【物理】2019届二轮复习变力做功模型学案（全国通用）
专题10 变力做功模型
模型界定
由于只适用于恒力所做功，故在本模型中主要归纳各种情况下变力做功的判定及计算．
模型破解 ]
1 变力做功情况的的判定
（i)可利用功能关系来判定：
①力对物体做正功时物体的能量增加，力对物体做负功时物体的能量减少．
②有对应形式的势能的变力（弹簧弹力、点电荷间静电力等）做功时，对应形式的势能增大时该力做负功，否则变力做正功．
（ii）可利用力的方向与瞬时速度方向的夹角来判定：
①力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为锐角（角度可以变化）时，力对物体做正功；
②力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为直角时力不对物体做功；
③力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为钝角时力对物体做负功．
（iii）可利用力的方向与位移方向的夹角来判定：
当力的方向不变时，可由力与位移的方向间夹角来判定．
例１.如图所示，把ＡＢ小球由图中位置同时由静止释放（绳开始时拉直），则在小球向左下摆动时，下列说法正确的是
Ｏ
Ａ
Ｂ
例１题图
Ａ绳ＯＡ对Ａ球做正功
Ｂ绳ＡＢ对Ｂ球不做功
Ｃ绳ＡＢ对Ａ球做负功
Ｄ绳ＡＢ对Ｂ球做正功
【答案】ＣＤ
【解析】
在小球下摆过程中，由于Ｂ距Ｏ点较远，转动较慢，位置落后于Ａ球．从运动角度来看，Ａ球绕Ｏ点转动，Ｂ球一方面随Ａ球转动，同时还相对于Ａ球向后转动，如图所示．则Ａ球的瞬时速度时刻与绳ＯＡ垂直，与绳ＡＢ之间夹角为钝角；而Ｂ球相对Ａ球的速度方向与绳ＡＢ垂直，其对地的瞬时速度方向与绳ＡＢ之间夹角为锐角．故可知绳ＯＡ对Ａ球不做功，绳ＡＢ对Ａ球做负功、对Ｂ球做正功，ＡＢ错误ＣＤ正确．
例１答图
例２.如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，一端Ｏ为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦的转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球Ａ和Ｂ。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中Ｏ
Ａ
Ｂ
例２题图
Ａ重力对Ａ球的冲量等于重力对Ｂ球的冲量
Ｂ杆的弹力对Ａ球做正功，对Ｂ球做负功
Ｃ杆的弹力对Ａ球做负功，对Ｂ球做正功
Ｄ杆的弹力对Ａ球和Ｂ球均不做功
【答案】ＡＣ
中机械能减少，则杆的弹力对Ａ球做负功，同理可知杆的弹力对Ｂ球做负功，ＢＤ错误Ｃ正确．
模型演練
1.在2008北京奥运会上，俄罗斯著名撑杆跳运动员伊辛巴耶娃以5.05m的成绩第24次打破世界纪录。图为她在比赛中的几个画面。下列说法中正确的是
练１图
A．运动员过最高点时的速度为零；
B．撑杆恢复形变时，弹性势能完全转化为动能；
C．运动员要成功跃过横杆，其重心必须高于横杆；
D．运动员在上升过程中对杆先做正功后做负功。
【答案】Ｄ
2.如图所示，质量均为m的ab两球固定在轻杆的两端，杆可绕Ｏ点在竖直平面内无摩擦的转动，已知两球距Ｏ点的距离L1>L2.今在水平位置由静止释放，则在ａ下降过程中，杆对ｂ球的作用力：
练2图
Ａ．方向沿ＢＯ，不做功
Ｂ．方向沿ＢＯ，做正功
Ｃ．方向与ＢＯ成一定夹角，做正功
Ｄ．方向与ＢＯ成一定夹角，做负功
【答案】Ｃ
【解析】在Ｂ球上升过程中，b球的重力势能和动能均增大，即b球的机械能增大，只能是杆对b球做了正功．而b球绕Ｏ点沿圆弧运动，速度方向与杆垂直，则杆对b球的弹力一定不沿ＢＯ方向，否则杆对ｂ球不做功，故Ｃ正确．
2.变力做功多少的定性比较
由可知，定性比较某些特定阶段中变力所做功时，可比较相同大小的力方向上的位移，也可比较相同位移上的分力．
例３.如图所示, 固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升.若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1、W2,滑块经B、C两点时的动能分别为EkB、EkC,图中AB=BC,则一定 （ ）
例３题图
A.W1>W2 B.W1< W 2
C.EkB>EkC D.EkB
W2.
例３答图甲
例３答图乙
（解二）如图乙．拉力Ｆ对绳所做功与绳对环所做功相同．由于拉力Ｆ大小不变，可知绳对环的拉力大小不变．将绳对环的拉力沿水平方向与竖直方向分解，则有，，由于AB=BC,可知，故W1>W2.
因F在竖直方向上的分力逐渐减小，虽在Ａ点处力Ｆ的竖直分力大于环的重力，但在从Ｂ到Ｃ的过程中力Ｆ在竖直方向上的分力是否小于重力及在什么位置小于重力都是未知的，故不能判定ＢＣ处的速度大小也即动能大小．从功能的角度来看，从Ａ到Ｂ与从Ｂ到Ｃ的过程中，重力做的负功相等，但力Ｆ做的正功却是减少的，从Ａ到Ｂ合力做功为正值，但不能判定从Ｂ到Ｃ的过程中合力做功情况，故不能判定ＢＣ两点处动能的大小．答案只有Ａ项．
3.变力做功的定量计算
（i）方向不变的变力做功可用其平均值计算
如图１，当力与物体发生的位移成线性关系时，力对位移的平均值等于此过程中力的最大值与力的最小值的算术平均值（注意力对位移的平均与力对时间的平均值间的差别）．
图１
例４. 要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？
【答案】
设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：
所以
（ii）力的大小不变且力的方向与物体运动方向间的夹角恒定时，力做功可由求解，式中ｓ是物体通过的路程，是力与瞬时速度间的夹角．
例5.以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小物体。假定物块所受的空气阻力f大小不变。已知重力加速度为g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为
A、和 B、和
C、和 D、和
【答案】Ａ
【解析】:上升的过程中由动能定理得,,求返回抛出点的速度由全程使用动能定理重力做功为零,只有阻力做功,且阻力始終與速度反向,故有,解得,A正确.
（iii）利用力对空间变化的对称性
图２
有些情况下，物体在变力作用下的某一运动过程中，变力随空间位置变化时具有对称性，如图２，在某一点x=a的两侧的任意对称点上，若总有，即在对称点处作用力与差值相等，则在这个过程中变力的平均值等于，可用公式求解．
例6.如图，一“”形绝缘导轨竖直放置，处在水平向右的匀强电场中。左边的半圆弧与水平杆ab、cd相切于a、c两点，两水平杆的高度差为h，杆长为4L，O为ad、bc连线的交点，虚线MN、M′N′的位置如图，其中aM = MM′= CN = NN′=L，M′b=N′d = 2L。一质量为m，带电量为－q的小球穿在杆上。虚线MN左边的导轨光滑，虚线MN右边的导轨与小球之间的动摩擦因数为。已知：在O处没有固定点电荷+Q的时候，将带电小球自N点由静止释放后，小球刚好可到达a点。现在O处固定点电荷+Q，并将带电小球自d点以初速度v0向左瞬间推出。结果小球可沿杆运动到b点。（静电力恒量为k，重力加速度为g，在运动过程中+Q对-q的电场力始终小于小球的重力）求：
a
b
O
c
d
h
+Q
N
N′
M
M′
L
L
2L
v0
例6题图
（1）匀强电场的电场强度E； ]
（2）运动过程中小球所受摩擦力的最大值fm和小球经过M ′点时的加速度大小a ；
（3）使小球能够运动到b点的初速度v0的最小值。
【答案】(1)(2),(3)
【解析】（1）从Ｎ到ａ由动能定理有：
可得
（2）经分析可知：小球经过M′点时，球与轨道之间的弹力最大，所受的滑动摩擦力最大
在M '点处由牛顿第二定律有
故小球经过M′点时的加速度大小为：
由动能定理知小球的初速度v0的最小值应满足：
可得
（iv）变力的功率恒定时可由Ｗ＝Ｐｔ求解．
（v）变力的功率也变化时可由平均功率求解
当功率随时间线性变化时．
例7.一电动小车沿如图所示的路径运动，小车从A点由静止出发，沿粗糙的水平直轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆形轨道，运动一周后又从B点离开圆轨道进入水平光滑轨道BC段，在C与平面D间是一蓄水池.已知小车质量m=0.1kg、L=10m、R=0.32m、h=1.25m、s=1.50m，在AB段所受阻力为0.3N.小车只在AB路段可以施加牵引力，牵引力的功率为P=1.5W，其他路段电动机关闭.问：要使小车能够顺利通过圆形轨道的最高点且能落在右侧平台D上，小车电动机至少工作多长时间？（g取10m/s2）
L
h
s
A
B
C
R
D
例7题图
【答案】2.53s
【解析】设车刚好越过圆轨道最高点，设最高点速度为v2，最低点速度为v1
在最高点由牛顿第二定律得 mg=
由机械能守恒定律得 mv12=mv22+mg(2R)
解得 v1==4m/s
小车在离开C点后做平抛运动
由h=gt2 得t=0.5s
x=v1t=2m
x＞s ，所以小车能够越过蓄水池
小车的功率不变，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求电动机所做功．设电动机工作时间为t0，在AB段由动能定理得
Pt0-fL=mv12
解得t0=2.53s
（vi）变力的压强一定时可由求解
在涉及液体或气体的等压过程中，可由求解变化的压力所做的功，式中Ｐ是压强，是液体或气体的体积变化量．
例8.成年人正常心跳每分钟约75次，一次血液循环中左心室的血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值为1.37×104pa ，左、右心室收缩时射出的血量约为70mL，右心室对肺动脉的压力约为左心室的1/5，据此估算心脏工作的平均功率。
【答案】１.４４Ｗ
每次心跳过程的平均时间
故心脏工作的平均功率为
（vii）变力与位移的关系图象已知时，可利用图线与位移轴所围的面积求解
力与位移的关系图象中图线与位移轴所围面积等于力在该段位移内所做的功
例9．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为
例9题图
A．0 B.Fmx0
C.Fmx0 D.x02
【答案】Ｃ
【解析】根据动能定理，小物块运动到x0处时的动能为这段时间内力F所做的功，物
块在变力作用下运动，不能直接用功的公式来计算，但此题可用根据图象求“面积”
的方法来解决．力F所做的功的大小等于半圆的“面积”大小．即Ek＝W＝S圆＝
πFm.＝Fmx0，C选项正确．
（viii）变化的电场力做功可利用电势差求解
例10.如图所示，A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点，其中A、B、O沿同一竖直线，B、C同在以O为圆心的圆周（用虚线表示）上，沿AC方向固定有一光滑绝缘细杆L，在O点固定放置一带负电的小球．现有两个质量和电荷量都相同的带正电的小球a、b，先将小球a穿在细杆上，让其从A点由静止开始沿杆下滑，后使 b从A点由静止开始沿竖直方向下落．各带电小球均可视为点电荷，则下列说法中正确的是
A
B
O
C
L
例10题图
A．从A点到C点，小球a做匀加速运动
B．小球a在C点的动能大于小球b在B点的动能
C．从A点到C点，小球a的机械能先增加后减小，但机械能与电势能之和不变
D．小球a从A点到C点的过程中电场力做的功大于小球b从A点到B点的过程中电场力做的功
【答案】ＢＣ
两点电势相同,则AB间电势差与AC间电势差相等,两球电荷相同,则电场力做功相同,D错误.
（ix）某些特殊情况下变力所做的功可通过转换求恒力所做功
例11.如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中的高度是h，滑轮的质量、绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力T对物体所做的功。例11题图
【答案】
【解析】拉力T在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功．而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W＝Fscosα
直接计算，于是问题转化为求恒力做功。
由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：
所以绳对物体做功：
（x）一般情况下变力所做的功可由功能原理或动能定理求解
例12.如图所示，一根＂＂形状的轻支架上固定着两个小球ＡＢ，支架可以绕转轴Ｏ在竖直平面内无摩擦的自由转动，已知mA=2kg，mB=1kg，AC=BC=OC=1m．在Ａ球上施加一个力Ｆ，使装置静止，Ｂ与转轴Ｏ在同一水平线上．则撤去力Ｆ，当Ａ球摆动到最低点时，杆对Ａ球做多少功？（取g=10m/s2)
例12题图
【答案】17.07J
【解析】Ａ球到达最低点时，如图所示．
例12答图
对ＡＢ两球根据机械能守恒得：
其中ＡＢ两球具有相同的角速度，故
得
对Ａ球由动能定理得：
解得
即Ａ球克服杆的作用力做功１７.０７Ｊ．
模型演練
3.如图所示，演员正在进行杂技表演。由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于
A．0.3J B．3J C．30J D．300J
【答案】Ａ
4.一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内受到2N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1N的外力作用。下列判断正确的是
A． 0 2s内外力的平均功率是W
B．第2秒内外力所做的功是J
C．第2秒末外力的瞬时功率最大
D．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
【答案】Ｄ
【解析】由动量定理求出1s末、2s末速度分别为：v1=2m/s、v2=3m/s 故由动能定理可知合力在第１s及前２s内做功分别为Ｗ１=１＝２Ｊ、Ｗ２=２＝４.５Ｊ，前２s内的平均功率为，Ａ错误；第２s内合力做功为Ｗ２－Ｗ１＝２.５Ｊ，Ｂ错误。 由Ｐ＝Ｆv知1s末、2s末功率分别为：4w、3w，Ｃ错误。 第1秒内与第2秒动能增加量分别为：、，比值：4：5，Ｄ正确。
5.如图所示,一质量为m的物体放在水平地面上,上端用一根原长为L、劲度系数为k的轻弹簧相连.现用手拉弹簧的上端P缓慢向上移动.当P点位移为H时,物体离开地面一段距离h,则在此过程中
练5图
A.拉弹簧的力对弹簧做功为mgH
B.拉弹簧的力对弹簧做功为mgh+
C.物体增加的重力势能为mgH-
D.弹簧增加的弹性势能为mg(H-h)
【答案】Ｃ
【解析】:缓慢拉动过程中在物体离开地面之前拉力是一变力,其大小始终与弹簧弹力相等,即与位移成正比,其最小值为0,最大值等于物体重力,此过程P点通过的位移,拉力所做功为或,由功能原理知弹簧增加的弹性势能.此后物体与弹簧一起上升h高度,弹簧的长度不再变化,拉力恒等于物体重力,此过程中拉力做功等于物体增加的重力势能,故整个过程中拉力做功或,可见只有C正确.
6.如图所示，水池中水深为h，水面面积足够大.水面上漂浮一块质量为m的正方形木块，已知其边长为a，漂浮时恰好有一半浸没于水中．现在木块的上表面正中心施加一竖直向下的力Ｆ，使木块缓慢地被压入到水底，求此过程中力Ｆ所做功．
练6图
【答案】
过程中力F做功为
(解法二)从能量守恒的角度考虑,整个过程中力F所做功应等于水增加的重力势能与木块减少的重力势能的差值.木块减少的重力势能.当木块被压到池底时,木块所位置同体积的水上升,一半填补到木块原排开的那部分水的位置,一半平铺到水面上,由阿基米德定律知这部分水的质量为2m,取水底为重力势能零点,则可知这部分水增加的重力势能为,故力F所做功为.
7.如图所示，在光滑的水平板的中央有一光滑的小孔，一根不可伸长的轻绳穿过小孔．绳的两端分别拴有一小球C和一质量为m的物体B，在物体B的下端还悬挂有一质量为3m的物体A．使小球C在水平板上以小孔为圆心做匀速圆周运动，稳定时，圆周运动的半径为R．现剪断连接A、B的绳子，稳定后，小球以2R的半径在水平面上做匀速圆周运动，则下列说法正确的
练7图
A．剪断连接A、B的绳子后，B和C组成的系统机械能增加
B．剪断连接A、B的绳子后，小球C的机械能不变
C．剪断连接A、B的绳子后，物体B对小球做功为3mgR
D．剪断连接A、B的绳子前，小球C的动能为2mgR
【答案】Ｄ
【解析】:剪断绳子前由牛顿第二定律有,故小球C此时的动能
,D正确.剪断连接AB的绳子后,BC间绳上张力减小,小球C做离心运动,物体B上升,但除重力外无其他外力对系统做功系统内沿绳中张力方向BC两物体的相对位移为零,即内力总功为零,故BC系统的机械能守恒,B的机械能增大则C的机械能减少,AB皆错误.由动能定理(或能量守恒)知物体B对小球做功等于小球动能的变化量,在剪断绳后由牛顿第二定律有,此时的动能,故,C错误.
8.如图所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？
练8图
【答案】
由功能原理可知
当时，最小，为：
。
9.如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B（均可看作质点），且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中（已知重力加速度为g），下列说法正确的是
B
A
练9图
A．A球增加的机械能等于B球减少的机械能
B．A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能
C．A球的最大速度为
D．细杆对A球做的功为
【答案】ＡＤ
【解析】由于轨道光滑，由两小球和轻杆组成的系统机械能守恒，故Ａ正确。此过程中Ｂ球减少的重力势能等于Ａ球增加的重力势能与系统增加的动能之和，Ｂ错误。因两球由一杆连接，则两球沿轨道运动时在任一时刻角速度相等，线速度也相等，速度同时达到最大。当Ｂ球运动到最低点时系统的重力势能最小、动能最大，由机械能守恒有：，可解得，Ｃ错误。细杆对A球做的功等于Ａ球增加的机械能：，Ｄ正确。
10.一根弹性细绳劲度系数为K，将其一端固定，另一端穿过一光滑小孔O系住一质量为m的滑块，滑块放在水平地面上。当细绳竖直时，小孔O到悬点的距离恰为弹性
细绳原长，小孔O到正下方水平地面上 P点的距离为h(h
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