2017-2018学年山东省淄博第一中学高二上学期期中模块考试数学(理)试题

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2017-2018学年山东省淄博第一中学高二上学期期中模块考试数学(理)试题

淄博一中2017—2018学年度第一学期期中模块考试 高二数学理试题 命题人:闫炳杰 审核人:钱汝富 ‎(第一卷)‎ 一、 选择题(本大题共12小题,共60分,只有一个选项正确)‎ ‎1.已知x,y∈R,且x>y>0,则(  )‎ A. ->0‎ B. sinx-siny>0‎ C. ()x-()y<0‎ D. lnx+lny>0‎ ‎2.若不等式x2-ax+b<0的解集为(1,2),则不等式<的解集为(  )‎ A. (,+∞)‎ B. (-∞,0)∪(,+∞)‎ C. (,+∞)‎ D. (-∞,0)∪(,+∞)‎ ‎3.“-3<a<1”是“存在x∈R,使得|x-a|+|x+1|<2”的(  )‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎4.命题“∀x∈(0,1),x2-x<0”的否定是(  )‎ A. ∃x0∉(0,1),‎ B. ∃x0∈(0,1),‎ C. ∀x0∉(0,1),‎ D. ∀x0∈(0,1),‎ ‎5.已知x,y为正实数,则的最小值为(  )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 3‎ ‎6.已知椭圆+=1(m>0)的焦距为8,则m的值为(  )‎ A. 3或 B. 3‎ C. ‎ D. ±3或 ‎7.一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为(  )‎ A. 056,080,104‎ B. 054,078,102‎ C. 054,079,104‎ D. 056,081,106‎ ‎8.已知x,y是[0,1]上的两个随机数,则x,y满足y>2x的概率为(  )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9. P是椭圆+=1上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=,则△F1PF2的面积为(  )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》,若输入a的值为16,b的值为24,则执行该程序框图的结果为(  )‎ A. 6‎ B. 7‎ C. 8‎ D. 9‎ ‎11.已知实数x,y满足若z=x+my的最小值是-5,则实数m取值集合是(  )‎ A. {-4,6}‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎12.已知A,B是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右顶点,M是E上不同于A,B的任意一点,若直线AM,BM的斜率之积为-,则E的离心率为(  )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎(第二卷)‎ 二、 填空题(本大题共4小题,共20分)‎ ‎13. 焦点在(-2,0)和(2,0),经过点(2,3)的椭圆方程为 ______ .‎ ‎14. 命题“∃t∈R,t2-2t-a<0”是假命题,则a的取值范围是_____________.‎ ‎15. 关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=8,则a= ______ .‎ ‎16.某设备的使用年限x与所支出的维修费用y的统计数据如表: ‎ 使用年限x(单位:年)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 维修费用y(单位:万元)‎ ‎1.5‎ ‎4.5‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 根据表可得回归直线方程为=1.3x+,据此模型预测,若使用年限为14年,估计维修费用约为 ______ 万元.‎ 三、 解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本题10分)已知p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根,q:不等式x+-2>0在x∈[2,+∞)上恒成立,若¬p为真命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎18.(本题12分)如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F为CE的中点,求证:‎ ‎(1)AE∥平面BDF; ‎ ‎(2)平面BDF⊥平面ACE.‎ ‎19. (本题12分)已知,,且. (Ⅰ)试将y表示为x的函数f(x),并求f(x)的单调递增区间; ‎ ‎(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长,若,且,a+b=6,求△ABC的面积.‎ ‎20.(本题12分)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图. (1)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; ‎ ‎(3)从成绩在[50,60)的学生中任选2人,求这两人的成绩都在[60,70)中的概率.‎ 成绩(分)‎ ‎50 60 70 80 90 100‎ ‎7a ‎ ‎6a ‎ ‎3a ‎ ‎2a ‎ O ‎21.(本题12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n=1,2,3…),(an≠0),数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上. ‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项an和bn; ‎ ‎(2)设cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎22 (本题12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△M F1F2的周长为6. ‎ ‎(1)求椭圆C的方程; ‎ ‎(2)若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论. ‎ 高二期中考试理科数学试题 答案和解析 ‎【答案】‎ 一、选择题:1. C    2. B    3. C   4. B    5.D   6. A    7. D    8.A    9. B    10. C   11. B    12. D     ‎ 二、填空题:13. 14. (-∞,-1] 15. 2 16. 18。‎ 三、解答题:‎ ‎17.已知p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根,q:不等式x+-2>0在x∈[2,+∞)上恒成立,若¬p为真命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围.‎ 解:p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根, ‎ 则△=m2-4>0,解得m<-2或m>2; ‎ q:不等式x+-2>0在x∈[2,+∞)上恒成立, ‎ 即m>-x2+2x在x∈[2,+∞)上恒成立,‎ 设f(x)=-x2+2x,则f(x)=-(x-1)2+1, ‎ 当x=2时,f(x)取得最大值为f(2)=0; ‎ 所以m>0; ‎ 又¬p为真命题,则p为假命题,所以-2≤m≤2;‎ 由p为假命题,p∨q为真命题知q为真命题,‎ 所以m的取值范围是(0,2].‎ ‎18.(本题12分)如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F为CE的中点,求证:‎ ‎(1)AE∥平面BDF; ‎ ‎(2)平面BDF⊥平面ACE.‎ 证明:(1)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点,∵F是EC中点,由三角形中位线的性质可得 FG∥AE,‎ ‎∵AE⊄平面BFD,FG⊂平面BFD,∴AE∥平面BFD.‎ ‎(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,‎ 平面ABCD∩平面ABE=AB∴BC⊥平面ABE,又∵AE⊂平面ABE,∴BC⊥AE, ‎ 又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,∴AE⊥平面BCE,∴AE⊥BF. ‎ 在△BCE中,BE=CB,F为CE的中点,∴BF⊥CE,AE∩CE=E,∴BF⊥平面ACE, ‎ 又BF⊂平面BDF,∴平面BDF⊥平面ACE.‎ ‎19.(本题12分)已知,,且.‎ ‎(Ⅰ)试将y表示为x的函数f(x),并求f(x)的单调递增区间; ‎ ‎(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长,若,且,a+b=6,求△ABC的面积.‎ 成绩(分)‎ ‎50 60 70 80 90 100‎ ‎7a ‎ ‎6a ‎ ‎3a ‎ ‎2a ‎ O 解:(Ⅰ)向量,,‎ ‎∵ ‎ ‎∴,‎ ‎∴==2sin.‎ ‎, ‎ 则,‎ 故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ 成绩(分)‎ ‎50 60 70 80 90 100‎ ‎7a ‎ ‎6a ‎ ‎3a ‎ ‎2a ‎ O ‎(Ⅱ)∵,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ∵ ‎ 由余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC,‎ 可得:(a+b)2-3ab=24,‎ ‎∵a+b=6,‎ ‎∴ab=4.‎ 故得△ABC的面积S=.‎ ‎20.(本题12分)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图. (1)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; ‎ ‎(3)从成绩在[50,60)的学生中任选2人,求这两人的成绩都在[60,70)中的概率.‎ ‎ 解:(1)根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a=0.005. ‎ ‎(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2, ‎ 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.‎ ‎(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A,B,成绩落在[60,70)中的3人为C,D,E,‎ 则成绩在[50,70)的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个,‎ 其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3个,‎ 故所求概率为P=‎ ‎21.(本题12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n=1,2,3…),(an≠0),数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上. ‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项an和bn; ‎ ‎(2)设cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎ 解:(1)∵Sn=2an-2,当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,…(2分)‎ 由an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,‎ ‎∵an≠0,则∴.…(3分)‎ ‎∵a1=S1,∴a1=2a1-2,即a1=2,‎ ‎∴,‎ ‎∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,‎ ‎∴bn-bn+1+2=0, ‎ ‎∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又b1=1,‎ ‎∴bn=2n-1…(6分) ‎ ‎(II)∵…(7分) ‎ ‎,‎ ‎∴‎ 因此:,…(10分) ‎ 即:∴,‎ ‎∴.‎ ‎22 (本题12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△M F1F2的周长为6. ‎ ‎(1)求椭圆C的方程; ‎ ‎(2)若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.‎ ‎ 解:(1)由题意知,2a+2c=6,‎ 由椭圆离心率e===,则c=1,a=2,b2=3.‎ ‎∴椭圆C的方程;‎ ‎(2)由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x0,x0),B(x0,-x0).又A,B两点在椭圆C上, ‎ ‎∴, ‎ ‎∴点O到直线AB的距离,‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m.设A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 联立方程,消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.‎ 由已知△>0,x1+x2=-,x1x2=, ‎ 由OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, ‎ 整理得:(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, ‎ ‎∴. ‎ ‎∴7m2=12(k2+1),满足△>0. ‎ ‎∴点O到直线AB的距离d===为定值.‎ 综上可知:点O到直线AB的距离d=为定值.‎
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