinC的值，根据C为锐角，即可确定出C的度数；（2）由三角形面积公式列出关系式，将c，sinC及已知面积代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将ab的值代入求出a+b的值即可 试题解析：（1）由正弦定理得,‎ ‎∵A是锐角，∴,‎ ‎∵C是锐角 ∴C=60°‎ ‎（2）∵‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴‎ ‎【考点】正余弦定理解三角形 ‎18．一支车队有辆车，某天依次出发执行运输任务。第一辆车于下午时出发，第二辆车于下午时分出发，第三辆车于下午时分出发，以此类推。假设所有的司机都连续开车，并都在下午时停下来休息.‎ 到下午时，最后一辆车行驶了多长时间？‎ 如果每辆车的行驶速度都是,这个车队当天一共行驶了多少?‎ ‎【答案】（1）到下午时，最后一辆车行驶了小时分钟；（2）这个车队当天一共行驶了 ‎ ‎【解析】第一问中，利用第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟即小时出发一辆 则第15辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时 第15辆车行驶时间为：小时（1时40分）‎ 第二问中，设每辆车行驶的时间为:,由题意得到 是以为首项，为公差的等差数列 则行驶的总时间为：‎ 则行驶的总里程为：运用等差数列求和得到。‎ 解：（1）第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟即小时出发一辆 则第15辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时 第15辆车行驶时间为：小时（1时40分） ……5分 ‎（2）设每辆车行驶的时间为:,由题意得到 是以为首项，为公差的等差数列 则行驶的总时间为：……10分 则行驶的总里程为：‎ ‎19．设的内角所对边的长分别是，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.‎ 试题解析：因为，所以， 1分 由余弦定理得 ， 3分 所以由正弦定理可得. 5分 因为， ，所以，即. 6分 ‎（2）解：由余弦定理得 . 8分 因为，所以 . 10分 故 ‎ ‎ . 13分 ‎【考点】正弦定理和余弦定理的应用。‎ 视频 ‎20．已知等差数列的公差不为零，且满足，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为d，再根据等比关系，可得，代入解得d.(2)由（1）知，代入得，所以用裂项求和法求数列的前项和。‎ 试题解析（1）由题意知， 所以，‎ 化简得， 因为，所以，‎ ‎ 所以． ‎ ‎（2），‎ 所以．‎ ‎21．设的内角所对边的长分别是，已知向量， 且.‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，设角的大小为， 的周长为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，所以，代入坐标运算，得，结合中， 的余弦定理，可求的角A.(2)由和用正弦定理把b,c化为角B（令B=x）表示，注意B范围，即，即可求得周长的最大值。‎ 试题解析：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 ‎ 则； ‎ ‎ （Ⅱ）由及正弦定理得，‎ ‎ 而，则 ‎ 于是，‎ ‎ 由得，‎ 当即时， ，‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形求范围题型中，常统一边或统一角，一般化角做的话，更好控制范围，如本题把边长转化为角B三角关系，周长可化为角B三角函数关系式，需要注意角B的范围，即三角函数的定义域，最后有定义域下求的三角函数范围。‎ ‎22．设数列的前项和为， ，数列的通项公式为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，‎ ‎①求；‎ ‎②若，求数列的最小项的值．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）由与的关系得，又，‎ ‎；（2）由（1）得，讨论分别用公式法和错误相减法求和；‎ 时， ＝，构造函数研究单调性得最小值 ‎（1）an＝＝2n．…………………4分 ‎（若没有交待a1扣1分）‎ ‎（2）cn＝．‎ Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋……＋． ①‎ 则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x3＋……＋． ②‎ ‎①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋……＋－．‎ 当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－．所以Tn＝．…8分 当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋……＋2n＝n2＋n．…………………10分 ‎（3）当x＝2时，Tn＝2＋．‎ 则＝． ……………………11分 设f(n)＝．‎ 因为f(n＋1)－f(n)＝－＝＞0， …………14分 所以函数f(n)在n∈N＋上是单调增函数． …………………15分 所以n＝1时，f(n)取最小值，即数列{}的最小项的值为