【数学】2018届一轮复习人教A版（理）5-4平面向量应用举例学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）5-4平面向量应用举例学案

‎§5.4　平面向量应用举例 考纲展示►　1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．‎ ‎2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．‎ 考点1　向量在平面几何中的应用 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 向量在几何中的应用 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb⇔____________(b≠0)．‎ ‎(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：‎ a⊥b⇔a·b＝0⇔____________.‎ ‎(3)平面几何中夹角与线段长度计算：‎ ‎①cos a，b＝＝________________；‎ ‎②|AB|＝||＝＝____________.‎ 答案：(1)x1y2－x2y1＝0　(2)x1x2＋y1y2＝0‎ ‎(3)①　‎ ‎② ‎[典题1]　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 ‎[答案]　C ‎[解析]　由＝＋λ(＋)，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)．根据平行四边形法则知， ‎＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．‎ ‎[题点发散1]　在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？‎ 答案：A 解析：由条件，得－＝λ，‎ 即＝λ·.‎ 而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，‎ 即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．‎ ‎[题点发散2]　在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？‎ 答案：D 解析：由条件，得 ＝λ，‎ 从而·＝λ ‎＝λ·＋λ· ‎＝0，‎ ‎∴⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．‎ ‎[点石成金]　向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎(2)基向量法：适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．‎ 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．‎ 答案：2‎ 解析：解法一：如图，＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋＝＋，‎ ‎∴·＝· ‎＝·＋2＋2‎ ‎＝×2×2×cos 120°＋＋＝1，‎ 解得λ＝2.‎ 解法二：建立如图所示平面直角坐标系．‎ 由题意知，‎ A(0,1)，C(0，－1)，B(－，0)，D(，0)．‎ 由BC＝3BE，DC＝λDF可求，‎ 点E，F的坐标分别为E，‎ F，‎ ‎∴·＝·＝－2＋＝1，‎ 解得λ＝2.‎ 考点2　平面向量在三角函数中的应用 ‎[典题2]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且‎2m·n＋|m|＝，·＝1.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求△ABC的面积S.‎ ‎[解]　(1)因为‎2m·n＝2sin cos －2cos2＝sin A－(cos A＋1)＝sin－1，‎ 又|m|＝1，所以‎2m·n＋|m|＝sin＝，即sin＝.‎ 因为0＜A＜π，‎ 所以－＜A－＜，‎ 所以A－＝，即A＝.‎ ‎(2)cos A＝cos ＝cos ‎＝cos cos －sin sin ‎＝，‎ 因为·＝bccos A＝1，‎ 所以bc＝＋.‎ 又sin A＝sin ＝sin＝，‎ 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝(＋)×＝.‎ ‎[点石成金]　1.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．‎ ‎2．熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正余弦定理等知识.‎ ‎1.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且 acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为(　　)‎ A.， B.， C.， D.， 答案：C 解析：由m⊥n，得m·n＝0，‎ 即cos A－sin A＝0，‎ 即2cos＝0.‎ ‎∵

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