连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地方。
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。
连云港市2012－2013学年度第一学期高三期末考试
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则= ▲ .
2．已知i为虚数单位，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝ ▲ .
(第6题图)
3．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ▲ .
4．正项等比数列{an}中，=16，则= ▲ .
5．在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的
概率是 ▲ .
6．右图是一个算法流程图，若输入x的值为－4，则输出y的值为 ▲ .
7．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿
AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四
面体的体积为 ▲ .
8．如果函数y＝3sin(2x+j)(0
b>0)的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P(，)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
x
y
O
F2
(第18题图)
P
A
F11
19．(本小题满分16分)
已知函数，其中ÎR．
(1)求函数y=f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有，求实数的取值范围；
(3)求函数的零点个数．
20．(本小题满分16分)
已知数列{an}中，a2＝a(a为非零常数)，其前n项和Sn满足：Sn＝(nÎN*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a＝2，且，求m、n的值；
(3)是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足的最大项恰为第3p－2项?若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．
连云港市高三调研试题参考答案
一、填空题（每题5分）
1．{2}; 2．1+i; 3．19; 4．４; 5．; 6．2;
7．; 8．; 9．1; 10．{x|0£x£1,或x=2};
11．2pr4; 12．4+2; 13．; 14．
15.解:(1)因为ccosB+bcosC=3acosB,
由正弦定理,得sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB,
即sin(B+C)=3sinAcosB. ………………………………5分
又sin(B+C)=sinA¹0,所以cosB=. ……………………………7分
(2)由×=2,得accosB=2,所以ac=6. ………………………9分
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB³2ac-ac=8,当且仅当a=c时取等号,
故b的最小值为2. ………………………………14分
A
B
C
C1
A1
B1
F
E
D
G
16.证明：(1) 因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1^平面ABC,
而ADÌ平面ABC, 所以CC1^AD. ………………2分
又AB=AC,D为BC中点,所以AD^BC,
因为BCÇCC1=C,BCÌ平面BCC1B1,CC1Ì平面BCC1B1,
所以AD^平面BCC1B1, ………………5分
因为ADÌ平面ADF,
所以平面ADF⊥平面BCC1B1. …………………7分
(2) 连结CF延长交AA1于点G，连结GB.
因为AC1＝4AF，AA1//CC1,所以CF=3FG,
又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB,
所以EF//GB, ………………………11分
而EFË平面ABBA1,GB Ì平面ABBA1,
所以EF //平面ABBA1. ……………………14分
17．【解】(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分
当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分
但当x=3时,y=<,即y³不恒成立,不满足条件②,
故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分
(2)对于函数模型y=x-2lnx+a，设f(x)= x-2lnx+a，则f ´(x)=1-=³0.
所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x-2lnx+a³，即a³2lnx-在xÎ[2，10]上恒成立，
令g(x)=2lnx-，则g´(x)==，由g´(x)>0得x<4，
g(x)在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.
a³g(4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分
由条件③，得f(10)=10-2ln10+a£8，解得a£2ln10-2. ……………………12分
另一方面，由x-2lnx+a£x，得a£2lnx在xÎ[2，10]上恒成立,
a£2ln2,
综上所述，a的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，
所以满足条件的整数a的值为1. ……………14分
18．解：(1)因为椭圆过点P(，),所以=1,解得a2=2, ………………2分
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2^F2P,即-×=-1, b2=c(4-3c).……6分
而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1,
故椭圆C的方程是+y2=1. ………………………8分
(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以
△=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，
即 1+2k2=p2. …………………………………10分
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则
× ==1,
即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得解得,或, …………………………14分
而(**)不恒成立.
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±时，
定点(－1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1×× d2=(－1)(+1)=1.
综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ………16分
19．解:(1) f ´(x)=x2－2mx－1,
由f ´(x)³0，得x£m－,或x³ m+;
故函数的单调增区间为(－∞,m－),(m+,+∞),
减区间(m－, m+). ……………………………４分
(2) “对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有|f¢(x1)-f¢(x2)|£4”等价于“函数y=f ´(x),xÎ[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”.
对于f ´(x)=x2－2mx－1,对称轴x=m.
①当m<-1时, f ´(x)的最大值为f ´(1),最小值为f ´(-1),由 f ´(1)-f ´(-1)£4,即-4m£4,解得m³1,舍去; ……………………………6分
②当-1£m£1时, f ´(x)的最大值为f ´(1)或f ´(-1),最小值为f ´(m),由 ,即,解得-1£m£1; ………………………………8分
③当m>1时, f ´(x)的最大值为f ´(-1),最小值为f ´(1),由 f ´(-1)-f ´(1)£4,即4m£4,解得m£1,舍去;
综上,实数m的取值范围是[-1,1]. …………………………10分
(3)由f ´(x)=0,得x2－2mx－1=0,
因为△=4m2+4>0,所以y=f(x)既有极大值也有极小值.
设f ´(x0)=0,即x02－2mx0－1=0，
则f (x0)=x03－mx02－x0+m=－mx02－x0+m=－x0(m2+1) ………………12分
所以极大值f(m－)=－(m－)(m2+1)>0，
极小值f(m+)=－(m+)(m2+1)<0,
故函数f(x)有三个零点. …………………………16分
20． (1)证明:由已知，得a1=S1==0，Sn=， ………………………2分
则有Sn+1=，
2(Sn+1－Sn)=(n+1)an+1－nan，即(n－1)an+1=nan nÎN*，
nan+2=(n+1)an+1，
两式相减得，2an+1=an+2+an nÎN*， ……………………………4分
即an+1－an+1=an+1－an nÎN*，
故数列{an}是等差数列.
又a1=0，a2=a，an=(n－1)a. ………………………………6分
(2)若a=2，则an=2(n－1)，Sn=n(n-1).
由，得n2-n+11=(m-1)2，即4(m-1)2－(2n-1)2=43，
(2m+2n-3)(2m－2n-1)=43. ………………………………8分
∵43是质数， 2m+2n-3>2m－2n-1， 2m+2n-3>0，
，解得m=12，n=11. ………………………………10分
(III)由an+b£p，得a(n－1)+b£p.
若a<0，则n³+1，不合题意，舍去; ……………………………11分
若a>0，则n£+1.
∵不等式an+b£p成立的最大正整数解为3p－2，
3p－2£+1<3p－1， ………………………………13分
即2a－b<(3a－1)p£3a－b，对任意正整数p都成立.
3a－1=0，解得a=， ………………………………15分
此时，－b<0£1－b，解得=，
又显然所求二面角的平面角为锐角，
故所求二面角的余弦值的大小为. ………………………………10分
