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文档介绍
江苏省南通市海安县南莫中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷
高一数学试题 一、选择题(本题共12小题,每小题5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1. 已知集合,则为( ) A. B. C. D. 2. 下列四组函数中,表示相同函数的一组是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3.下列等式一定正确的是( ) A. B. C. D. 4.当时,在同--平面直角坐标系中,函数与的图像是( ) A. B. C. D. 5. 已知,则,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 6. 函数的定义域为( ) A. B. C. D. 7. 已知函数,函数在下列区间一定存在零点( ) A. B. C. D. 8. 在上,满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 9. 已知,则的解集为( ) A. B. C. D. 10. 已知满足对任意,都有成立,那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 11. 当时,函数的值域为( ) A. B. C. D. 12. 已知函数,直线与函数的图象有三个交点、、,它们的横坐标分别为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分共20分) 13. 如图所示,阴影部分表示的角的集合为(含边界) (用弧度表示). 14. 已知函数有两个零点,则实数的取值范围是 . 15. 若函数在区间内单调递增,则实数 的取值范围为 。 16. 定义在上的偶函数在上单调递减,且,则满足的集合为 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分) 已知集合,集合. (1)求当时,,; (2)若,求实数的取值范围. 18. (本题满分12分)计算: (1)已知,求的值. (2)求值:. 19.(本题满分12分) 已知. (1)化简; (2)若是第二象限,且,求的值. 20. (本题满分12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系. (2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元? 21. (本题满分12分)已知函数为对数函数,并且它的图象经过点,函数在区间上的最小值为,其中. (1)求函数的解析式; (2)求函数的最小值的表达式. 22. (本题满分12分)已知函数,是奇函数. (1)求,的值; (2)证明:是区间上的减函数; (3)若,求实数的取值范围. 2019~2020学年度第一学期期中测试 高一数学试题答案和解析 一、选择题: 1-5:DDCCA 6-10:BACCD 11、12:DB 1.【答案】D 【解析】 解:∵集合, ∴. 故选:D. 先分别求出集合A,B,由此能求出. 本题考查并集的求法,考查并集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 2.【答案】D 【解析】 解:A.与的解析式不同,两函数不相同; B.的定义域为,的定义域为,定义域不同,两函数不相同; C.与的解析式不同,两函数不相同; D.的定义域为R,的定义域为R,定义域和解析式都相同,两函数相同. 故选:D. 通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同,两函数不相同,而选项B的两函数定义域不同,两函数也不相同,只能选D. 考查函数的定义,判断两函数是否相同的方法:看解析式和定义域是否都相同. 3.【答案】C 【解析】 A,若x,y均为负数,不对; B,根据指数幂的运算性质,2m×2n=2m+n,B不对; C,根据指数幂的运算性质,C正确; D,若x为负数,不对. 故选C. 4.【答案】C 【解析】 试题分析:先将函数y=a﹣x化成指数函数形式,再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果 解:∵函数y=a﹣x与可化为函数y=,其底数大于1,是增函数, 又y=logax,当0<a<1时是减函数,两个函数是一增一减,前增后减. 故选C. 考点:对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质. 5.【答案】A 【解析】 解:因为所以,,。 故选:A. 转化为同底数:,,,根据函数单调性判断答案. 本题考查了指数函数的单调性,属于容易题. 6.【答案】B 【解析】 解:要使函数有意义,应满足,解得或,故函数的定义域为:; 故选:B. 求函数的定义域,首先分母不等于0,再根据对数函数和根号有意义的条件进行求解; 此题主要考查函数的定义域及其求法,注意二次根号有意义的条件及分母不能为0; 7.【答案】A 【解析】解:,,,,,, ,由函数零点判定定理可知,在上一定存在零点. 故选:A. 由已知函数解析式分别求得,,,,的值,再由函数零点的判定得答案. 本题考查函数零点的判定,考查函数值的求法,是基础题. 8.【答案】C 【解析】 解:上,满足的的取值范围:. 故选:C. 直接利用正弦函数的性质求解即可. 本题考查正弦函数的图象与性质,三角函数线的应用,考查计算能力. 9.【答案】C 【解析】 解:∵,令,则, ∴,∴, 由,得,解得或,∴的解集为. 故选:C. 令,则,求出,从而,由此能求出的解集. 本题考查方程的解集的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 10.【答案】D 【解析】 满足对任意,都有成立, 所以分段函数是减函数,所以,,解得. 故选:D. 11.【答案】D 【解析】 解:,设,∵,∴, 则函数等价为,∵,∴,即函数的值域为. 故选:D. 利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数,利用一元二次函数的图象和性质即可求出函数的值域. 本题主要考查函数值域的求法,利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数是解决本题的关键. 12.【答案】B 【解析】解:, 设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为、、, 则,,所以,故选:B. 由分段函数的图象的作法得,作出的图象, 由函数图象的性质得:设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为、、,则,,所以,得解. 本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质,属中档题 二、填空题: 13. 14. 15. 16. 13.【答案】 【解析】 解:如图,阴影部分表示的角位于一、三象限,在第一象限,;在第三象限,, ∴阴影部分表示的角的集合为(含边界): 或,. 故答案为:. 阴影部分表示的角位于一、三象限,在第一象限,;在第三象限,,由此能求出阴影部分表示的角的集合(含边界). 本题表示角的集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意终边相同的角的集合的合理运用. 14.【答案】 【解析】 解:由函数有两个零点,可得有两个零点, 从而可得函数函数的图象有两个交点, 结合函数的图象可得,时符合条件,故答案为:. 由函数有两个零点,可得有两个零点,从而可得函数函数的图象有两个交点,结合函数的图象可求的范围. 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法,数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质. 15.【答案】≤m<2. 【分析】 首先根据对数的性质可得-x2+4x+5>0,据此即可求出函数的定义域; 计算可知,二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2,结合对数的性质以及复合函数单调性可知f(x)的单调递增区间为(2,5);为其子区间。 【详解】根据对数的性质可得-x2+4x+5>0,解得-1<x<5.因为二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2, 由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为(2,5), 要使函数在区间内单调递增,只需 解关于m的不等式组得≤m<2. 16.【答案】 【解析】 解:∵定义在上的偶函数在上单调递减,∴偶函数在上单调递增, 又∵,∴,若,则,或, 解得,或.故答案为:. 根据偶函数在对称区间上单调性相反,可判断出函数的单调性,结合,可将不等式转化为,或,进而根据对数的性质解得答案. 本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性,其中由已知分析出函数的单调性,进而将抽象不等式具体化是解答的关键. 三、解答题: 17.【答案】解:(1)当时,, ∴, . (2)由得:,则有:,解得:,即:, ∴实数的取值范围为. 【解析】 (1)由题意可得,,根据集合的基本运算可求 (2)由得,结合数轴可求的范围 本题主要考查了集合的交集、并集的基本运算,集合包含关系的应用,解题的关键是准确利用数轴 18.【答案】解:(1),. (2)原式. 【解析】(1)利用即可得出. (2)利用指数与对数运算性质即可得出. 本题考查了指数与对数运算性质、乘法公式应用,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题. 19.【答案】解:(1). (2)由得,, ∵是第二象限,∴. 【解析】 (1)由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得的解析式. (2)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,求得的值. 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错点,属于基础题. 20.【答案】(1) ; (2). 【解析】 试题分析:(1)根据题意,得,,代入点的坐标,求的的值,即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系;(2)投资债券类产品万元,则股票类投资为万元,令,换元利用二次函数的性质,即可求解其最大收益. 试题解析:(1),,,, (2)设:投资债券类产品万元,则股票类投资为万元.令,则 所以当,即万元时,收益最大,万元. 考点:函数的实际应用问题. 21.【答案】解:(1)设,的图象经过点, ∴,即,∴,∴,∴,, (2)设,∵,∴,即, 则,对称轴为. ①当时,在上是增函数,. ②当时,在上是减函数,在上是增函数,, ③当时,在上是减函数,, 综上所述,. 【解析】 (1)代入点的坐标,求出的值,从而求出的解析式; (2)设,通过讨论的范围,求出函数的最小值即可; 本题考查了求对数函数的解析式,考查函数的单调性、最值问题,考查分类讨论思想,是一道中档题. 22.【答案】(1)解:∵函数,是奇函数, ∴,且,即,. (2)证明:由(1)得,,设任意且, ∴,∵,∴,∴ , 又∵,,∴,∴. ∴是区间上的减函数. (3)解:∵,∴,∵奇函数,∴,∵是区间上的减函数, ∴即有,∴, 则实数的取值范围是. 【解析】 (1)由于函数是奇函数,且有意义,则,定义域关于原点对称,列出方程,即可得到,; (2)运用单调性的定义,注意作差、变形,同时运用指数函数的单调性,即可判断符号,得到结论成立; (3)运用奇函数的定义和函数是区间上的减函数,得到不等式组,注意定义域的运用,解出它们即可得到范围. 本题考查函数的性质和运用,考查函数的奇偶性和单调性的定义和判断,以及运用解不等式,注意定义域,考查运算能力,属于中档题和易错题.查看更多