2020高考数学二轮复习练习：第一部分 第3讲 复数与平面向量 练典型习题 提数学素养

2020高考数学二轮复习练习：第一部分 第3讲 复数与平面向量 练典型习题 提数学素养

一、选择题 ‎1．若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　　)‎ A．－　　　　　　　 B． C．i D．－i 解析：选B.因为＝＝＋i，所以其实部为，虚部为，实部与虚部之积为.故选B.‎ ‎2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝(　　)‎ A．－ B． C．1或－ D．1或 解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故选A.‎ ‎3．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)‎ A．－ B．－ C． D． 解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.‎ ‎4．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足＝4，则＝(　　)‎ A．－ B．－ C．＋ D．＋ 解析：选A.因为D为AB的中点，点E满足＝4，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝(＋)－＝－，故选A.‎ ‎5．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　)‎ A． B． C．2 D． 解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A.‎ ‎6．已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.因为(1＋i)·z＝i，所以z＝＝＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.‎ ‎7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为(　　)‎ A．1 B． C． D． 解析：选B.由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|·cos〈a，a－b〉＝＝.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a|·cos〈a，a－b〉＝＝，故选B.‎ ‎8．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则·的最小值为(　　)‎ A．12 B．15‎ C．17 D．16‎ 解析：选B.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，·取得最小值15，故选B.‎ ‎9．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝(　　)‎ A．8 B．12‎ C．16 D．20‎ 解析：选D.法一：设＝a，＝b，则a·b＝0，a2＝16，＝＋＝b＋a，＝(＋)＝＝a＋b，所以·(＋)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故选D.‎ 法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，E，所以·(＋)＝(4，0)·＝(4，0)·＝20，故选D.‎ ‎10．(一题多解)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)‎ A．－1 B．＋1‎ C．2 D．2－ 解析：选A.‎ 法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.‎ 法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.‎ 设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A.‎ ‎11．(多选)下列命题正确的是(　　)‎ A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数 B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数 C．复数z是实数的充要条件是z＝z(z是z的共轭复数)‎ D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝1‎ 解析：选BC.对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正确；对于D，由题可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y，2x－y)，即解得x＋y＝5，故D错误．故选BC.‎ ‎12．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)‎ A．＋ B．－ C．＋ D．＋ 解析：选AC.如图所示，设BC中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故选AC.‎ ‎13．(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则(　　)‎ A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC的面积为2 D．△ABC的面积为 解析：选AC.由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2.‎ 二、填空题 ‎14．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．‎ 解析：因为z＝－＝，所以|z|＝.‎ 答案： ‎15．(2019·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．‎ 解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.‎ 答案：　6‎ ‎16．(2019·济南市学习质量评估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝(a＋b)，|d－c|＝，则|d|的取值范围是________．‎ 解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，则c＝(1，1)．设d＝(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝2，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d|的取值范围为[0，2]．‎ 答案：[0，2]‎ ‎17．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．　‎ 解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.‎ 答案： ‎ ‎