2018届高三数学一轮复习： 热点探究训练3 数列中的高考热点问题

2018届高三数学一轮复习： 热点探究训练3 数列中的高考热点问题

热点探究训练(三)　数列中的高考热点问题 ‎1．(2017·广州综合测试(一))已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设数列{an}的公比为q，‎ 因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.2分 因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.‎ 即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.‎ 因为公比q≠0，所以q＝2.‎ 所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).5分 ‎(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，‎ 所以anbn＝(2n－1)2n，7分 则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①‎ ‎2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②‎ 由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1‎ ‎＝2＋2×－(2n－1)2n＋1‎ ‎＝－6－(2n－3)2n＋1，‎ 所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.12分 ‎2．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，‎ 所以f(x)＝3x2－2x.2分 又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，‎ 所以Sn＝3n2－2n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，‎ 所以an＝6n－5(n∈N*).5分 ‎(2)由(1)得bn＝＝ ‎＝，8分 故Tn＝‎ ＝‎ ＝.12分 ‎3．(2016·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6.正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若λbn>an，对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵等差数列{an}中，a1＝1，S3＝6，‎ ‎∴d＝1，故an＝n.2分 由 ‎①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，‎ b1＝2S1＝21＝2，满足通项公式，故bn＝2n.5分 ‎(2)λbn>an恒成立，即λ>恒成立，7分 设cn＝，则＝，‎ 当n≥1时，cn＋1≤cn，{cn}单调递减，‎ ‎∴(cn)max＝c1＝，故λ>，∴λ的取值范围是.12分 ‎4．(2016·四川高考)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.‎ ‎(1)若‎2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.‎ ‎[解]　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.‎ 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，‎ 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，‎ 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.3分 从而an＝qn－1.‎ 由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得 ‎2a‎3＝‎3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0.‎ 由已知，q>0，故q＝2.‎ 所以an＝2n－1(n∈N*).5分 ‎(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，‎ 所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.7分 由e2＝＝，解得q＝.‎ 因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*).10分 于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，‎ 故e1＋e2＋…＋en>.12分